Cas où le reste est un nombre d'un seul chiffre
Dans le cas où les deux nombres entiers sont peu dififérents, où le reste n'a qu'un seul chiffre, il suffît d'être familiarisé avec l'addition pour apercevoir de suite quel est le reste. Exemple : on voit de suite que 496 — 489 est égal à 7.
On peut, du reste, commencer par des nombres plus simples, des nombres qui sont compris dans la table d'addition ; ainsi, pour soustraire 7 de il, il suffit de penser que 7 et 4 font il, et le reste est 4. On peut aussi enlever successivement 7 unités de il, soit en comptant sur ses doigts, soit autrement.
Le cas général se ramène à celui-ci.
27. Cas général. — 1" Supposons d'abord que tous les chiffres du nombre à soustraire soient inférieurs aux chiffres correspondants dans Tautre nombre ; il suffit alors de les retrancher de ceux-ci pour obtenir le résultat. En effet, en procédant ainsi, on a enlevé des unités du plus grand nombre celles dû plus petit, deà dizaines du plus grand nombre, celles du plus petit, etc. ; on a donc bien enlevé finalement du premier nombre toutes les unités contenues dans le second, et par conséquent le nombre qui reste, étant ajouté au second, reproduira le premier; donc c'est le reste.
Pour faire Topéiration, on écrit le plus petit nombre audessous du plus grand, on tire un trait horizontal, et audessous on met le résultat ; il faut faire en sorte que les unités de même ordre soient dans la même colonne verticale. Exemple : soit à soustraire 46321 de 89746 ; l'opération est
43425 et se lit ainsi : 1 de 6 reste 5, 2 de 4 reste 2, 3 de 7 roste 4, 6 de 9 reste 3, 4 de 8 reste 4.
Dans le cas actuel, l'opération peut être commencée indifféremment par la droite ou par la gauche, car ce n'est pas autre chose qu'ime suite de soustractions isolées et simples, qui se font indépendamment les unes des autres.
2° Supposons que parmi les chiffres du nombre à sous-
traire il y en ait de plus forts que les chiffres correspondants de l'autre nombre. Nous procéderons alors comme précédemment, retranchant du chiffre des unités du plus grand nombre le chiffre des unités du plus petit, du chiffre des dizaines, le chiffre des dizaines du second nombre; seulement quand nous serons en face d'une soustraction partielle impossible à effectuer, nous augmenterons de dix unités le chiffre du premier nombre, et nous ferons alors la soustraction que nous n'avions pu faire ; puis, pour ne rien changer, nous ajouterons aussi dix unités du même ordre ou bien une unité de Tordre immédiatement supérieur, au second nombre, de telle sorte que le chiffre suivant du nombre à soustraire sera augmenté de un.
Cette façon de procéder repose sur le principe suivant :
Si l'on ajoute à deux nombres le même nombre (Tunités^ leur différence n'est pas altérée.
En effet, on peut partager le plus grand nombre en deux autres, Tun contenant le même nombre d'unités que le plus petit, et l'autre, égal au reste. Cela fait, si l'on ajoute le même nombre d'unités aux deux nombres entiers, cela peut se faire, pour le plus grand des deux, en ajoutant ces unités à la partie égale au plus petit nombre; l'autre partie, qui est le reste, ne sera donc pas changée.
L'opération que nous venons d'exposer doit être commencée par la droite, puisque les chiffres du nombre à soustraire sont susceptibles d'altération, et que cela ne peut s'apercevoir, dans chaque cas, qu'une fois la soustraction partielle, portant sur les unités d'ordre immédiatement inférieur, effectuée. L'opération se dispose du reste comme dans le cas précédent. Exemple : soit à soustraire 75986 de 112428; nous écrirons 75986 au dessous de 112428, de façon que les unités de même ordre soient dans la même colonne,
et nous dirons : 6 de 8 reste 2, 8 de 12 reste 4, et je retiens 1, 1 et 9, 10, 10 de 14 reste 4, et je retiens 1, 1 et 5, 6, 6 de 12 reste G, etc..
Dans la pratique, on fait diverses abréviations, par exemple on peut supprimer le mot reste, qu'il est inutile de répéter à chaque fois, on peut ajouter Tunité de retenue sans le dire, etc.
