CHAPITRE

Eiiufti-’t, on vicnl (le iléiiiüiitrer '^n“ 25 ) (|tie tout' iiünibre'< / esi un mnlliple de c) augmenté de la somme de ses chiffres • ' .significatifs; d’ailleurs, 3 divisant 9, tout multiple de 9 est un multiple de 3 ; un nombre quelcoiu^ue est donc un multiple de 3 augmenté de la somme de ses chiffres significatifs; ‘ ' et par conséquent, le reste de la division d’un nombre par 3 -

est le ihcme que celui de la somme de ses chiffres significatifs , ’

par 3 ( n° 19 , i“). On en déduit la règle énOncée.

Ainsi, ])our obtenir le reste de la division de 536902607 par 3 , on forme la somme i 4 des chiffres 5,2,7; la somme 5 , des chiffres i, 4 > diminuée de 3 , donne le reste 2 de la division de 536 902 607 par 3 . • •

28 . Pour qu’un nombre soit divisible parc) ou par 3 , il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit un multiple de 90M de 3 . Cela résulte des propriétés des n°* 25 et 24 .

28 . Pour obtenir le reste R de la division d'un nombre quelconque ^ , par ti, sans effectuer la division, on calcule deux sommes : l’une des chiffres de rang impair à partir de la divite , l'autre des chiffres de rang pair. De la premi'ere somme , augmentée s’il est nécessaire d'un multiple de \l, on retranche la seconde somme. Quand le reste de cette soustraction est moindre que 1 1, il exprime R. Quand le reste de la » soustraction n’est pas moindre que 11,0/1 opère sur ce reste de la même manière qu'on l'avait fait sur N y et ainsi de suite jusqu'à ce qu’on parvienne à un reste moindre qi^e 1 1 ; ce dernier reste exprime R. Quand le dernier reste est zéro , le nombre proposé est divisible par 1 1 . En effet : * ,

1°. Les unités de rang impair, à partir du troisième ordre, ont pour valeurs, 100, loooo , i 000 000, etc. , et on a

100=99-1-1, 10000— -9999-I-1, 1000 000 = 999999+1. etc.

Or, 99 étant divisible par i i,les 1101061-059999, 999 999, etc., composés d’un nombre pair de 9, sont nécessairement divisibles paru; et comme, d’après la relation 1=0X11+1, chaque unité du premier ordre peut être considérée comme un multiple de 1 1 augmenté de 1, on voit que toutes les unités

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» de rang impair expriment des multiples de 1 1 augmentés de i .

2“.‘Les unités de rang pair, à partir du 4 * ordre, ont pour -i-- •' valeurs respectives i ooo , i oo ooo , etc. ; c’est-à-dire i ûo X « o , .

,,^10000 Xio, etc.; on trouvera donc leurs valeurs sous une ,î. forme analogue à celle qui a été obtenue (i®) pour les unités de rang impair, en multipliant par 10 les égalités ^

100=99-1-1, 10 ooo = 9999-}- I , etc.; ce qui donne .*V *• 1000=990-1-10, 100000 = 99990 -f- 10, etc. ' .v'

Or, 10=11 — 1 . On a donc ' .

10=1 1 — 1,1 000=9904-1 1 — I, 100 000=999904-1 i-i , etc.; .A

et coinine, d’après ce qu’on a vu (1®), les nombres 990, 99990, etc., sont divisibles par 11, toutes les unités de pair expriment des multiples de 1 1 diminués de i .

Cela posé : chacune des unités d’un cbilTrc de rang impair ''' ayant pour valeur un multiple de 1 1 augmenté de i, iV;'enré— > suite que tout cbilTre significatif de rang impair exprime par sa position, un multiple de 1 1 augmenté de cc chiffre. ,

De même , chacune des unités d’un chiftre de rang ayant pour valeur un multiple de ■ 1 diminué de 1 , il en ré— suite que tout chiffre significatif de rang pair exprime, par^H'-’ sa position , un multiple de 1 1 diminué de ce chiffre.

On déduit de ces deux dernières propriétés, que tout noinbr

chiffr

de rang pair. Car les nombres exprimés par les chiffres de ran;; impair étant des multiples de 11 augmentés respectivement de ces chiffres, le nombre exprimé par l’ensemble des chiffres de rang impair est composé de la somme de ces multiples de 1 1 augmentée de A ; ce qui revient à un multiple de 11,

' augmenté de A. Par une laison semblable, le nombre exprimé par la totalité des chiffres de rang pair est un multiple de 1 1 diminué de la somme B de ces chiffres. Ajoutant ces lieux parties du nombre N, on voi,t que la réunion des chiffres de rang impair et de rang pair de W compose un luul- ‘ tiple de 1 1 augmenté de A et diminué de B.

re N est un multiple de. 11 augmenté deda somme A des liiffres de rang impair, et diminué de la somme B des chiffres .

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