CHAPITRE II. 3g

doiineiaU les resies iijxS, 3x5, ix5, iX5, el ox5, ou O,

55. Le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres se déduit facilement de ce qui précède. '

Par exemple, pour obtenir le plus prand commun diviseur de 48 , i 8 et i5y on cherche d’abord le plus f;rand commun iliviseur de 48 et i 8 qui est 6 , et celui de 6 et i5, qui est 3; ce dernier est le plus grand commun diviseur demandé. '

En elfel : tout diviseur commun à 48, i 8 et i5, devant diviser 48 et i 8 , divise fi (n" 5i, i*) : il doit donc diviser fi et i5. Mais, 6 étant facteur de 48 et i 8 , tout diviseur commun à 6 et i5, divise 48, t 8 et i5. Le plus grand commun diviseurde 48, i 8 et i5, est donc le même que celui defiel i5.

Le plus grand commun diviseurde trois nombres est donc le meme que celui qui existe entre Tun de ces nombres et le plus grand commun diviseur des deux autres.

Tout diviseur de 48 , i8eti5, divisantfict i5, divise le plus grand commun diviseur de 6 et 1 5, et ce dernier plus grand commun diviseur est celui de 48, 18 et i5. Tout diviseur commun à trois nombres , divise donc leur plus grand commun diviseur; et ainsi de suite.

5A. En général : Pour trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres , il suffit de chercher successivement le plus grand commun diviseur entre le premier nombre, et le deuxieme ; entre le plus grand commun diviseur obtenu et le troisième nombre ; et ainsi de suite jusqu’au dernier des nombres donnés J le plus grand commun diviseur fourni par la dernière operation est celui des nombres donnés.

\ 5. Propriétés et recherche des diviseurs d’un nombre; décomposition des nombres en facteurs premiers , et recherche du plus petit nombre divisible par des nombres donnés.

5}>. Lorsqu’un nombre divise le produit de deux facteurs . s'il est premier avec un des facteurs, il divi.se nécessairement l’autre facteur. En effet, sujiposons (|ue fi divise 35 X et* soit premier avec 35 , les jioinbrcs 35 et fi n’ayant pas de fai

■ 'ii'

NOTES

leur commun , la recherche de leur plus (jrand conunun diviseur conduirait au reste I (n°51,3®); la recherche du plus grand commun diviseur entre 35 X 12 et 6 X ta efenduiraitv^ donc au reste 1 X ta ou 12 (n“52). Mais on suppose que divise 35 X ta, et 6 X ta est évidemment divisible par6}l(ï^'' reste 12, auquel conduirait la recherche du plus grand commun diviseur entre 35 X ta et 6 X ta, est donc divisible par 6 ’ (n® 51, i”1. Ce qui démontre le principe énoncé.

1" Remarque. Quand un nombre esl divisible, par des nom- ' bres qui sont premiers entre eux, deux à deux , il est aussi di- y • visible par leur produit. ^

Par exemple, ■j2 étant divisible par chacun des nombres 4« '' - 9, qui sont premiers entre eux, je dis que 72 est divisible par 4X9- En effet, 72 étant divisible par 4 et donnant le quo- jî

tient 18, on a 72 4 X

Or, par hypothèse , 9 divise le produit 72 de 4 e*

9 est premier avec 4 ; 9 divise donc i8 ; le quotient étant 2,

on a

18 = 9 X a, et par suite, 72 = 4 X 9 X 2.

Le nombre 72 est donc divisible par 4x9.

2' Remarque. Il suit de la i" Remarque, <[ue tout nombre divisible par des nombres premiers , est divisible par leur produit.

56. Tout nombre premier qui divise un produit divise nécessairement un des facteurs de ce produit.

En effet, soit un nombre premier 7 qui divise le produit 9 X t8 X 4^ ; s> 7 divise pas 9, les nombres 7 et 9 seront premiers entre eux. Or, d’après le jtrincipe du n° 15 , on peut considérer 9 X 18 X 4^ comme le produit de 9 par 18 . 4a', nombre 7 qui divise le produit de 9 par 18 . 4a, étant premier avec9, il faut que 7 divise 18 X 4a (n° 58). Par une raison semblable, si 7 ne divise pas le facteur 18 du produit i8x4a> les nombres 7 et 18 seront premiers entre eux ; il faudra donc que 7 divise 4a (n°58). *

i” Remarque. Il suit du principe précédent, e^\xe tout-divi-

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