CHAPITRE IV
33. Définition de la multiplication. — La multiplication a pour but, étant donnée deux nombres^ A et B, de trouver un troisième nombre, C, gui contienne autant de fois le nombre A quHl y a d'unités dans B ou, ri F on veut y de répéter A, B fois, de trouver la somme de B nombres égaux à A.
Le nombre A s'appelle le multiplicande^ le nombre B le
multiplicateur^ et le nombre C est le produit. On indique
la multiplication par le signe X, qui se lit multiplié par^
et on écrit
AXB = C.
Exemple : multiplier 7 par 5, c'est répéter 7, 5 fois, c'est faire la somme de 5 nombres égaux à 7 ; on a ainsi
7 est le multiplicande, 5 le multiplicateur, 35 le produit, et
on a
La multiplication n'est pas autre cbose qu'une addition dans laquelle les nombres employés sont égaux; on pourrait donc faire toute multiplication comme une addition, seulement quand il y aurait un grand multiplicateur, le nombre des parties de la somme serait grand et l'addition serait fort longue. Il a donc été utile de créer une opération
spéciale qui permette de trouver rapidement le produit de deux nombres donnés.
C'est cette opération que nous allons étudier et que nous nommerons la multiplication.
34. Table de multiplication. — Dans le cas où les deux nombres n'ont chacun qu'un seul chiffre, l'addition suffit à former le produit; mais il est indispensable, pour la suite, de savoir par cœur tous les produits analogues. Ces produits sont tous contenus dans un tableau qu'on appelle la table de Pythagore et qui a la forme d'un carré; ce carré se compose de 9 rangées de 9 cases chacune. Dans la première rangée, on place les 9 premiers nombres entiers,
dans la seconde rangée, on place les produits de ceux-ci par 2, c'est-à-dire les nombres qu'on obtient en les ajoutant tous à eux-mêmes,
dans la troisième rangée, on place les produits des nombres de la première rangée par 3, c'est-à-dire les sommes obtenues en ajoutant les nombres de la première rangée à ceux de la seconde; dans la quatrième rangée, on met les produits des nombres de la première rangée par 4, c'est-à-dire les sommes obtenues en ajoutant les nombres de la première rangée à ceux de la troisième ; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on obtienne la 9* rangée, qui contient les produits par 9 des nombres de la première. D'après cette façon de procéder, le produit d'un nombre d'un seul chiffre. A, par un nombre d'un seul chiffre, B, est dans la colonne verticale marquée A en haut, et dans la ligne horizontale marquée B, à gauche.
Table de Pythagore
Remarque. — Il est facile de voir à simple inspection que ce tableau est parfaitement symétrique par rapport à la première diagonale du carré, celle qui joint la case i à la case 81; c'est-à-dire que le nombre qui se trouve à Tintersection de la colonne A et de la ligne B est aussi à Tintersection de la ligne A et de la colonne B. Donc pour les nombres d'un seul chiffre on a
Cette propriété sera démontrée pour un produit de deux nombres quelconques.
Mais, pour les commençants, il vaut mieux disposer de la façon suivante les résultats du tableau précédent :
Table de Multiplication :
1 fois 1 —
1 fois 4 — 4 1
1 fois 7—7
1 fois 2 —
1 fois 5—8
1 fois 8—8
1 fois 3 —
1 fois 6—6
1 fois 9—9
On fait répéter ce tableau au débutant jusqu^à ce quHl en connaisse parfaitement toutes les parties.
35. Multiplication d'un nonibi*e quelconque par un nombre d'un seul chiffre. - Si nous considérons un groupe quelconque d'objets contenant A objets et que nous voulions le répéter B fois, il sera indilTérent, au point de vue du nombre des objets, de placer dans le groupe A ces objets d'une façon quelconque et même de les disposer en groupes contenant A„ A,, , Ajk objets, pourvu que le nombre total
des objets dans ce groupe, A, -f- A, h- h- A*, soit toujours égal à A. On voit donc que pour multiplier par B un nombre quelconque A, on peut le partager en plusieurs parties que Ton multipliera respectivement par B, après quoi on fera la somme des résultats obtenus. Dans la pratique, on partage le nombre A en unilés, diiainesy centaines^ etc., et on multiplie respectivement ces divers nombres par B; la somme des résultats obtenus est le produit demandé, — Exemple : soit à multiplier 4G 934 par 7. On multiplie par 7 les 4 unités du nombre et on a pour résultat 28; par 7, les 3 dizaines ou les 30 unités représentées par des dizaines et on a pour résultat 21 dizaines ou 210 unités; de môme 9 centaines multipliées par 7 donnent pour résultat 63 centaines (63 groupes de 100 objets chacun) ou 6300, etc. On a donc finalement à faire la somme
L'opération peut se disposer ainsi :
328538, les nombres compris entre les deux barres horizontales
estant les produits partiels qu'il faut ajouter les uns auxautres.