28. Preuve de la soustraction. — Pour faire la preuve de la soustraction, il suffit d'ajouter le reste au nombre à soustraire ; on doit retrouver ainsi Tautre nombre.
On peut aussi changer un peu la manière d'effectuer la soustraction, dans le cas où il y a des chiffres dans le nombre à soustraire plus forts que ceux qui lour correspondent dans l'autre; en effet, au lieu d'ajouter par la pensée une unité au chiffre immédiatement à gauche dans le premier nombre, on peut enlever par la pensée cette unité du chiffre correspondant, dans le second nombre. Si l'opéra* tien, ainsi faite, donne le même résultat que la première, c'est une présomption en faveur de l'exactitude. Reprenons l'exemple précédent : soit à soustraire 75986 de 112428 ; nous disposons l'opération comme précédemment et nous
36442 disons : 6 de 8, 2, 8 de 12, 4, 9 de 13, 4, 5 de 11, 6, 7 dé 10, 3.
29. Propriétés simples des égalités. — Si à deux groupes d'objets contenant le même nombre d'objets, on ajoute deux autres groupes contenant aussi le même nombre d'objets, il est évident que les nouveaux groupes contiendront encore le môme nombre d'objets; donc une égalité n'est pas altérée si on ajoute aux deux membres le même nombre ; ainsi les deux égalités
A = B et A-4-C-B4-C
sont équivalentes.
On verrait de même que Von n'altère pas une égalité en retranchant le même nombre des deux membres ; ainsi
A = B et A — G= B — G
sont deux égalités équivalentes.
Il résulte encore de la définition de la soustraction que les deux égalités
A = B-+-C et A — B = C
sont équivalentes; mais cela résulte aussi de la seconde propriété, car si on retranche le nombre B des deux membres de la première égalité, on trouve la seconde.
. On peut ajouter membre à membre plusieurs égalités et on obtient une nouvelle égalité.
En effet, si les deux nombres A et B sont égaux, cela veut dire qu'ils contiennent autant d'unités Tunque l'autre, lorsque les opérations qui concourent à les former sont effectuées. Si on leur ajoute respectivement deux nombres égaux A' et B', on obtient évidemment de nouveaux nombres égaux aussi, pourvu que Tonne change pas Tordre des opérations à efiTectuer. A ces nouveaux nombres, on pourra aussi ajouter respectivement des nombres égaux A' et B", etc. Ainsi :
entraînent A+A'+A^-f- = B-t-B'-|-B''+ ••••»• *
Si on ajoute le même nombre à deux nombres distincts, leur différence ne change pas ; il eii résulte qu'on peut àjou-. ter aux deux membres d'une inégalité le même nombre sans que le sens de cette inégalité soit changé.
(*) On expliquera plus loin le sens exact qu'il faut attacher à une égalité entre nombres entiers (no 57).
Ainsi, les deux inégalités :
A<B et A-f-C<BH-C
ont lieu en môme temps.
De même, si l'on retranche des deux membres (Tune inégalité un même nombre moindre que chacun de ceux qui la composent^ on obtient encore une inégalité de même sens que la première.
Si l'on a plusieurs inégalités de même sens, on obtient encore une inégalité de même sens en les ajoutant membre à membre.
Ainsi les inégalités
entraînent la nouvelle inégalité :
A-4-A'-HA"-f-... <B-+-B'h-B"-4-...
car écrire
c'est affirmer qu'il y a des nombres B = A4-C, B' = A -+-C,
par conséquent, d'après ce que nous avons vu plus haut, nous avons
(B-+-B'H-B''H....) = (A-+-A'-hA''-h...)-+(C-+-G'H-C'H.,..), et de là, il suit que
• A-^A' + A'-i- ... <B + B'-hB'' -+-...". Les égalités et les inégalités en arithmétique s'appliquent surtout à des nombres entiers non encore formés qui sont indiqués par certains modes de composition et de décomposition. Il est bien évident qu'il n'y aurait aucun intérêt, à écrire simplement que 7 = 7 ou que 6 < 7. Ces relations ne seront écrites et considérées que lorsqu'il y aura lieu de les combiner avec d'autres en vertu des principes précédents ou de principes analogues.
exemple: 3 + 7-4-3 = 18 — 3, 2-h4 — 3 = 7— 4,.
