etc

Comme je sais (212) que ce douzième terme doit être composé du premier, multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui précèdent ce douzième , je vois que , pour le former, il faut multiplier 3 par la onzième puissance de la raison 2. Pour former cette onzième puissance, je cube 2 , ce qui me donne 8 ; je cube 8 , ce qui me donne 5i2 pour la neuvième puissance , et enfin je multiplie 5 1 2 , neuvième puissance de la raison , par 4 > seconde puissance , et j’ai 2048 pour la onzième puissance de 2 ; je multiplie donc 2048 par 3 , et j’ai 6144 pour le douzième terme de la progression.

214. Une autre application qu’ on peut faire du même principe , c’est pour trouver tant de moyens proportionnels géométriques qu’on voudra entre deux nombres donnés. Si l’on demandait trois moyens géométi'ioues entre 4 et 64 ; avec on peu

COURS

d’attentiou , ou n oit que ces trois moyens géométriques sont 8 , i6 , 3 a. En effet , 4 * 8 : i6 i 3 a : 64 forment une progres-

sion géométnque i mais si l’on proposait d’autre nombre que 4 et 64 , ou que l’on demandât tout autre nombre de moyens géométriques , on ne les trouverait pas aussi facilement.

Or, voici comment on peut les trouver en vertu du principe dont il s’agit. ^

La question se réduit à trouver la raison qui doit régner dans la progression , parce que , quand elle sera trouvée , on formera aisément les termes par des multiplications successives par cette raison.

Qu’il soit question, par exemple, de trouver neuf moyens géométriques entre a et ao48,

2o 48 sera donc 1e dernier terme d’une progression géométrique qui commencerait par a , et qui doit avoir neuf termes entre le premier et le dernier, ao48 est donc composé du premier terme a multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui doivent précéder ao48 ; donc (69) si l’on divise 2048 par le premier terme , le quotient sera la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui doivent précéder 2048 ; donc en cherchant quelle est la racine de cette puissance , on aura la raison > or cette puissance doit être la dixième , puisque devant y avoir neuf termes entre a et ao48 , il y en a nécessairement dix avant 2048 ; donc d faut extraire la racine dixième du quotient qu’aura donné le plus grand nombre ao48 divisé par le plus petit 2.

2i 5. Comme on peut faire le même raisonnement dans tous les cas , concluons donc en général que , pour insérer entre deux nombres donnés tant de moyens géométriques qu’on voudra , il faut diviser le plus grand de ces deux nombres par le plus petit , ce qui donnera un quotient-, on extraira de ce quotient une racine du degré marqué par le nombre des moyens augmenté de l'unité.

Ainsi , pour revenir à notre exemple , je divise 2o j8 par 2 ,

UE iMATHÊMATlQLES. i.-.j

cc qui me donne 1024. dont je cherche la racine diiièmc (*), elle est 2 ; donc la raison est 2. Ainsi , pour former les moyens en question , je multiplie le premier terme a continuellement par la raison 2 ; et après avoir formé neuf moyens , je retombe sur 2 o 4'S , comme on le voit ici ;

Pareillement, si l’on demandait de trouver quatre moyens géométriques enti'e 6 et 48 , je diviserais 48 par 6 , et du quotient 8 je tirerais la racine cinquième ; comme 8 n’a pas de racine cinquième exacte, on ne peut jamais assigner exactement en nombres quatre moyens géométriques entre 6 et 48 ; mais on peut approcher de cette racine à près qu’on le voudra , par une méthode analogue à celles de la racine carrée et de la racine cubique , et que nous ferons connaître dans l’Algèbrc- En attendant , il suffit qu’on conçoive qu’il est possible de trouver un nombre qui , multiplié quatre fois de suite par lui-méme, approche de plus en plus de reproduire 8 ; et qu’il en est de même pour tout autre nombre et pour tout autre racine ; de là nous conclurons qu’entre deux nombres quelconques, on peut toujours trouver tant de moyens géométriques qu’on von . dra , soit exactement, soit par une approximation poussée à tel degré qu’on voudra, et c’est tout ce qu’il nous faut pour passer aux logarithmes.

Des Logarithmes.