L'opération peut être abrégée en faisant les multiplications partielles en môme temps que l'addition ; il suffit pour cela de retenir à chaque fois les unités d'ordre supérieur à celles que l'on calcule et de les ajouter au produit partiel que donnent les unités situées immédiatement à gauche de celles-ci. L'opération est alors disposée ainsi :
et on lit : 7 fois 4, 28, je pose 8 et je retiens 2, 7 fois 3,
21 et 2, 23, je pose 3 et je retiens 2, 7 fois 9, 63 et 2, 65,
je pose 5 et je retiens 6, 7 fois 6, 42 et 6, 48, je pose 8 et
je retiens 4, 7 fois 4, 28 et 4, 32; cette fois, l'opération
étant terminée, j'écris 32 'entièrement.
L'opération, ainsi simplifiée, doit être commencée par la
droite; mais il est évident que si on garde la première
forme, on peut aussi bien commencer par la gauche; et
alors, on a :
328538 Il est à peine besoin d'ajouter qu'on adopte la seconde forme et que, par suite, on commence toujours l'opération par la droite.
Cas particulier. — Multiplication <fun nombre quelconque par un nombre d*un seul chiffre suivi de zéros en nombre quelconque.
Soit par exemple à multiplier 63 par 6000. Il est évident que, pour répéter 6000 fois un groupe d'objets, on peut le répéter d'abord 6 fois, puis le groupe nouveau 1000 fois, ce qui fait 1000 ensembles de 6 groupes chacun, c'est-àdire 6000 groupes en tout ; ou bien on peut répéter d'abord 1000 fois le groupe considéré, puis 6 fois cet ensemble, ce qui fait 6 ensembles de 1000 groupes chacun ou 6000 groupes.
Dans le premier cas, on a
63X 6 = 378 ; 378 X iOOO = 378000.
Dans le second cas, on a
63 X 1000 = 63000 ; 63000 X 6 = 378000. De là, la règle :
On multiplie d*abord le nombre donné par le chiffre non nul du multiplicateur y et on ajoute autant de zéros à la droite du produit qu'il y en a au multiplicateur ; ou on ajoute autant de zéros au multiplicande qu'il y en a au multiplicateur , puis on multiplie ce résultat par le chi/fre non nul du multiplicateur,
36. Multiplication d'un nombre quelconque par un nombre quelconque. — Soient A le multiplicande et B le multiplicateur ; supposons que B soit la somme de plusieurs nombres entiers, Bj, B,, , B*. Pour placer dans un tableau
B fois le nombre A, on peut d'abord l'y placer B, fois, puis Bj fois, etc., jusqu'à B* fois. Donc on multipliera k nombre A par B, en le multipliant d^ abord par Bj , puis par
B,, B,, , Ba, et ajoutant ensuite tous les résultats obtenus.
Ainsi le produit
AXB, ou AX(Bj + B,4- -t-BA)n
est égal à
AXB,-^AXB,-t- -t-AXB*.
{*) (Bi -h Bt -H 4- Bjk) désigne, comme dans tous les cas analogues, la
somme effectuée, c'est-à-dire le nombre B.
Si Ton écrit, pour abréger, comme cela se fait communément, AB au lieu de AXB et A{Bj4-B2 + 4-B&)
au lieu de AX(B,-hB2+ + BAr), on a
AB = A(Bj + B2-H + Ba)= AB,-hAB, + ^•ABA.
Alors, pour multiplier un nombre quelconque A par un nombre quelconque B, on multiplie A par les unités de B, puis par le nombre que représentent les dizaines de B, par le nombre que représentent les centaines de B, etc,; ensuite on fait la somme de tous les produits partiels obtenus.
