p-i)aP-*3l.2.3 (p-1) (mod. p

et si l'on divise les deux termes de cette congruence par le nombre 1.2.3 (p—l)» <l^î est premier avec p, on obtient la

congruence ai^^ — I a 0 (mod. p) ; ce qu'il fallait démontrer.

Conséquence. — La congruence xp^ — 1 a 0 (mod. p), dans laquelle p désigne un nombre premier absolu, admet p — i racines; ce sont les p— 1 nombres inférîeursà p, 1,2, 3,...,p — i.

* 99. Nombres associés iMir rapport à un module premier p. — Théorème de Wiison. — Considérons un nombre premier absolu p et l'ensemble des nombres plus petits que lui, 1 , 2, 3,...., p — i, et désignons Tun de ces nombres par a ; il y a toujours dans l'ensemble un nombre a' qui, pris avec a, vérifie ia congruence oa' a 1 (mod. p). En effet, la congruence €ix ^ i (mod. p) admet une racine et une seule, car a et p sont premiers entre eux. Le nombre a' se nomme Vassocié de a par rapport au module p.

Deux nombres a et 6 n*ont pas le même associé ; car s'ils avaient le même associé a', la congruence a'x ai i (mod. p) aurait deux racines, a et 6, ce qui n'est pas.

Un nombre est, en général, différent de son associé ; car pour que a soit égal à son associé, il faut que a* aa | (mod. p), ou a> — laO (mod. p). Le produit (a-— l)(a+l) doit donc être divisible par p, c'est-à-dire contenir le facteur premier p ou être nul. Or le premier facteur est toujours inférieur à p : il prend les valeurs 0, 1, 2,....,p — 2 ; le second prend les va^

leurs 2, 3, 4, , p . Le produit (a — l)(a -4- 1 ) n'est donc

divisible par p que si le premier facteur est nul ou le second égal kp ; ceci arrive pour a=l, ou a=:p — 1.

Si donc on enlève de l'ensemble 1, 2, 3, , p — 2, p— 1,

le premier et le dernier nombre, les autres peuvent se partager en couples de nombreà associés.

CiOmme application, nous allons démontrer le théorème 'de Wilson, dont nous donnerons l'énoncé à la fin de ce paragraphe.

Les nombres 2,3, ...... |^ — 2 pouvant se distribuer eiî' couples

168 PROPRIÉTÉS DBS NOMBRES

de nombres associés, leur produit est congru à 1, et Ton a 2.3.4 (jp — 2) s 1 fmod. p).

11 est d*ailleurs évident que

1 (p — 1) s — 1 (mod. p).

En multipliant ces deux congruences, membre à membre, on a