8 — 7 = 12 — 6 -h 5— 10 entraînent
l'expression 12 — 6 + 5 — 10 indique qu'il faut retran-
tels
que:
cher 6 de 12, au résultat ajouter 5, et de ce résultat retrancher 10.
Nous démontrelrons plus tard (n* 32) que Ton peut faire les opérations ainsi indiquées dans un autre ordre.
* 30. Nombres eotiers négatifs. — Nous avons vu antérieurement que si les deux nombres entiers A et B sont donnés, A > B, Tégalité B -h C = A définit un nombre entier, C, et un seul, qui est la différence entre A et B ; ce nombre contient autant d'unités qu'il en manque à B pour valoir A. Mais^ si B est plus grand que A, l'égalité précédente ne définit plus de nombre entier, G ; si Ton veut qu'elle soit encore satisfaite, il faut créer un nouveau symbole numérique, auquel on étendra le plus grand nombre des propriétés des nombres entiers que Ton pourra, tout en lui donnant au moins une propriété nouvelle qui rende possible la soustraction indiquée par A — B. Pour ne pas altérer les régies de calcul relatives aux égalités, il faudra procéder de telle sorte que les égalités
B-hC=:A et B = A — C ou C = A — B restent équivalentes.
Puisque B > A, la différence B — A existe ; soit C cette différence, de sorte que C = B — A ; le nombre entier A ajouté au nombre entier G' reproduisant B, on peut dire aussi que A est la différence entre B et G' et écrire A = B — G' ; c'est de là que nous allons déduire la définition du symbole nouveau, en nous astreignant à ce que l'égalité A = B + G soit équivalente à l'égalité A = B — G' ; il faudra> pour cela, poser G = — G', regarder le signe — comme étant adjoint au nombre G', comme faisant partie intégrante du symbole nouveau, et convenir que B H- (— G') se calculera comme B — G'. Ce nouveau symbole s'appelle un nombre négatifs et il jouit nécessairement de la propriété suivante, qui sera étendue:
Pour ajouter à un nombre positif ordinaire un nombre négatifs contenant^ abstraction faite du signe^ moins d'unités que lui^ il faut effectuer la soustraction indiquée par le signe — , comme si ce signe existait seul.
Les nombres ordinaires se nomment des nombres positifs, terme déjà employé. On les regarde comme précédés du signe -h, même quand ce signe n'est pas écrit. Nous voyons donc que les signes -h et — ne sont pas seulement des indicateurs d'opérations, mais aussi des éléments constitutifs des nombres positifs et négatifs. 11 nous reste maintenant à indiquer les propriétés de calcul de ces nombres, c'est-à-dire à indiquer comment ces nombres se combinent par voie d*addition ou de soustraction. Le commençant devra faire la plus grande attention à toute super-
position des signes + et —, le premier indiquant une opération, le second un signe afférent à un nombre.
La valeur absolue d*un nombre est la valeur numérique de ce nombre, abstraction faite de son signe. Un nombre positif est identique à sa valeur absolue, ou se comporte comme si cela était. (Voir la suite.)
Revenons maintenant à Tégalité A = B -h C, qui définit, dans tous les cas, un nombre entier, positif ou négatif. G, pourvu que A et 6 soient des entiers positifs donnés. Nous la regarderons comme étant toujours équivalente à Tégalité C = A — B. Il est naturel de représenter le second membre par A + ( — B), comme nous avons déjà agi dans un cas ; mais alors, pour avoir la valeur de G = -— G', nous serons conduit à formuler la loi suivante, qui contient la première propriété, comme cas particulier, et qui est plus générale qu'elle :
Pour faire la somme de deux nombres, l'un positif, Vautre négatif, on fait la différence de leurs valeurs absolues et on donne au résultat le signe + ou le signe — ^ suivant que la plus grande valeur absolue appartient au nombre positif ou au nombre négatif.
L'énoncé de cette loi étant indépendant de Tordre des deux parties de la somme, on peut, sans altérer le résultat, échanger les deux nombres, et on a A -h (— B) = — B H- A, ou A — B= — B-i-A, en supprimant le signe intermédiaire, qui est un signe d'opération. (*)
* 31. Suite des propriétés des nombres négatifs.— Lorsque le nombre A est négatifs et le nombre B positif, l'égalité A = B -h C définit un nombre C négatif.
