DL M A FH EM ATI Q IJ ES

naturels iUpuis i

jusqu à 2ÜÜ.

Table des Logarithmes des JSombres

Nomb.

Lognr,

|/V<yi>A

io3

io5

llo

ii3

i,8325oq

laS

i. 8B64 qi

lâi

îoi

?fomb.

ij

uu

lî

lî

Lognr.

Xiit'. nég

o,3oio3o

1,355373 1,378754 i,3uio3o 1,333319 1,3 '13433

a,oo86.

3,0493 if 3,05307;, 3,056905 3,060698 3,064408 3,068186 3,071883

3 io 89 j ) o 5

3 ,io 38Ô4

3 , 133853 3,137105 3 ,i 3 o 334 3,133539 3,136731 3,1 39879 a,i4joih

>,io| i53

Nomb, Logar.

i5i58 iSn lüo iG3 i(>4 i(i5 1% 1(18

3,355373 3,357679 3,36007 1 1,363451 3,364818 3,367173 3,369613 3,3718-34 3,376463 3,378754 3,3833 oi 3,385557 2,3878 o 3 3,-390 o 35 3,393366 3,394466 3 ,' 2 çfiè 65 •■>,3 ,8853 3 ,3 , 1 o3o

«34 COURS

Les logai-ithmes rcufermés dans cette table n’ont que six chiffres après la virgule : ilsen ont sept dans les tables ordinaii'es; mais cette différence ne nuit en rien à l’usage que nous en ferons ci-après.

Remarquons, au sujet de cette table, que le premier chiffre de la gauche de chaque logarithme s’appelle la Caractéristique , parce que c’est par ce chiffre qu’on peut juger dans quelle décade est compris le nombre auquel appartient ce logarithme ; par exemple , si un nombre a pour caractéristique 3 , je sais qu’il appartient à des mille , parce que le logarithme de looo est 3 , et que celui de loooo étant 4 i tout nombre depuis looo jusqu’à loooo ne peut avoir pour logarithme que 3 et une fi'action ; il a donc 3 pour caractéristique , et les autres chiffres expriment cette fi'action réduite en décimales.

Propriétés des Logarithmes.

333. Gomme il ne s’agit ici que des logarithmes tels qu’ils sont dans les tables ordinaires , les propriétés que nous allons exposer ne regardent que les progressions géométriques qui ont l’unité pour premier terme , et les progressions arithmétiques qui ont zéro pour premier terme.

Comparons donc encore , terme à terme , une progression géométrique quelconque , mais dont le premier terme soit l’unité , avec une progression arithmétique aussi quelconque , mais dont le premier terme soit zéro j par exemple , les deux progressions suivantes :

-H-«:3i9:27:8i: 2^3 : 739 : 3187 : 656l , etc.

-T O . 4 • 8 . 13 . 16 . 20 . 34 . 38 . 32, etc.

11 suit de la nature et de la correspondance parfaite de ces deux progressions , qu’autant de fois la raison de la première est facteur dans l’un quelconque des termes de cette progression , autant de fois la raison de la seconde est contenue dans le terme correspondant de cette seconde ; par exemple , dans le terme 3187, la raison 3 est sept fois facteur; et dans le terme 28 , la raison 4 est contenue sept fois.

En effet, selon ce qui a été dit (2o6et2iah la raison est

DE MATHÉMATIQUES. i3ft

facteur dans un terme quelconque de la première , autant de fois qu’il y a de termes dans celui-là ; et dans la seconde , un terme quelconque est composé d’autant de fois la raison qd ’il y a de termes avant lui. Or, il y a le même nombre de termes de part et d’autre.

Concluons de là, qu’un terme quelconque de la progression géométrique aura toujours pour correspondant , dans la progression arithmétique, un terme qui contiendra la raison de celle-ci , autant de fois que la raison de la première est facteur dans le terme quelconque dont il s’agit.

aa4- Donc , si l’on multiplie , l’un par l’autre , deux termes de la progression géométrique, et si l’on ajoute en même temps les deux termes correspondans de la progression arithmétique, le produit et la somme seront deux termes qui se correspondront dans ces progressions.

