CHAPITRE II

LC (|Ui l'üuniït le i|uolicni 1 ci le l'este 6. Le plus ;>i'aiid coiiiiiiun diviseur de 18 el 17. est le même que celui de 12 cl6; ce dernier plus grand commun diviseur est 6 ; car 6 divise 12. Le plus grand commun diviseur de 48 et 18 est donc 6.

On dispose ordinairement le calcul de cette manière :

Quotiens 3

Divi(1en>]c8 cl divisctirs. . . . 4^

Restes 13

En gênerai : pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres , divisez le plus grand par le plus petit ; si le reste est zéro , le plus petit nombre sera le plus grand com~ piun diviseur cherché ; s’il jr a un reste , divisez le plus petit des nombres proposés par ce i'"' reste; si le reste de celte division est zéro, le reste sera le plus grand, commun diviseur cherché ; dans le cas contraire, divisez le i" reste parle 2*/ si le 3 ' reste est zéro , le 2' sera le plus grand commun diviseur cherché ; s’il nest pas zéro, divisez le 2” reste par le 3 *. Continuez à diviser les restes successifs les uns par les autres , jusqu'à ce que vous parveniez à un quotient exact ; le reste qui divisera exactement le reste précédent sera le plus grand commun diviseur demandé.

SI. On déduit des raisonnemens du 11° 50 , que tout diviseur commun à deux nombres divise les restes successifs que l'on obtient en cherchant le plus grand commun diviseur de ces deux nombres, et que le plus grand commun diviseur de deux nombrés est le même que celui de deux restes consécutifs quelconques. Par conséquent :

i“. Tout diviseurcominuu à deux nombres, divise leur plus grand commun diviseur*,

2°. Quand on obtient un reste égal à l’unité, ou quand un reste est égal au diviseur diminué d’une unité, ou lorsqu’on s’aperçoit que deux restes consécutifs sont premiers entre eux, ou quand on trouve pour reste un nombre premier qui ne divise pas le reste précédent, il est iiuinic de continuer le

NOTKS,

calcul , car on déduit aisément des principes précédons que les deux nombres dont on cherclie le plus grand commun diviseur sont premiers entre eux ;

3®. Lorsque deux nombres sont premiers entre eux, la rerherclie de leur plus grand commun diviseur conduit nécessairement à un reste égal à Tunité.

52. Lorsqu' apres avoir multiplié le dividende et le diviseur par un ttorrtbre entier N, on divise les produits l’un par Vautre, le reste de cette nouvelle division est égal au reste de la division précédente multiplié par N.

' Par exemple la division de 29 par 8 donnant le quotient entier 3 et le reste 5 , je dis que la division de 29 X 4 8x4

«tonnera le reste 5x4- P'*' effet, d’après la t" Remarque du n® 10, la première division donne

Multipliant paV 4 la somme 29 et ses parties 8x3,5, et , observant que 8x3x4 = 8x4x3(n® 12 ) , on aura

Cette dernière relation démontre que , dans la séconde di- » vision, le nouveau dividende 29 X 4 multiple du divi- *'

seur 8x 4> augmenté dé 5 X 4 î or 5 X 4 moindre que le diviseur 8x4« dans la première division, le reste 5 est nécessairement moindre que 1c diviseur 8 ; le reste de la nouvelle division est donc 5x4 2*)> tlttt démontre le

principe énoncé.

Reharque. On déduit de cette propriété que lorsqu’on connaît les restes successifs qui sont fournis par la recherche du plus grand commun diviseur entre deux nombres, pour en déduire les restes auxquels conduirait la recherche du plus grand commun diviseur entre les produits de ces deux nombres par un nombre donné, il suffît de multiplier par ce nombre donné , tous les restes obtenus dans la première opération.

Par exemple la recherche du plus grand commun diviseur entre 48 et 17 fournissant les restes 14, 3, 2^ t, o, la recherche du plus grand commun diviseur entre 48 X 5 et r 7 x 5

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