En effet, d'après la loi précédente, pour obtenir le nombre négatif A, il faut ajouter au nombre positif B un nombre négatif G, dont la valeur absolue contienne d'abord les unités de A, puis celles de B ; donc, en désignant par | A | la valeur absolue d'un nombre entier A quelconque, positif ou négatif, nous aurons |CI = |A|-f-B et G = — |C|.
Cela posé, dans un but de généralisation facile à comprendre, nous écrirons toujours G = A — B = A H- (— B). Donc :
Pour faire la somme de deux nombres négatifs, on fait la somme de leurs valeurs absolues et on donne au résultat le signe — .
Supposons maintenant A positif et B négatif ; alors l'égalité conditionnelle A = B -f- G définit un nombre positif G.
En effet, pour avoir A, il faut ajouter à B un nombre positif
(*) Cette loi n'est pas la traduction exacte des conventions que Ton vicut de faire : elle contient, en outre, une géuéralisation.
qui contienne d'abord les unités de la valeur absolue de B, lesquelles seront détruites par le nombre B, d'après la loi fondamentaje d^addition d'un nombre positif et d'un nombre négatif; puis ce nombre doit contenir en outre les unités de A; donc C = A -h 1 B |. Or nous écrirons toujours C = A — B, ainsi qu'il a été convenu ; donc nous arrivons à la règle suivante :
Pour retrancher d'un nombre positif qttehongiue un nombre négatif quelconque^ on fait la somme des valeurs absolues,
Jl nous reste à examiner un dernier cas, le cas où A et B sont négatifs. Si | A | > | B |, il faut ajouter à B un nombre négatif qui contienne, abstraction faite du signe, autant d'unités qu'il en manque à |B| pour valoir iÀ); donc C = |B| — |Al = A-h|B|. Si, au contraire, | A | < |B|, il faudra ajouter à B un nombre qui fasse disparaître de sa valeur absolue les unités qu'il a en plus que I A I, c'est-à-dire un nombre positif égal à I B j — | A| ; on a donc encore C = iB( — lA] = | B| + A.
Or si nous revenons à l'égalité conventionnelle C = A — - B, et que nous posions 'B = — B', nous voyons que C = A~-(-B') = A + B' (B' = |B|).
De là, la règle suivante, qui comprend celle qui précède :
Pour soustraire d'un nombre quelconque un nombre négatif, on ajoute au premier la valeur absolue du second, (*)
Nous connaissons maintenant tout ce qui est relatif à la somme de deux nombres quelconques, positifs ou négatifs, et à leur différence, et nous pouvons rappeler en peu de mots tout ce qui est relatif à la combinaison des deux signes -i- et — : -f- sur + donne -h, -4- sur — donne -r» — sur + donne —, — sur — donne -h; mais le premier signe transforme le second en un signe d'opération, en attachant aux opérations d*addition et de soustraction le sens complet qui a été trouvé plus haut.
* 32. Sommes algébriqutss. — On appelle sommée algébrique une somme de nombres entiers quelconques, positifs ou négatif^, A, B, C, D, K, L:
S = A^-B-hC-^ -f-K-hL. .
Pour avoir S, on procède, par définition^ de la manière sufvante : on ajoute B à A, d'après les règles trouvées antérieurement, puis au résultat on ajoute C, etc., jusqu'à ce que Ton ait ajouté L à la somme effectuée. A + B -h C H- ;••• -h K.
Pour abréger l'écriture, on remplace toujours deux signes superposés par uii seul, d'après les règles données antérieurement.
Plaçons dans un tableau spécial, au fur et à mesure que nous
(*) Ou plutôt on ajoute au premier le nombre positif qui a même valeuf absolue que lu second.