Car il est évident que la raison sera facteur dans le produit, autant qu’elle l’est , tant dans l’un des termes multipliés que dans l’autre ; et que la raison de la progression arithmétique sera contenue dans la somme , autant qu’elle l’est , tant dans l’un des termes ajoutés que dans l’autre.

225. Donc on peut, par l’addition seule des deux termes de la progression arithmétique, connaître le produit des deux termes correspondans de la progression géométrique , en supposant ces deux progi'essions prolongées siilTisamment.

Par exemple, en ajoutant les deux termes 8 et 24, qui répondent à P et à 729, j’ai 32 qui répond à 656 1 j d’où je conclus que le produit de 729 par 9 est 656 1 j cc qui est en effet.

226. Donc , puisque les nombres naturels qui composent la première colonne de la table ci-dessus , ont été tirés d’une ])i'ogression géométrique qui commence par l’unité , et puisque leurs logarithmes sont les termes correspondans d’une progression arithmétique qui commence par zéro, il faut eu conclure qu’en ajoutant les logarithmes de deux nombres , on ale logarithme de leur produit.

De là il est aisé de conclure les usages siiivaus.

by C'riOgl

COURS

Usage des Logarithmes. r

327. Pour faire une multiplication par logarithmes, il faut ajouter le logarithme du multiplicande au logarithme du multiplicateur, la somme sera le logarithme du produit; c'est pourquoi, cherchant cette somme parmi les logarithmes des tables , on trouvera le produit à côté. Par exemple si l’on propose de multiplier i 4 par i 3 .

Je trouve dans la petite table ci-dessus que le logarithme de 1 4

est 1,146138

et que celui de 1 3 est i,ii 3 g 43

La somme 3,360071

répond dans la même table au nombre 182 qui est en effet le produit.

338. Pour carrer un nombre, il suffît donc de doubler son logarithme , puisqu'il faudrait ajouter ce logarithme à lui-même , pour multiplier le nombre pai’ lui-même.

339. Par une raison semblable, pour cuber un nombre, il faudra tripler son logarithme ; et en général , pour élever un nombre à une puissance quelconque , il faudra prendre son logarithme autant de fois qu’il y a d'unités dans le nombre qui marque cette puissance ; c’est-à-dire multiplier son logaiithme par le nombre qui marque cette puissance ; par exemple , pour élever un nombre à la septième puissance , il faudra multiplier par 7 le logarithme de ce nombre.

33 o. Donc réciproquement , pour extraire la racine carrée , cubique , quatrième , etc. , d’un nombre proposé , il faudi'a diviser le logarithme de ce nombre par 3 , 3 , 4 • etc. , c’est-à-dire , en général , par le nombre qui marque le degré de la racine qu’on veut extraire.

Par exemple, si l'on demande la racine carrée de i 44 î ayant trouvé , dans la table , que le logarithme de ce nombre est 3,i58362, j’en prends la moitié 1,079181 ; je cherche parmi les logarithmes, à quel endroit se trouve 1,079181 ; il répoud a 13 , qui est par •:ons('quent la racine de i44-

Si l’on demande la racine septième de 128 , je cherche dans la table son logarithme que je trouve être 2,107210; j’en prends le septième , o\i je le divise par 7, et je cherche à quoi répond dans la table le quotient o,3oio3o ; il l’épond à 2 qui est en effet la racine septième de 12S.

23 1 . Pour trouver le quotient delà division d’un nombre par un autre , il faut retrancher le logarithme du diviseur, du logarithme du dividende i chercher dans la table à quel nombre répond le logarithme restant, ce nombre sera le quotient.

