CHAPITRE

sioii par 2 X a J>«>' 5 x 5 du nombre exprimé par ses deux premiers chiffres à droite. El ainsi de suite. Cela se déduit des principes précédens.

Pour fi.\er les idées , nous considérerons le nombre 43728 et le diviseur 5 X 5 ou 25. Je dis que le resto de la division de 43728 par 25 est le même que celui de la divisiou de 28 par 25. En effet, 43728 = 437®° "1"

Or, d’après la reinar(|uc du n" 20, le nombre 43700 est divisible par 25 ; 43700 est donc un multiple de 25; le reste de la division de 43728 par 25 est donc le même que celui de 28 par 25 ( n" 19, 1°) ; ce reste est 3.

i’' R emarque. Pour qu’un nombre soit divisible par 2, il faut et il suffit que son premier chijjre à droite soit séro ou soit divisible par 2. Pour qu’un nombre soit divisible par 2X2, c’est-à-dire par 4> ‘I ri il suffit que ses deux

premiers chiffres à droite soient des zéro , ou que ces deux chiffres expriment un nombre divisible par 4 y et ainsi de suite. Cela sc déduit des principes précédens.

2' Remarque. Par une raison semblable, pour qu un nombre soit divisible par 5 , il faut cl il suffit que son premier chiffre à droite soit zéro ou 5 ; pour qu’un nombre soit divisible par 5x5, c’est-à-dire par i 5 , il faut et il suffit que ses ffeux f premiers chiffres à droite soient des zéro, ou que ces deu.x chiffres expriment un nombre divisible par 25; et ainsi de suite.

3* Remarque. Les nombres divisibles par 2 s'appellent nombres pairs , à cause de leur propriété d’être décomposables en deux parties jtareilles ; et par opposition, les autres nombres sont dits impairs. De sorte que la suite des nombres naturels I, 2, 3, 4, 5, 6, etc. , est composée des nombres pairs 2, 4, 8, 8, 10,12, etc. , et des nombres impairs 1, 3 , 5, 7, g, 1 1, i3 , etc.

Ainsi, tout nombre terminé par un des chiffres o, 2,4, 6, 8 est PAIR, et tout nombre terminé par undes chiffres i , 3,5, 7,

g, est IMPAIR.

25 . Pour trouver le reste R de la division d’un nombre quelconque par g , il suffit d’additionner les chiffres du . nombre proposé. Quand la somme S de ces chiffres est moin-

3o . ‘ - NOTES,

dre que 9 , elle exjirime le reste cherché ^ lorsqu cite est égale à Cf, le reste R est zéro; quand S surpasse 9, on opère ■ , sur S comme sur le nombre proposé , en additionnant les chiffres ; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on parvienne à unè somme qui n excède pas 9 ; si cette dernière somme est moin— l, dre que g , elle exprimera le reste R cherché , et si elle est éga le, à g, le reste R sera zéro.

En effet ; chacun des nombres 10, 100, 1000, etc., est u^’ multiple de 9, augmenté de 1 , car ces nombres se décomposent^ en 9 + 1, 99+ I, 999 + 1, etc., et les parties 9, 99, 999, etc., sont évidemment divisibles par 9. Le nombre exprimé par un chiffre significatif suivi de plusieurs zéro est done Vm multiple de 9, augmenté de ce chiffre significatif. Il en résulte qué tout nombre est un multiple de 9 augmenté de la somme de ses chiffres significatifs; le reste de la division d’un nombre par 9 ^ est donc le même que celui de la somme de ses chiffres signifi-^v catifs par 9 (n“ 19, 1”) ; ce qui démontre la propriété énoncée.

Ainsi, le reste de la division de 34g par 9 est le même que le reste de la division de 3 + 4 + 9 par 9, ou île 16 par 9; «f dernier reste est 1 + 6 ou 7.

On peut omettre tous les g dans l’addition des chiffres signi~ ficatffs , car cela revient à diminuer le nombre donné d’unîr * ' multiple de 9, ce qui ne change pas le reste de la division parg (n» 19, i«). ^

Ainsi, le reste de la division de 9349 parg est 3 + 4 ou 7. ' ,

On obtiendra donc également le reste de la' division d’un.; nombre par 9, en ajoutant les chillres de ce nombre et en retranchant 9 à mesure que la somme égale ou surpasse 9. ^ ^

24. Pour obtenir le reste de la division d’un nombre par 3 , on forme la somme des chiffres de ce nombre; quand cette somme surpasse 9, on additionne ses chiffres, et on continue ces additions successives jusqu’à ce qu’on parvienne à une somme qui n'excède pas 9. Cette dernière somme, diminuée du plus grand multiple de 3 qui peut y être contenu , exprime le reste demandé. Dans l’addition des chiffres significatifs , on peut omettre les multiples 3 , 6 , 9, du diviseur 3 .