Suite des propriétés simples relatives à la division

Nous avons vu, dans la théorie de la multiplication, qu'une égalité donne une nouvelle égalité quand on multiplie les deux membres par un même nombre.

De môme il est évident que si deux nombres sont égaux et divisibles par un autre nombre, ils donnent le même quotient. Par conséquent, lorsqu'on pourra diviser les deux membres d'une égalité par un même nombre, on sera conduit à une nouvelle égalité.

lo Si les diverses parties d'une somme sont divisibles par un même nombre, la somme est divisible par ce nombre, et on obtiendra le quotient en ajoutant les quotients donnés par les diverses parties de la somme.

La première partie de cette proposition a déjà été établie. Pour démontrer la seconde, on peut raisonner de la façon

suivante : soit B = B^ -h B, 4- -|-B„ une somme de n

nombres; si nous supposons chacun d'eux divisible par un nombre A, cela veut dire que Ton a

B, = AQj, B, = AQ„ , Bn = AQ„.

On a donc B, -hB,4- 4-B„ = AQ, -hAQ^-h -I-AQ„.

Or nous avons vu que, dans le second membre, on peut mettre A en facteur; d'ailleurs le premier membre est égal à B. On a donc

B = A(Qi-hQ,-h -l-Q„);

le nombre B est donc exactement divisible par A et le quotient est Qi-f-Qj-H -4-Qn.

2^ Pour diviser un nombre par un produit de plusieurs facteurs, lorsque la division se fait exactement, il suffit de diviser ce nombre par Vun des facteurs, puis le quotient par un autre facteur, puis le nouveau quotient par un nouveau facteur, et ainsi de suite.

Soit A = A,Aj A„ un produit de n facteurs; soit

en outre B un nombre divisible par A; cela veut dire que B = AQ, Q étant un certain nombre entier. Mais cette égalité peut s'écrire

si donc nous désignons par Qj le produit A^Ag AnQ,

nous voyons que B est égal à AjQ,; par suite Qj est le quotient de B par A,; d'autre part, si nous désignons

par Qj le produit AgA^ A„Q, nous avons Q^ = AgQj;

Qa est donc le quotient de Q^ par Ag ; nous agirons ainsi jusqu'à ce que nous soyons parvenu à Q, ce qui aura lieu quand nous aurons divisé successivement par tous les facteurs.

Exemple : 3990 est divisible par 105 et le quotient est 38. Or 105 est le produit 3X5X7. Nous arriverons donc au quotient en divisant successivement par 3, 5, 7. Le nombre 3990 divisé par 3 donne pour quotient 1330; celuici divisé par 5 donne 266; enfin 266 divisé par 7 donne 38.

3** Lorsqu*un produit de plusieurs facteurs est divisible par un nombre A, et que Vun des facteurs est aussi divisible par A, la division peut se faire en divisant simplement le facteur en question par A.

Soit le nombre B = BjBg B„, supposé divisible par

A, et supposons en outre que le facteur Bj soit aussi divisible par A; cela veut dire que B^ = AQi, Qj désignant un certain nombre entier. En remplaçant B^ par AQ,, nous pourrons écrire B de la façon suivante :