On verra de meme que le quotient de 2 g par 3 g est
-P- X -VJ, ou -J-=.
Les preuves des quatre règles sur les fractions s’exécutent comme il a été indiqué (n° 11 ).
88. On dit qu’une fraction est irréductible , lors(|u’e1le ne peut se réduire à une forme plus simple, c’est-à-dire quand elle ne peut être exprimée exactement par aucune fracUoti équivalente ayant des termes respectivement moindres.
Il suit de cette défini tion , que les deux termes d une fraction irréductible n'ont jamais de facteur commun , et que deux < fractions irréductibles dont les termes sont différons ne peuvent f ornais avoir la même valeur. '
56 NOTES
Quand les deux termes d’une fraction n’ont pài de facteur commun, celle fraclion est irréductible.
Ed effet , si une fraction ^ dont les deux termes n’ont pas
de facteur commun, pouvait être égale à une fraction —
ayant des termes 8, 20 respectivement moindres que 12 et 35, en réduisant ces fractions au même dénominateur 35x20, les nouveaux numérateurs 12 X 20 , 8X 35, devraient être égaux; et comme 12 X 20 est divisible par 12 , le produit 8x35 devrait être aussi divisible par 12 ; 'or on suppose que 12 est premier avec 35 ; 12 devrait donc diviser 8 (n®38); ce qui est impossible, puisque 12 surpasse 8; la 1 2
fraction ^ ne peut donc se réduire à une forme plus simple; elle est donc irréductible.
Par conséquent, pour réduire une fraclion à sa plus simple expression , il suffit de diviser ses deux termes par leur plus grand commun diviseur.
Remarque. Les deux termes de toute fraction équivalente à une fraction irréductible sont donc les produits des deux termes de celte fraction irréductible par un même nombre,
§ 2 . Des fractions décimales.
85. La simplicité du calcul des nombres entiers , coinparée à la complication du calcul des fractions , a fait naître lardée de subdiviser Tunité principale en parties de dix en dix fois plus petites ; ces parties ont été nommées fractions décimales , ou unités décimales, ou décimales ; ainsi, l’unité principale se divise en dix parties égales nommées dixiémes, chaque dixième vaut dix centièmes , chaque centième vaut dix millièmes , etc.
Le systèmeadopié pour écrire les nombres entiers s’applique aux décimales, car d’après ce système , les chiffres d’un nom- ' bre exprimant des unités de dix en dix fois plus petites à mesure qu’on avance d’un rang vers la droite, il en résulte que si l’on place des chiffres à la droite des unités d’un
CHAPITKE III.
nombre, le i*' chHTre i droite des unîtes exprimera des dixièmes, le 2 ' des centièmes, le 3' des millièmes, etc. Je distinguerai le chiffre des unités principales en mettant à sa droite une virgule de la forme
Le nombre décimal 23,45 vautdonc 23 unités plus 4 dixièmes plus 5 centièmes ; les chiffres placés à droite de la virgule sont les chiffres décimaux ou les décimales de ce nombre ; ainsi le nombre 23,45'j contient trois chiffres décimaux ou trois décimales, sat partie décimale est 457 , et 23 est sa partie entière.
84. D’après ces conventions, un nombre décimal est multiplié ou est divisé autant de fois par le facteur i o , 'qu’on avance la virgule de rangs vers la droite ou vers la gauche de ce nombre. Par exemple, en avançant la virgule de deux rangs vers la droite de 3,456, on multiplie ce nombre par 10 X 10 ou par 100 , car chacun des chiffres du résultat 345,6 exprime des unités cent fois plus grandes qu’auparavant.
So. Tout nombre décimal équivaut à une fraction dont le numérateur est le nombre décimal abstraction faite de la virgule , et dont le dénominateur est F unité suivie d’autant de zéro qu il y a de ch ffres à droite de la virgule. En effet; sup- . primer la virgule dans un nombre décimal revient .à avancer la virgule d’autant de rangs à droite qu’il y .a de décimales; on multiplie donc ce nombre par l’unité suivie d’autant de zéro qu’il y a de chiffres à droite de la virgule ; il faut doue diviser le résultat par l’unité suivie de ce même nombre de zéro.
Par exemple, lorsqu’on supprime la virgule dans 3,45, le ré.sultat 345 est égal à 3,45 X 1 00 ( n® 84 ) ; 3,45 est donc égal
Pour convertir en décimales une fraction dont le dénominateur est Vunité suivie de plusieurs zéro , on écrit le numérateur et on sépare autant de décimales sur sa droite qu’il y a de zéro dans le dénominateur; car cela revietit à effectuer la division
du numérateur parle dénominateur (n® 84); ainsi, — ^-est égal
NOTES
Remarque. Quand le numérateur ne contient pas le noinbie de cliiffres nécessaire an placement de la virgule , on y supplée en ineUant des zérosur la {gauche du numérateur. Par exemple,
le dénominateur de la fraction — contenant 5 zéro, la
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règle prescrit de séparer 5 décimales sur la droite de 407 ; on remplace donc 407 par 000407 , et en séparant les 5 décl males, le résultat 0,00407 exprône la fraction proposée.
86. Un nombre décimal peut s’énoncer de deux manières .• i“. On énonce d'abord la partie entière comme si elle était seule ; puis on énonce la partie décimale comme s’il s’agissait d’un nombre entier, et on termine ce dernier énoncé par le nom des unités du dernier chiffre à droite ; 2“. otv énonce le nombre proposé en faisant abstraction de la virgule , et on termine cet énoncé par le nom \des unités décimales représentées par le dernier chiffre décimal du nombre proposé.
Ainsi, le nombre 207,039 peut s’énoncer
Deux cent sept unités trente-neuf millièmes , ou.
Deux cent sept mille trente-neuf millièmes.
Réciproquement, pour écrire un nombre décimal énoncé, on pose successivement , à partir de la gauche , le nombre d’unités de chaque espece indiqué dans l’énoncé du nombre proposé, et on a soin de mettre des zéro à la place des unités intermédiaires qui peuvent manquer; on pose ensuite la virgule à Ut droite du chiffre des unités simples , de manière que chaque chiffre occupe le rang qui convient à l'esp'ece de ses ' unités. Cette règle se déduit de la précédente.
Ainsi, cliacuu des nombres,
Deux cent sept unités trente-neuf millièmes ,
Deux cent sept mille trente-neuf millièmes ,
s’écrit de cette manière, 207,089.
87 . \j’ addition et la soustraction des nombres décimaux s’elfectuent comme sur les nombres entiers, en ayant soin de placer les unités de même grandeur les unes sous les autres,