Exemple : 57324 X 236 donne l'opération :
les nombres écrits entre les deux barres horizontales sont les divers produits partiels qu'il faut ajouter.
Dans la pratique, on ne met pas les zéros à droite des produits partiels ; on se contente de reculer le second produit d'un rang vers la gauche, le troisième de deux rangs, etc. Ex :
13518464 Si un, deux ou trois zéros se rencontrent de suite dans le multiplicateur, les produits partiels correspondants sont nuls, et le produit que Ton rencontre après doit être reculé de 2, 3, 4, rangs vers la gauche. Ex. :
Rewaroue I. — Lorsque le multiplicande et le multiplica teur sont terminés par des zéros, on fait la multiplication comme si les zéros n'existaient pas, et on ajoute, à la fin, à la droite du produit autant de zéros qu'il y en a dans les deux nombres pris ensemble. Soit, par exemple, à multiplier 36000 par 2750 ; il est clair que pour écrire le nombre 36000, 2750 fois, il suffit de récrire d'abord 275 fois et de répéter cet ensemble 10 fois ; on peut donc négliger d'abord le zéro qui est à la droite de 275 pour l'ajouter ensuite ; de môme, pour répéter 275 fois on groupe de 36000 objets, il suffit de répéter 275 fois un groupe contenant 36 groupes partiels de iOOO objets chacun ; on pourra donc multiplier d'abord 36 par 275, puis le résultat par iOOO, c'est-à-dire ajouter 3 zéros à la droite de ce produit.
En définitive, on multipliera 36 par 275 et on ajoutera ensuite 4 zéros à la droite du produit ainsi obtenu. Dans chaque cas particulier, on raisonne de la même manière.
Remarque IL — Dans la multiplication d'un nombre quelconque par un nombre de plusieurs chiffres, rien n'empêche de parcourir le multiplicateur de gauche à droite, plutôt que de droite ai gauche ; il suflit alors de tenir compte de la nature des unités que représente chaque produit partiel, et par conséquent de les avancer, à chaque fois, d'un rang vers la droite ; s'il y a des zéros au multiplicateur, les produits correspondants manquent, et le premier produit partiel que l'on a à écrire doit être avancé d'autant de rangs vers là droite qu'il y a de zéros, plus un.
Le multiplicande doit, comme nous Tavons dit, être par-
couru de droite à gauche, sous peine de compliquer beaucoup Topération, à cause des retenues que Ton peut avoir
à faire. Exemple :
37. Nombre des chiffres du produit. '— Si on augmente ou si on diminue les diverses parties d'une somme, la somme est évidemment augmentée ou diminuée, suivant le cas ; car chacun des groupes représentés par les divers nombres ajoutés, contient plus ou moins d'unifés, et, par suite, il en est de môme du groupe final, qui est formé par leur réunion. 11 résulte de là, dans le cas où tous les nombres ajoutés sont égaux, que si, dans une multiplication, on augmente ou diminue le multiplicande, sans toucher au multiplicateur, on augmente ou diminue le produit.
Si, de même, on augmente ou diminue le multiplicateur, sans toucher aumultiplicande, le produit augmente ou diminue.
Car alors le nombre des groupes d'objets que Ton prend est augmenté ou diminué, et, par conséquent, le groupe final, qui provient de leur réunion, subit la môme variation (*).
Si on augmente ou si on diminue à la fois le multiplicande et le multiplicateur, le produit est augmenté ou diminué.
Car on peut d'abord faire subir la variation au multiplicande seul, puis au multiplicateur seul, et chacune d'elles fait subir au produit une variation dans le môme sens, d'après ce qui vient d'être dit.
(*) Dans toulcs les qucslions de ce genre, il faut toujours revenir à la définilioQ du nombre cnlicr, qui indique combien il y a d'objets dans un groupe, et revenir à Tidée d*addilion, telle qu'elle a été exposée au début.
Considérons, alors, pour fixer les idées, le produit d'un nombre A de 5 chiffres par un nombre B do 3 chiffres. Nous aurons les inégalités suivantes :
en multipliant les inégalités membre à membre, elles seront conservées, d'après les propriétés que nous venons d'exposer, et nous aurons