Par exemple , si l’on veut diviser 187 par 17 , je cherche dans la table les logarithmes de ces deux nombres , et je trouve

Le logarithme de 187 2,271842

Celui de 17 i,23o449

La différence i,o4<393

répond , dans la table , à 1 1 qui est en effet le quotient.

Si la division ne pouvait pas être faite exactement , le logarithme restant ne se trouverait qu’en partie dans la table ; mais nous allons enseigner, ci-après, ce qu’il faut faire dans ce cas.

La raison de cette règle est fondée sui* ce que le quotient multiplié par le diviseur , devant reproduire le dividende (74) , le logai-ithme du quotient, ajouté (227) au logarithme du diviseur , doit composer le logarithme du dividende ; et par conséquent , le logarithme du quotient vaut le logarithme du dividende , moins celui du diviseur.

282. D’après ce que nous venons de dire , il est très-facile de voir que pour faire une règle de Trois par logarithmes , il faut ajouter le logarithme du second terme au logarithme du troisième, et de la somme retrancher le logarithme du premier.

233. Remai'quons que lorsqu’on cherche , dans les tables ordinaires , un logarithme résultant de quelques opérations sur d’autres logarithmes , si l’on ne trouve de différence entre ce logarithme et celui de la table , que sur le dernier chiffre seulement, on doit regarder cette différence comme nulle, parce que les logarithmes de tous les nombres intermédiaires à la

CÜUKS

progression décuple, ne sont qu'approchés à environ une demiunité décimale du septième ordre près.

Des Nombres dont les logarithmes ne se trouvent point dajis les Tables.

234. Les frA:tions et les nombres entiers joints à des fractions n’ont pas leurs logarithmes dans les tables ; il en est de même des racines carrées , cubiques , etc. , des nombres qui ne sont pas des puissances pai-faites du degré de ces racines.

Si l’on demande le logarithme d'un nombre entier joint à une fraction, il faut d’abord réduire le tout en fraction, et ensuite retrancher le logarithme du dénominateur , du logarithme du

numérateur. Par exemple , pour avoir le logarithme de 8 — ,

je cherche celui de ^ , que je trouve en retranchant i, 041893

logarithme de 11, de 1,959041 logarithme de 91 ; le reste

0,91764s est le logarithme de 8 —, puisque 8 — ou — n’est

autre chose que 91 divisé par ii.

235. La même raison prouve que pour avoir le logarithme d’une fraction , il faut retrancher pareillement le logarithme du dénominateur, du logarithme du numérateur; mais comme cette soustraction ne peut se faire , puisque le logarithme du dénominateur sera plus grand que celui du numérateur , on retranchera au contraire le logarithme du numérateur de celui du dénominateur ; le reste , qui marquera ce dont il s’en faut que la soustraction n’ait pu se faire , sera le logarithme de la fraction en appliquant à ce reste un signe qui marque que la soustraction n’a pas été entièrement faite. Ce signe est celui-ci

— qu’on énonce moins. Ainsi le logarithme de la fi-action serait — 0,917648 (’).

(■ 1.C5 nombres précédés du liifue — se iiumiin:iil iKimùie» >icf;nti/s fious

DE MATHEMA.T1QLES. i3g

236. Ce signe est destiné à rappeler dans le calcul , que les logarithmes des fractions doivent être employés selon une règle tout opposée à celle que nous avons prescrite pour les logal'ithmes des nombres entiers , ou des nombres entiers joints à des fractions ; c’est-à-cbre que si l’on a à multiplier par une fraction , il faut retrancher le logarithme de cette fraction ; si , au contraire , l’on a à diviser par une fraction, il faut ajouter son logarithme.

