CHAPITRE III

le de'nomiaateur ne contiendra aucun des facteurs 2 et 5. La conversion de cette dernière fraction en décimales fournissant toujours un quotient périodique (3"), il suffit de prouver que la période commencera nécessairement aux dixièmes.

Si le quotient était périodique mixte, il serait exprimé par une fraction ordinaire dont le dénominateur serait terminé par un ou plusieurs zéro (n® 60,3®); cette fraction étant égale à une fraction irréductible dont le dénominateur ne renferme aucun des facteurs a et 5 de 10 , tous les facteurs 2 et 5 de son dénominateur devraient entrer dans son numérateur, qui devrait être par conséquent divisible par 10 ; le premier chiffre de ce numérateur devrait donc être un zéro (Remarque du n“ ai) ; or, il est facile de conclure de la règle du n° 60 (3®) , que ce premier chiffre ne peut jamais être un zéro. La période commence donc aux dixièmes.

Par exemple, soit la fraction 7 ^ dont le dénominateur ne ren-

ferme aucun des facteurs 2 et 5 : elle seréduità — ou à ■■ ' .

'Si la division de 2 par 21 pouvait fournir un quotient périodique mixte, tel que 0,2345656 etc. , par exemple, la période étant 56, la règle du u° 60 (3®) , donnerait

0,2345656 etc.

23456 — 234 99ÔÔÔ

Cette fraction ordinaire devant se réduire à

tous les

facteurs 2 et 5 du dénominateur 99000 doivent pouvoir disparaître, ce qui exige qu’ils entrent en même nombre dans le numérateur 23456 — 234; numérateur doit donc être divisible par 10 ; son premier chiffre à droite doit donc être un zéro ; il faudrait donc qu’après avoir retranché 234 23456,

le premier chiffre du reste fût zéro : le dernier chiffre 4 de la partie non périodique devrait donc être égal au dernier chiffre de la période; ce qui est contre l’hjpothèse. Il est donc absurde de supposer^ que la période ne’' commence pas aux

dixième.s.

68 NOTES

5". (^uand le dénominateur d'une fraction irréductible cou.

tient des facteurs 2 et 5 combinés awc. tt autres facteurs, la

conversion de cette fraction en décimales conduit toujours à

un quotient périodique mixte.

En effet, soit la fraction f - dont le dénominateur est le pro-

duit des facteurs a, 5 , 3 ; le dénominateur 3 o contenant le facteur 3 , qui n’entre pas dans le numérateur, il résulte de( 3 °) que la division de 7 par 3 o fournira un quotient périodique ; la question se réduit donc à prouver que ce quotient nesaurait être périodique simple. Si la division de 7 par 3 o pouvait conduire à un quotient périodique simple, à 0,3737 etc. par

exemple, la règle du n“ 60 (i°) donnant 0,373737 etc. =

les fractions — , seraient égales; et en les réduisant au 3 o 99

même dénominateur, les nouveaux numérateurs 7X99, 37X3o seraient égaux. Or, par l’hypothèse , le dénominateur 3 o de la fraction proposée est divisible par 2 et par 5 ; le produit 7 X99

serait donc divisible par 2 et par 5 . Mais, la 'fraction ~ étant

supposée irréductible,- le numérateur 7 n’est divisible par aucun des facteurs 2, 5 , du dénominateur, le nombre 99 serait donc divisible par 2 et par 5 ; ce qui est impossible (n® 23 , 1" et 2™' Remarque).

02 . Lorsque la partie décimale d’un nombre n’est pas composée d’iêie infinité de 9 , si l’on supprime , sur la droite de ce nombre , tous les chiffres qui expriment des unités inférieures à un ordre donné , la partie supprimée aura toujours une va—

' leur moindre qu’une unité du dernier ordre conservé.

Par exemple, soit le nombre 37,46785 etc.; en supprimant tous les chiffres placés à la droite du chiffre 6 des centièmes , la partie supprimée 0,00785 etc., est moindre que la fraction

décimale périodique mixte 0,009999 etc. , ou que -2- (11° 60 ,

39, ou que , ou qu un centième.