CHAPITRE II
scur prpmtër d’une puissance d'un nombre , diidse nécessairement ce nombre.
2'Remarque. Les puissances successives, lo, loo, iooo,clc., de 10 , ne sauraient admettre d’autres diviseurs premiers que a et 5 ; car tout diviseur premier de l’uiie quelconque de ces puissances de lo, devant diviser le produit lo des nombres premiers 2 et 5, ne peut être que 3 ou 5.
3* Remakqde. Lorsque deux nombres sont premiers entre * eux , des puissances quelconques de ces nombres sont nécessairement premières entre elles , car si elles ne l’étaient pas, elles seraient divisibles par un même nombre premier, et d’après ^a Remarque , les deux nombres donnés seraient divisibles par ce nombre premier; ce qui est absurde, puisque les deux nombres donnés sont supposés premiers entre eux.
57. Pour décomposer un nombre quelconque N en Jacteurs premiers, on essaie successivement la division de N par chacun des nombres premiers 2,3, 5 , etc, qui n’excèdent pas sa moitié, jusqu’à ce qu’on parvienne à un nombre premier A , qui donne un quotient exact N' (^). On a N = A X N' ; et la question est réduite à décomposer N'en facteurs premiers. On opère donc sur N' comme on vient de le faire : ur N, en observant que N' ne saurait admettre un diviseur moindre que A.
On continue ces décompositions jusqu’à ce qu’on parvienne à un quotient qui soit un nombre premier.
i" Exemple. Décomposer ii55 en facteurs premiers.
Ce nombre n’est pas divisible par 2 (u® 1Î2, 1 " Remarque) ; il est divisible par 3 (n° 25) et donne le quotient 385 ; de sorte que
ii55 =3 x 385.
La question se réduit à décomposer 385 en facteurs premiers; ce nombre n’est pas divisible par 3 (n°25), mais l'est
(*) Si aucune de ces divisions ne réussissait , le nombre propose serait premier, car lin nombre ne saurait .admettre un diviseur plus ^and rpic s, a moitié (n» IB, 3* Kemarque).
/,a NOTES,
par 5 (»” M, a* Remarque), et fournit le quotient" 77 ; doiu 385 = 5 X 77 et ii55 = 3 x 5 X 77 .
line s’agit plus que de décomposer 77 en facteurs preiniers; 77 n’est pas divisible par 5 (n“ 82, 2 ' Remarque), mais 7 divise 77 et donne le quotient 1 1 : ce quotient étant un nombre premier, on voit que' ii55 = 3 x 5 X 7 X it.
On dispose ordinairement ce calcul de la' manière suivante
De sorte que tous les facteurs premiers 3 , 5 , 7 , 1 1 , de 1 1 55 , se trouvent dans une même colonne verticale.
2 ' Exemple. Décomposer 36o en ses facteurs premiers.
On trouveque 36o = 2X2X2X3x3x 5 = 2 ’ X 3’ X 5. i” Remarque. Un nombre n est décomposahle qiî en un seul sjsteme de facteurs premiers ; c’est-à-dire que de quelque manière qu’on parvienne à décomposer un nombre en facteurs premiers, on retrouvera toujours les mêmes facteurs premiers affectés des mêmes exposans ; il n’y aura que l’ordre de ces facteurs qui pourra changer. Cela revient à démontrer que deux produits ne sauraient être égaux s’ils ne renferment pas les mêmes facteurs premiers affectés des mêmes exposans. Je dis, par exemple , qu’on ne saurait avoir 2 ^ x5 X 7 = 2 X 3^ X 5; en effet , 7 divisant X 5 X 7 , devrait diviser 2 X 3* X 5 ; 7 diviserait donc un des nombres premiers 2 , 3, 5 (n° 36), ce qui est absurde. De même , 2 -’ divisant 2 ’ X 5 X 7 devrait diviser 2 X 3' X 5 ; or , '
mais, 2 ’ est premier avec 3*; 2 ’ diviserait donc le nombre premier 5; ce qui est absurde. Le principe est donc dénionlrc.
2 ' Remarque. On déduit du principe du n° 15, que le produit de deux nombres contient tous les facteurs premiers