La raison en est, pour la multipUcation , que multiplier par une fraction , revient à multiplier par le numérateur , et à diviser ensuite par le dénominâteur : donc , lorsqu’on opère par logarithmes , on doit ajouter le logarithme du numérateur , et retrancher ensuite celui du dénominateur, ou, ce qui revient au même , on doit seulement retrancher l’exi-ès du logarithme du dénominateur sur le logarithme du numérateur : or , cet excès est précisément le logarithme de la fraction. A l’égard de la division , la raison en est aussi facile à saisir ; en cifet , diviser

par par exemple, revient {109) à multiplier donc

en opérant par logarithmes , il faut ajouter le logarithme de | ,

c’est-à-dire (234) la différence du logarithme de 4 > au logarithme de 3 , ou du logarithme du dénominateur de la fraction proposée, au logarithme^ de son numérateur.

237. Il peut arriver, et il arrive assez souvent, qu’en convertissant en une seule fraction l’entier et la fraction dont on cherche le logarithme, il peut arriver, dis-je, que le numérateur soit un nombre qui passe les limites des tables. Par exemple ,

si l’on demande le logarithme de 53 , ce nombre réduit

en traction , revient a » dont le numérateur passe les

limites des tables les plus étendues.

lei ferons connaitre.plus parUcnlièrement dans l'Algèbre; en attendant nous prévenons que c’est en prendre une idée fausse , que de les regarder comme des nombres au-dessous de léro. Il n’jr a l ien au-dessous de zéro

i 4 o COURS

11 c»t donc k propos de savoir comment on peut trouver le logarithme d’un nombre qui passe ces limites.

La méthode que nous allons donner n’est pas rigoureuse ; mais elle est plus que suffisante pour les usages ordinaires. Avant que de l’exposer , observons :

a 38 . 1°. Qu’en ajoutant i , 2 , 3 , etc, , unités à la caraotéristique du logarithme d’un nombre , on multiplie ce nombre par 10, 100 , 1000 , etc. , puisque c’est ajouter le logarithme de 10 , ou de 100, ou de 1000, etc. (2i9et227 ).

2°. Au contraire , si l’on retranche i , 2 , 3 , etc. , unités de la caractéristique d’un logarithme , c’est diviser le nombre corres- (K>ndant par 10, 100, 1000, etc.

23 g. Cela posé , qu’il soit question de trouver le logarithme de 357859, par exemple.

Je séparerai, par une virgule, sur la droite de ce nombre, autant de chiflrcs qu’il est necessaire pour que le reste puisse se trouver dans les tables {* (**) ). Ici , par exemple , j’en séparerai deux, ce qui me donnera 3578,59, qui est cent fois plus petit que le nombre proposé i 5 "] 85 g.

Je cherche dans les tables le logarithme de 3578 , que je trouve être 3 , 55364 o 3 ; je prends en même temps à côté de ce logarithme C*) la différence 1214, entre ce même logarithme et celui de 3579 ; après quoi je fais cette règle .de Trois : si pour I , unité de différence entre les deux nombres 3579 et

On a 1214 de différence entre leurs logarithmes;

Combien pour 0,59, différence entre les deux nombres 3578,59 et 3578,

Aura-t-on de différence entre leurs logarithmes ? c’est-à-dire

O Nous supposons ici que Ton ait entre les mains des Tables ordinaires de logarithmes qui aillent jusqu'à 200uo, ou au moins Jusqu'à loooo. Celles de M. Bivard et celles de feu M. l’abbé delà Caille sont exactes et commodes.

(**) Crs dUTéiences se trouvent clans les Tables, à coté des lo^aritlimes mêmes.

DE MATHÉMATIQUES. i 4 i

que je cherche le quatrième terme d’une proportion dont les trois premiers sont :

Ce quatrième terme est 716,26, ou simplement 716, en négligeant les décimales; j’ajoute donc 716 au logarithme o, 55364 o 3 de 3578, et j’ai 3,5537 119 pour le logarithme de 3578,59 J il ne s’agit plus , pour avoir celui de 35 -] 85 g , que d’ajouter deux unités à la caractéristique du logarithme qu’on vient de trouver; et on aura 5,5537119 pour le logarithme cherché, puisque 357859 est 100 fois plus grand que 3578,5g. Si les chiffres qu’on doit séparer sur la droite étaient tous des xéro , après avoir trouvé , dans les tables , le logarithme de la partie qui reste à gauche , il n’y aurait autre chose à faire qu’à ajouter autant d'unités à la caractéristique , qu’on aurait séparé de zéro.

