B = AQ^B^B, B

sous cette forme nous voyons immédiatement que le quotient de B par A est Q1B2B3 B„, c'est-à-dire le produit donné, dans lequel le premier facteur B^ a été divisé par A.

Remarque. — Dans les deux raisonnements qui viennent d'être faits, nous avons fait porter la démonstration sur des facteurs déterminés, quant à leur rang; mais cela n'enlève aucune généralité à nos raisonnements, car les facteurs d'un produit peuvent être écrits dans un ordre quelconque.

Exemple : 840 = 24X5X7 est divisible par 4; le quotient est 210^ et on l'obtient en divisant le crémier fao-

leur par 4,

Lorsqu'on voudra diviser un produit par un de ses facteurs, on divisera donc le facteur correspondant par luimême, c'est-à-dire qu'on le remplacera par i. Or dans un produit il est inutile d'écrire le facteur i. Dans ce sens, nous dirons donc que l'on divise un produit de facteurs par l'un d'eux en supprimant ce facteur.

4* On obtient le quotient de detix puissances d^une même lettre A, en affectant cette lettre d'un exposant égal à la différence entre les exposants du dividende et du diviseur, lorsque le premier est supérieur au second.

En effet, si l'on a m plus grand que n, le produit A*""" a été défini (n** 41), et nous avons démontré (n* 42) que ^m-n^n - ^m-n+n q^ ^m Donc A*"^ est le quotient de A"' par A". On a donc :

Autrement. — Le dividende contient m facteurs A, le diviseur en contient n; on obtiendi*a donc le quotient en supprimant n facteurs A au dividende.

Si m égale n, on a — = i. L'expression A"*-", qui est

ici A®, n'a plus aucun sens, mais nous pouvons lui en donner un, en la prenant égale à 1, A° = 1.

Nous pouvons généraliser maintenant la proposition 2**, en l'étendant au cas où le nombre B n'est pas divisible exactement par le nombre A.

5® Pour trouver le quotient à une unité prés d'un nombre B

par un produit de facteurs A = AjAj A^, on prend le

quotient à une unité près de B par A^, puis le quotient à une unité prés de celui-ci par Aj, puis le quotient à une unité prêt de celui-ci par Aj, et ainsi de suite.

En effet, si nous divisons B par A^, nous obtenons

flO OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES ENTIERS

en divisant Qj par Aj, nous obtenons

Qi = A^Q,

(R2<A8); etc.

Nous avons donc la suite d'égalités

Qi =A3Qa + R„

Qn-i = AnQn + Rn.

Nous pouvons faire disparaître tous les quotients intermédiaires, en multipliant la première égalité par 1, la

seconde par A,, la troisième par A^Ag, , la dernière

par AjAg k„u et en les ajoutant les unes aux autres.

Les produits A^Q^, A^AgOa, ^A^Ag A„iQn i se trouvent alors chacun dans les deux membres et peuvent être supprimés. Il reste

B^AiA2...AnQn-hRi-hAiRa+AiAaR8H hA^Aa-^An^iR^.

Cette égalité indiquera la division de B par le produit A, si le nombre

R = Rj + A,R,-4-A,A2R3-j- -4-AjA, An«iRn

est plus petit que A. Or chacun des nombres R^, Rs,...,Rn

est respectivement plus petit que Aj, A3, ,A„, et par

suite au plus égal à Ai — i, Ag — 1, , An — i. Nous

voyons donc que R est au plus t^.A au nombre suivant:

A^ — 1 + A,(A, — l) + AjA,(A3 — i)-h

~f" Aj Aj An i (An — 1).

Dans cette expression, tous les nombres A,, A,Aj, ,

AjAj A„i, se détruisent, car ils y figurent tous avec le

signe H- et avec le signe — , ce qui indique que chacun d'eux doit être à la fois soustrait et ajouté. Il ne reste que AjA2 A„ — i ou bien A — i. Le nombre R est donc

au plus égal à A — i et désigne bien le reste de la division de B par A.

Exemple : Trouver le quotient à une unité près de 32549 par 105. Nous remarquons que 105 est le produit 3.5.7; le quotient de 32549 par 3 est 10849; celui de 10849 par 5 est 2169; enfin le quotient de ce nombre par 7 est 309, et, par conséquent, 309 est le quotient demandé.

Les divisions successives que nous venons d'indiquer donnent les égalités suivantes :

32549 = 10849X3 + 2, 10849 = 2169X64-4, 2169 = 309X7-h6; pour faire disparaître les quotients intermédiaires, nous multiplions la seconde égalité par 3, la troisième par 3X5, et nous les ajoutons; les produits 10849X3, et 2169X5X3 se trouvent dans les deux membres et peuvent être supprimés, sans que les deux membres cessent d'être égaux. Le résultat ainsi simplifié est alors

32549 = 309 X 7 X 3 X 5 -+-2-h4 X3-H6X3X5. Le reste est donc 2-+-4X34-6X3X5 ou 104, ainsi qu'il est facile de le vérifier directement.

6* On fi altère pas le quotient de deux nombres en les mullipliant par un même nombre^ mais le reste est multiplié par ce nombre.

Soit à diviser B par A; si nous désignons par Q le quotient et par R le reste, nous aurons

B=:AQ-hR (R<A).

Multiplions les deux membres de cette égalité par un nombre C; l'égalité ne cessera pas d'exister; nous savons d'ailleurs que pour multiplier une somme par un nombre il suffit de multiplier chacune des parties par ce nombre ; par conséquent, en appliquant cette dernière propriété au second membre de l'égalité précédente, nous pourrons écrire BC = ACQ4-RC.

ARITHM. HUMB. fi

Or, comme R est plus petit que A, il en résulte nécessairement que RG est plus petit que AC; donc l'égalité ci-dessus indique la division de BG par AG et nous montre que le quotient est Q et le reste RC. C'est ce qu'il fallait établir.

Exemple : 36 divisé par 7 donne pour quotient 5 et pour reste i. Si nous multiplions ces deux nombres par 4, nous pouvons affirmer que 144 divisé par 28 donne pour quotient 5 et pour reste 4 ; c'est ce qu'il est facile de vérifier directement.

7* Si deux nombres entiers sont tous deux divisibles par un même nombre, le reste de leur division est divisible par ce nombre; et si on les divise tous deux par le nombre en question, iê nouveau quotient est le même que Vancien ; quant au nouveau reste, il est égal à Vancien divisé par le nombre dont on B^est servi.

Soient deux nombres A et B que nous supposons divisibles tous les deux par un nombre G. Divisons B par A ; nous aurons l'égalité