CHAPITRE

Quand la .somme A des chilFres de rang impair n’est pas moindre (jue la somme B des chiffres de rang pair, on peut retrancher la seconde somme de la première, et le nombre îf est un multiple de 1 1 augmenté de la différence A — B entre ces deux sommes; le reste de la division de cette différence par II, est donc le même que celui de la division de N par I I ( 19 , 1°).’

Lorsque A est moindre que B , on ramène ce cas au précédent eu augmentant A d’un multiple convenable de i r ; car cela revient à ajouter ce multiple de 1 1 à N, ce qui ne change pas le reste de la division par 1 1 (n" 19 , i“).

La rcjjle énoncée se déduit de ce qui précède.

D’apiès cette règle , le reste de la division de 62 4 <o par • > . est 0 + 4 + 6 diminué de 1 + 2, ou ^ ; celui de la division de 6241 par II est 1+2 +i' diminué de 4 + 6, ou 4’. reste de la division de 827081920 par 11 est g+-8 + 7+-8 diminué de 2 + I -j- 2 , ou 32 — 5 , ou 27 , ou 7 — 2 , ou 5 -

Poiir qu^tin nombre soit divisible par 11, il faut et il suffit que la différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair soit un multiple de ii , ou soit zéro ; car il suit de la règle précédente, que le reste de la division de ce nombre par 1 1 est zéro.

27 . Lorsqu’on divise deux nombres et leur produit par un même nombre, on obtient trois restes ; le produit des deux premiers restes , s’il est moindre que le diviseur, est égal au troisième reste ; et s’il n’est pas moindre que le diviseur, en le diminuant du plus grand multiple du diviseur qui y est contenu, le. résultat est le troisième reste.

Pour fixer les idées, considérons les nombres 3 i et 65 ; les restes des divisions de ces nombres par 9 étant 4 et

3 i est tin de f) augmenté tic 4 ;

05 est un multiple de p augnieiilé de 2.

Or, le produit de 3 i par 65 est cotnposé des quatre produits partiels de chacune des deux parties du multiplicande par chacune des deux parties.dii multiplicatt&ir; c’est-à-dire du produit de deux multiples 4 e 9, de 2 foi.s un. multiple tle 9 , do 4 lois

34 ■ NOTKS,

un multiple de 9, et de 2 fois 4 ; la somme de ces quaicc produits, qui exprime le produit de 3i par 65, est doue un inul- s tiple de 9 augmenté de 2 fois 4 ; et eu effet, le produit de 3i par 65 est 2oi5, et le reste de la division de 201 5 par 9 est 2 + 1-1- 5, ou 8, ou 4X2.

Cette propriété conduit à une méthode fort simple pour faire la preuve de la multiplication par g et par 1 1 .

Dans la preuve parg, on cherche les restes des divisions du ■ multiplicande, du multiplicateur et du produit par le diviseur 9; le produit des deux premiers restes , diminué du plus grand multiple du diviseur qui peut y être contenu, doit être égal au troisième reste. Quand cette condition n’est pas remplie, on doit en conclure qu’il y a une erreur de calcul.

La preuve par 1 1 s’exécute d’une manière semblable.

Exemple. Vérifier si 2445 1 est le produit de 3a6 par

Pour faire la preuve par 9, on cherche les restes 2, 3,7, des divisions par 9 des nombres 3a6, 76, 2445i; le produit 6 des deux premiers restes n’étant pas égal au troisième reste 7, on a uéeessairement commis une faute de calcul.

Pour faire la preuve par 1 1, on cherche les restes 7,9, 9,' ; des divisions par 1 1 des nombres 3a6, 75 , a445i ; le produit 63 des deux premiers restes, diminué de 1 1 x 5, n’étaut pas égal -i au 3‘ reste 9, le produit 2445 1 n’est pas exact.

Remarque. Le reste de la division d’un nombre par 9 ne cliaugeant pas quand ce nombre augmente ou diminue d’un multiple de 9 (n® 19, i®) , il en résulte que si le résultat d’une multiplication est trop fort ou trop faible d’un multiple de 9, la preuve par 9 n’indiquera pas cette erreur.

Par une raison semblable, ^ preuve par 11 est en défaut, quand les erreurs commises sont des multiples de 1 1 .

On déduit de la t” Remarque du n° 10, que le dividende diminué du dernier reste doit être égal au produit du diviseur par le nombre entier obtenu au quotient; la méthode précédente dQiine donc le moyen de faire la preuve de la division par 9 et par 1 1 .