"liTtiifcif
les rencontrerons, les unités des nombres positifs, et, dans un antre tableau, les unités des nombres négatifs, ou plutôt les unités de leurs valeurs absolues ; appelons ces deux tableaux, pour abréger, le tableau positif et le tableau négatif. Nous mettrons d'abord les unités de I A | dans le tableau positif ou dans le tableau négatif, suivant que A est positif ou négatif; puis les unités de I B I dans le même tableau, si A et fi ont le même signe, dans Tautre tableau, si B est de signe contraire à A ; dans le premier cas, le nombre inscrit dans le tableau contenant seul des unités est A + B ; dans le second cas, nous barrons autant d'unités dans un tableau que dans l'autre, jusqu'à ce que l'un des tableaux ne renferme plus aucune unité ; le nombre inscrit dans le tableau qui contient des unités non barrées est A + B. Nous placerons ensuite les unités de |C| dans le tableau correspondant ; si ces unités ont été mises dans le tableau contenant des unités non barrées, le nombre inscrit dans ce tableau est  + B + C; sinon, on barre encore autant d'unités dans l'un des tableaux que dans l'autre, jusqu'à ce que l'un d'eux ne contienne que des unités barrées ; le nombre inscrit dans le tableau contenant des unités non barrées est A + B + C ; si les deux tableaux ne contenaient que des unités barrées, ce nombre se* rait 0 et on aurait A + B + C = 0. Et ainsi de suite, jusqu'à ce que tous les nombres aient été employés. Or, au lieu d'opérer ainsi, on peut mettre d'abord dans le tableau positif les unités de tous les nombres positifs, puis, dans le tableau négatif, les unités de tous les nombres négatifs ; on barre ensuite autant d*unités dans l'un des tableaux que dans l'autre, jusqu'à ce que l'un d'eux ne contienne plus d'unités ; le nombre inscrit dans l'autre tableau, pris avec le signe correspondant, est la somme S ; car il revient au même de barrer toutes les unités communes en une fois ou en plusieurs. On déduit de là la régie suivante, qui est très importante :
Pour obtenir la valeur d'une somme algébrique S, on fait la somme de tous les nombres positifs qiCelle contient y Si, puis on fait la somme de tous les nombres négatifs, — Sa, on prend la différence Sj — Sa ou Sa — Si et on donne au résultat le signe + ou le signe — , suivant que le nombre le plus grand des deux est Si ou Sa ; s'ils sont égaux, S = 0.
Cette règle ne dépend aucunement de l'ordre des termes : donc, dans une somme algébrique, on peut intervertir l'ordre des termes d'une façon quelconque ; en d'autres termes, cette nouvelle addition, plus générale que l'addition arithmétique, est aussi une opération commutative.
On peut aussi, sans rien changer, réunir plusieurs termes consécutifs en un seul ; car cela ne change rien au nombre des unités barrées dans chaque tableau, si on les écrit toutes ; en
ARITHM. HUMB. 3
d'dutres termes, l'addition actuelle est une opération associative.
Enfin on a S-f-0 = S, et A-|-(— A)=0.
Telles sont les propriétés fondamentales de Taddition que nous avons définie dans ce paragraphe.
On peut y ajouter les deux suivantes :
1° Four faire la somme de pltosieurs sommes algébriques y on les écrit les unes à la suite des autres^ en gardant à chacun des nombres qui les composent son signe.
En effet, chaque somme donne naissance à deux tableaux, le tableau positif et le tableau négatif, Pun ne contenant que des unités barrées et Tautre représentant à Taide de ses unités non barrées la valeur de la somme algébrique. Pour les ajouter entre elles, il suffit de réduire les tableaux qui contiennent des unités non barrées à ces unités, et de former avec eux de la même manière que précédemment deux nouveaux tableaux, positif et négatif, puis de barrer autant d'unités dans Tun que dans l'autre, jusqu'à ce que l'un d'eux ne contienne plus, que des unités barrées. Mais on arrivera au même résultat, si l'on rétablit les unités que l'on avait barrées antérieurement, tout en les conservant barrées ; c'estrà-dire si l'on écrit dans un tableau positif toutes les unités des nombres positifs, dans un tableau négatif toutes les unités des nombres négatifs, et si on barre ensuite autant d'unités dans l'un des tableaux que dans l'autre, jusqu'à ce que l'un d'eux ne contienne plus d'unités non barrées. Mais on obtient ainsi la somme algébrique formée avec tous les nombres.
2** Pour retrancher une somme algébrique d'une autre somme algébrique f on écrit à la suite des nombres de celle-ci tous ceux de la première, changés de signe.
En effet, la soustraction se fait en changeant le signe de la seconde somme (n'»»30 et 31), ce qui revient à échanger son tableau positif avec le tableau négatif.
