VI. — Montrer que la somme

n"*"n-hl n4-2

donne naissance à une fraction décimale périodique mixte. Généraliser ce résultat.

Si nous réduisons ces trois fractions au même dénominateur, nous pouvons écrire ainsi la somme envisagée :

(n-hlXy*-i-2)4-n(n + 2)-i-n(n-^l)^ n(n-i-i)(n-+-2) Or parmi les trois nombres n, n+i et n4-2, il y en a un qui est divisible par 3 et un seul ; le dénominateur est donc divisible par 3 ; quant au numérateur, il contient trois termes dont deux sont divisibles par 3 et un non divisible par 3 ; il n'est donc pas divisible par 3. De même

parmi ces nombres, il y en a certainement un qui est pair, ou deux. Si un seul est pair, c'est le nombre n -4- i, et un raisonnement complètement semblable au précédent montre que le dénominateur est divisible par â et que le numérateur ne contient pas ce facteur; si deux de ces nombres sont pairs, ce sont n et in -h 2; alors en réunissant le premier et le dernier terme du numérateur, la somme proposée peut s'écrire ainsi :

2(n-4-l)»-hn(n + 2) n(n-+-l)(n-H2) et, sous cette forme, il est visible que le dénominateur contient au moins deux fois le facteur 2, tandis que lé numérateur ne le contient qu'une fois. Donc, dans tous les cas, quelles que soient les simplifications qui se produisent, la fraction irréductible équivalente à celle qui précède contient au dénominateur, au moins une fois, chacun des facteurs 2 et 3; par suite elle donne naissance à une fraction décimale périodique mixte.

Pour généraliser ce résultat, considérons la somme il 1

n n-hi n+p — i

dans laquelle p désigne un nombre premier quelconque et n un nombre entier quelconque. Les dénominateurs n^ n-f-1, ...., n-hp — i, sont p nombres entiers consécutifs; il y en a donc un et un seul qui contient le facteur premier p. Cela posé, réduisons toutes ces fractions au même dénominateur et effectuons leur somme; nous obtiendrons

(n-t-l)(n4-2) (n+p— i)-hn(n-H2) (n-hp— i)-|-

•n(n-4-l) (n-hp— 1)

Il résulte de ce qui précède, que le dénominateur de cette fraction est divisible par p; quant au numérateur, c'est la somme des produits p — 1 à p — 1 des nombres n, 71-4-1,...., n + p — 1; l'un de ces produits et un seul ne

Gontientpas le nombre qui est divisible par p; donc toutes les parties du numérateur, sauf une, sont divisibles par p, et, par suite, le numérateur n'est pas divisible par p.

D'autre part, les nombres qui figurent au dénominateur commun sont pairs de deux en deux; parmi ceux-ci, les nombre's situés de deux en deux sont divisibles par 4; parmi ceux-ci, les nombres situés de deux en deux sont divisibles par 8; et ainsi de suite. On finit par trouver un seul nombre pair qui contient une puissance .de 2 supérieure à toutes les autres (*) ; soient 2^ cette puissance et 2* la puissance de 2 qui est en facteur au dénominateur. Chaque terme du numérateur contient au moins 2*"* en facteur, et, en supprimant ce facteur haut et bas, il reste 2^ au dénominateur, tandis que le numérateur, se composant de termes tous pairs, sauf un, ne contient plus le facteur 2.

La fraction irréductible équivalente h la fraction étudiée contient donc au dénominateur les facteurs premiers 2 ei p; donc elle donne naissance à une fraction décimale périodique mixte.

Le raisonnement actuel n'est pas applicable aux deux cas où Ton a p = 2 ou bien p = 5.

— Dans le cas de p = 2, on a à étudier la somme

-H -t ou —7 -.9 ce nombre fractionnaire est

n n+i n(rn-i)

toujours irréductible, car les facteurs premiers de n, pas plus que ceux de n-hl, n'appartiennent à 2n-hi. D'ailleurs l'un des deux nombres n et n-t-i est pair; le facteur 2 appartient donc au dénominateur. Si n est différent de i , l'un des deux nombres n et n 4- i admet un autre facteur premier que 2 ; si ce facteur est autre que 5, la fraction décimale obtenue est périodique mixte, Suppo-

(*) Le procédé d'exclusion employé peut conduire à deux nombres divisibles par la même puissance de 2 ; alors Tun des deux contient en facteur la puissance immédiatement supérieure.

sons que ce facteur soit 5, c'est-à-dire que n ou nn-l soit une puissance de 5, d'abord n; alors les deux derniers chiffres à droite de ce nombre forment le nombre 25 ; ceux de n + i forment le nombre 26 ; ce dernier nombre n'est pas divisible par 4; donc le nombre n+iy qui ne contient pas le facteur 5, contient au moins un autre facteur

premier que 2; par conséquent la fraction décimale obte*

2î*-|- i nue en développant — jr est périodique mixte. Il est

vrai que ce raisonnement ne s'applique pas au cas de

n = 5; mais alors on a la fraction z-^ qui donne nais-

sance à une fraction décimale périodique mixte. Supposons» en second lieu, que ce soit n + 1 qui soit une puissance de 5; alors, sauf le cas de tu- i = 5, le nombre n-\-i est ternainé par 25, et le nombre n par 24; comme il y a des puissances de 2 terminées par 24, cette considération ne peut nous renseigner. Mais, dans ce cas le nombre n est de Tune des deux formes 5^+* — 1, 5'* — 1, k étant au moins égal à 1 ; datis le premier cas, le nombre n est divisible par 5—1 ou 4, et le q&otient est impair ; n admet donc d'autres facteurs premiers que 2 et 5; dans le second cas, n est divisible par 5* — 1 ou 24, et admet

le facteur 3. Dans tous les cas signalés, la fraction -7 —

donne naissance à une fraction décimale périodique mixte»

Si n 4- 1 = 5, on a n = 4; la fraction devient z^ et

donne une fraction décimale limitée, 0,45.

