CHAPITRE DEUXIEME

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Propriétés relatives aux facteurs et aux dm senrs des "j; 5 nombres ; caractères de divisibilité ; propriétés nombres premiers; plus grarul comimin diviseur; ‘ ^ décomposition cT un nombre en facteurs premiers etrecherche du plus petit nombre divisible par des nombres donnés .

§ I*'. Propriétés des focieurs d’un produit.

Çï’.

18. Le produit de plusieurs nombres conserve la mém^ valeur dans quelque ordre qu’on effectue les multiplicaiions. ■

I®. Pour démontrer que cettè propriété convient à deux facteurs , considérons les facteurs 3 et On obtiendra toutes les unités qui composent le produit de 4 par 3, en écrivant 3 lignes horizontales de 4 Unités chacune, comme il suit :

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Mais , en comptànt les unités de ce tableau par lignes verticales, il est formé de 4 lignes verticales de 3 unités chacune, c’est-à-dire de 4 fois 3 unités , ou du produit de 3 par 4 . Les produits 4x3, 3x4 ^ont donc égaux.- Ce qui démontre le principe énoncé (i®).

2 ®. Pour démontrer que la propriété énoncée convient à trois facteurs , aux facteurs 4> 3, a, par exemple , il suf&t de ■prouver qu’on ne change pas le produit en transposant les deux premiers facteurs 4» 3, ou les deux derniers facteurs 3, 2 .

Or d’après ( 1 °), les produits 4x3, 3x4> étant égaux, si on les inuliiplic par 2 , les résultats 4x3xa, 3x4Xa,.

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,'t\CHAPlf Rli II.

Keront hecéssairement égaux. On peut donc changer l’prdr^ f des deux premier.s facteurs.

' Pour dënionlrer qu’on peut changer l’ordre des deux der- , iiiers facteurs, nous écrirons deux lignes horfzontales, com- 'yposées chacune de 3'noinhrcs égaux à4i comme on le voit ici

Dansce tableau, chaque ligne horizontale contenant 3 fois 4 ou 4X 3 tinités, les deux lignes horizontales qui

.. le composent contiennent 2 fois 4 x3 unités, ou4x3xa unités (*).

"■ Or, le même tableau peut être considéré comme formé de 3 lignes verticales, contenant chacune 2 fois 4 unités; c’està-dire qu’il est aussi composé de 4X2 unités répétées 3 fois, ou de 4 X 2 x,3 unités.

Les produits 4x3Xa» 4X2.X3, sont donc égaux. On peut donc changer l’ordre des deux derniers facteurs.

3°. Enfin, pour faire voir que le principe énoncé convient d' un nombre quelconque de facteurs , il suffit de prouver qu'on ne change pas la valeur du produit en transposant deux facteurs consécutifs quelconques.

Soitleproduit 2 x 6 x 4^3^ 5x8x 9X 7.

Pour démontrer qu’il ne change pas de valeur quand on transpose les facteurs 3 et 5 , on observe que le produit 2X6 x 4 x 3 x 5 devant être effectué avant qu’on le multiplie par les facteurs 8, 9, 7, il suffit de prouver que

*Le produit 48 des facteurs 2, 6, 4, devant être formé avant qu’on le multiplie par les facteurs 3 et 5, la question se réduit à faire voir que 48x3x5 =48 X5 X*3 ; et cette dernière égalité a été démontrée (2®).

(") Pour effectuer le produit de» facteurs 4 > 3 , a» dans Ponirc indique p^r 4^3xa, on txmltipiic d'abord 4 3, ce qui donne ta; et on mnltiplie

ensuite la par a; le résultat a4 est le produit demandé.

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■ afi NOTtS,

^ Il résulte de ce qui précède que , sans changer la valeur d’iiîî>

“ produit, on peut faire occuper à chaque facteur toutes les pl^^' ces, eu avançant successivement ce facteur d’un rang vcre droite ou vei*s la’gauche; ce qui démontre le prii^ipe énoncé.'’

15. Pour mulliplier un nombre par le produit de plusieurs facteurs, il suffit de multiplier successivement parles facteurs du produit; c’est-<à-dire que la multiplication d’un nombre , le produit de plusieurs facteur.* se réduit à multiplier ce nombre par le premier facteur, à multiplier le produit qui en résultèivj” J. ' parle second facteur ; et ainsi de suite jusqu’au dernier facteur* ,

Pour fixer les idées, nous proposerons de multiplier 2 par le produit 3.5 (’“) des facteurs 3 et 5. Il résulte des propriétés du u° 18, que

L’égalité 2X3.5 = 2 . 3x 5 fait voir que pour multiplier 2 par le produit 3.5 des facteurs 3,5, il suffit, après avoir multiplié 2 par 3, de multiplier le produit 2.3 par 5.

Les mêmes transformations pouvant se faire quels que soient la valeur et le nombre des facteurs, le principe est démontré.

14. Lorsqu’on multiplie un facteur d'un produit par un nombre, le produit est multiplié parce nombre.

Kn effet ; soit le produit des facteurs 2 , 3, '4- Si l’on multiplie le facteur 3, par 5, le produit 2X3x4 deviendra 2 X 3;5 X 4> multiplié par 5, car il résulte des prin-

cipes des n°* 18 et 15, que

^ § 2 . Propriétés relatives aux diviseurs des nombres etcaractères

de divisibilité.

V 15. Quand plusieurs nombres ont un dis^iseur commun , leur

(*) Lorsqa’on >cut indîqncr qnc Ton regarde le produit de plasicurs facteurs comme eiFcctae, de manière h meure ces facteurs en cVidencc , on place un point entre deux facteurs cons^iuifs quelconques. Ainsi , Texpression 3.5 désigne le produit i5 des facteurs 3,5 ; et ux3.5x4 indique le produit des trois facleuis u , 1 5,4*