240. S’il s’agit du logarithme d’un nombre accompagné de décimales , on cherchera ce logarithme , comme si le nombre proposé n’avait point de virgule ; et après l’avoir trouvé , soit immédiatement dans les tables , soit par la méthode qu’on vient de donner (239), on dtera autant d’unités à la caractéristique , qu’il y a de décimales dans le nombre proposé , parce qu’ayant considéré le nombre comme s’il n’y avait point de virgule , c’est-à-dire , comme 10 , ou 100 , ou 1000, etc. , fois plus grand qu’il n’est , on doit le rappeler à sa valeur par une diminution convenable sur la caractéristique de son logarithme (o 38 ).

241. Enfin , s’il n’y a que des décimales dans le nombre proposé , on cherchera encore ce nombre dans les tables , comme s’il n’y avait pas de virgule ; et ayant pris le logarithme correspondant , on le retranchera d’autant d’unités qu’il y a de décimales dans ce même nombre , et on fera précéder le reste du signe — ; par exemple , pour avoir le logarithme de o,o 3 , je cherche celui de 3 qui est 0,477 «a» » j® retranche de deux unités , et appliquant au reste le signe — , j’ai — 1,522879 pour

logarithme de o,o 3 . En effet , o,o 3 n’est autre chose que — ,

i/p oOURS

01-, pour avoir le logarithme de — , il faut (235) retrancher le

lOO

logarithme de 3, de celui de loo, et appliquer au reste le signe — .

Des Logarithmes dont les nombres ne se trouvent point dans les Tables.

242. Cette recherche n’est pas moins nécessaire que la précédente. Par exemple, pour la division, il arrive rarement que le quotient soit un nombre entier. Or, si l’on fait l’opération par logarithme, on ne trouvera dans les tables le logarithme restant que quand le quotient sera un nombre entier. 11 y a une infinité d’autres cas de la même espèce.

243. Proposons-nous d’abord de trouver à quel nombre répond un logarithme proposé , soit qu’il excède les limites des tables , soit qu’il tombe entre les logarithmes des tables.

On retranchera de la caractéristique autant d’unités qu’il sera nécessairé , pour qu’on puisse trouver, dans les tables , les premiers chiffres du logarithme proposé, ainsi préparé. Si tous les chiffres se trouvent alors dans les tables , le nombre cherché sera le nombre même qu’on trouve à côté dans les tables , mais en mettant à sa suite autant de zéro qu’on aura ôté d’unités à la caractéristique (238).

Par exemple , le logarithme 7,2273467 se trouve ( après a\oiiôté trois unités à la caractéristique } répondre au nombre 1687g; j’en conclus que le logarithme proposé 7,2278467 répond à 16879000.

Si l’on ne trouve dans les tables que les premiers chiffres du logarithme , on se conduira comme l’exemple qui suit.

Pour trouver à quel nombre appartient le logarithme 5, 2482768, j’ôte deux unités à la caractéi istique ; le logarithme 8,2482768 que j’ai alors, tombe entre les logarithmes de 1760 et 1751 : le nombre auquel il répond est donc 1750 et une fraction.

Afin d’avoir cette f'-action , je retranche de mon logaritlime

3,24^2^68, le logarithme de 1750, et j’ai pour diliërence

Je prends aussi dans les tables la différence 24^1 entre les iogaritlimes de 1751 et i’] 5 o, après quoi je fais cette règle de Trois I

Si 2481 de différence entre les logarithmes de 1751 et 1750 , Répondent à i , unité de différence entre ces nombres ,

A quelle différence de nombres doit répondre la différence 2388 entre mon logarithme et celui de 1750?

Je trouve pour quatrième terme

; ainsi le logarithme