Enfin si n = 1, on a la fraction - qui donne encore un

nombre fractionnaire limité, 1,5.

Examinons maintenant le cas de p = 5; nous avons alors à étudier la somme

' n n + l n + 2 nH-3 w + 4

Un des 5 nombres n, n-Hl, ru- 2, n4-3, n-h4.

est divisible par 5, et un seul de ces nombres jouit de cette propriété; il en résulte donc, par un raisonnement complètement semblable à celui déjà fait, que si Ton réduit les cinq fractions au môme dénominateur et qu'ensuite on les ajoute, la fraction irréductible égale h cette somme contiendra au dénominateur le facteur 5. D'autre part, si Ton considère 5 nombres consécutifs qui ne commencent ni par 4, ni par 2, ces nombres contiennent d'autres facteurs premiers que 2, 3 et 5, c'est-à-dire que l'un d'eux admet un facteur premier supérieur à 5 {*); ce nombre est, du reste, seul, puisque la suite ne contient que cinq nombres. Le raisonnement est facile à achever et, sauf pour n = 1 ou n = % la somme envisagée donne naissance à une fraction décimale périodique mixte , Si n = 1, on a la somme

qui donne le nombre décimal périodique mixte 2,28333 .... Si n = 2, on a la somme

qui donne un nombre décimal limité 1,45.

198. VII. — Trouver quatre nombres entiers consécutifs connaissant la somme de leurs carrés.

Désignons par A la somme donnée et par x le plus petit des quatre nombres; les trois autres nombres seront repré-. sentes par a?-i-l, a? -h 2, a?-*-3. Les carrés des quatre nombres sont donc représentés par «•, a?*-*-2x-t-l,

(*) Supposons, par exemple, les nombres terminés par 0, i, 2, 3, 4; le premier est divisible par 5 ; le second et le quatrième n'ont ni le facteur 2, ni le facteur 5 ; d'ailleurs, ils diffèrent de deux unités et Tun d'eux n'est pas divisible par 3 ; l'un d'eux contient donc on autre facteur premier que 2, 3, 5.

^^ PROBLÈMES BT THÉORÈMES

a?*-h4a?-H4, a?'-H6ar-l-9, et leur somme par 4r* -h 12a? -4- 14.

Ea égalant cette somme à A, on obtient Tégalité suivante :

4a-«-}-12arH-14 = A.

Cette égalité nous montre que A doit être divisible par 2

et que Ton a, en divisant les deux membres par 2^

ou 2(x-+.l)' + 2(x-»-l)-4-3 = ^;

de là on déduit

le nombre entier - — 3 doit donc encore être divisible

par 2. En désignant ce nombre par 2B, on a donc finalement («+l)»+(apH-l) = B.

Cette égalité entraîne immédiatement la double inégalité (a?4-l)»<B<(x4-2)»; par suite, le second nombre, x + 1, est la racine carrée à une unité près du nombre B.

On a donc à faire les opérations suivantes^ qui doivent être toutes possibles : diviser par 2 le nombre donné et retrancher 3 du résultat; diviser ce nouveau nombre par 2 et extraire la racine carrée du quotient à une unité près. D'après Tégalité {x + !)• + (a? -t- 1) = B, le reste obtenu doit être égal à la racine.

Si toutes ces conditions sont remplies, le problème est possible et résolu : on a obtenu le second des quatre nombres cherchés; sinon le problème est impossible.

Exemple,— A = 630, ^ = 315, —3 = 312; donc

La racine carrée à une unité près est 12 et le reste 12. Le

problème est donc possible et les quatre nombres sont

1:9. Ylïl.'^' Trouver deux nombres connaistant la somme de leurs cubes et sachant qu'ils diffèrent entre eux de dewç unités.

Désignons par x le plus petit des deux nombres ; Tautre nombre sera a? -h 2; les cubes de ces nombres sont représentés par a?* et (a? 4- 2)' ou a?*-f-6ar'-|-12a?4-8. Si donc nous désignons par A la sonmie donnée de ces deux nombres, nous aurons

Cette égalité nous montre que A doit être divisible par 2, et qu'alors on a

Or le premier membre est plus grand que (ar-f-1)» et il est moindre que (a?-f-2)^ ou (a?-Hl4-i)*, puisque Ton a

[(ar4-l)-hl?=(a?-l-l)»-4-3(a?4-l)«-|-3(a?^.l)+l.

Le nombre - est donc compris entre (ap'4- i)» et (a? + 2)', et la double inégalité

nous montre que a?+ 1 est la racine cubique à une unité

près de ^- Lé reste est le triple de la racine, d'après l'égalité qui donne a? 4- 1.

En définitive, on est conduit aux opérations suivantes, qui doivent être toutes possibles, dans les conditions indiquées : on divise par 2 le nombre donné, on extrait la racine cubique à une unité près du quotient ainsi obtenu, et Ton obtient le nombre compris entre les deux nombres

donnés, si le reste de Topération est le triple de la racine ; sinon, le problème est impossible.

Exemple. — A = 221472; on a - = 110736. La ra-

cine cubique à une imité près de ce nombre est 48 et le reste 144 ; comme on a

le problème est possible et les deux nombres demandés sont 47 et 49.