CHAPITRE
5 3 . Des nombres premiers.
28 . On dit qu’i/n nombre est premier , lorsqu’il n’est divisible par aucun autre nombre; ce qui revient à dire qu'un nombre est premier quand il n’est divisible que par iui-iiiéme • et par Tunilé.
Pour trouver les nombres premiers , on observe que d’après les propriétés des n°‘ 22, 28 et 26 , le.s nombres terminés par un des chilTrcs o, 2, 4> 6, 8, sont divisibles para, les nombres terminés par 5 sont divisibles par 5 , tout nombre est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres est un multiple de 3 , et un nombre est divisible par 1 1 quand la différence entre la somme des chiffres de ranj' pair et la somme des chiffres de rang impair, est un multiple de 1 1 ou est zéro. Aucun de ces nombres (e.xcepté 2, 3 , 5 , et ii ) ne peut donc être premier. On ne doit donc chercher les nombres premiers que parmi les nombres
2,3, 5 , 7, II, i 3 , 17, 19, 23 , 29, 3 i, 37, 4 i , 43, 4 ?» 49 . 53 , 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89,91, 97, loi, io 3 , 107.
Ceux de ces nombres qui ne sont divisibles par aucun des nombres premiers moindres que leur moitié sont premiers, car , un nombre ne saurait admettre un diviseur plus grand que sa moitié (n° 18, 3 * Remarque).
On trouve de celte manière que les nombres premiers sont :
2, 3 , 5 , 7 > **> * 3 , 17, 19. ^ 3 , 29, 3 i , 37, 4 *. 43, 47, 53 , 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89, 97, loi, io 3 , 107, etc.
On donnera (n“ iOA) le moyen de simplifier la recherche des nombres premiers.
29 . Deux nombres sont dits premiers entre eux , quand ils n’ont pas de facteur commun : ainsi, 10 et 21, ou 2X5 et 3x7, sont premiers entre eux; on dit aussi que i o est premier avec 2 1 .
Deux nombres entiers consécutifs sont toujours premiers 'entre eux, car s’ils admettaient un facteur cnnunun, ce fac-
NOTES
leur diviserait leur différence i (n® 18, i" Remarque), ce qui n’est jias possible.
Les fadeurs et les diviseurs qui sont des nombres premiers, prennent les noms de fadeurs premiers et de diviseurs premiers. Ainsi, 35 est le produit des fadeurs premiers 5 et 7 ; 1
ces deux derniers nombres sont les diviseurs premiers de 35.
5 4- fj/n* grand commun diviseur.' ^ .■
50. Le plus grand de tous les diviseurs communs à plusieurs x' nombres, est leur plus grand commun diviseur. Nous aUon.s..,ï^ d’abord faire voir comment on peut trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres.
Pour fixer les idées, nous considérerons les nombres 48' et 18 ; leur plus grand commun diviseur ne pouvant surpasser i8, on est conduit à diviser 48 par 18; car, dans le cas ^ où la division réussirait, i8 serait le plus grand commun di— ■’f?’ viseur demandé; cela n’arrive pas dans notre exemple ; 48 di-, .■ visé par 18 , donne le quotient entier 2, et le reste 12. De sorte que 48= t8x 2 + 12 (n® 10, i’’' Remarque).
Il résulte de cette égalité et des propriétés énoncées (n°* IS ,
16, 17) , que le plus grand commun diviseur de 48 et i8 estle^^ même que celui de 18 et 12. En effet, tout diviseur commun à 48 et 18, divise la somine 48 et 18x2 qui est l’uue de ses parties; il doit donc diviser l’autre partie 12; tout diviseur commun à 18 et 12 divisant les deux parties 18 X 2 et 12, doit diviser leur somme 48; les diviseurs communs de 48 et 18 sont donc les mêmes que ceux de 18 et 1 2 ; le plus grand commun diviseur de 48 et 18 est donc le même que celui de 18 et 12.
Les mêmes raisonnemens étant applicables à des nombres quelconques, on voit que tout diviseur commun à deux nombres divise le reste de leur division , et que le plus grand commun diviseur de deux nombres est le même que celui qui existe entre le plus petit de ces nombres et le reste de la division du plus grand nombre par le plus petit. -
La question est ainsi réduite à chercher le plus grand com~ inun diviseur de 18 et 12 ; pour l’obtenir, on divise 18 par 19.
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