p— l)s — 1 {mod.p)y

ou bien 1.2.3 (p — 1) 4-1 s 0 {mod.p).

On voit donc que si p désigne un nombre premier, il divise dans tous les cas la somme 1 .2.3 (p — 1) + 1. Les nombres premiers seuls jouissent d'ailleurs de cette propriété ; car si p n'est pas premier, il admet un facteur premier plus petit que lui, q, et le nombre q faisant partie des nombres

1 , 2, 3, iP — i, divise leur produit ; il ne divise pas la seconde

partie de la somme^ qui est 1 ; donc il ne divise pas cette somme. A fortiori, p ne la divise pas non plus.

De là le théorème suivant .*

Théorème de Wilson. — La condition nécessaire et suffisante pour qu*un nombre p soit premier est qu'il divise la somme

Cette propriété donne donc un moyen infaillible de décider si un nombre est ou n'est pas premier. Malheureusement, les calculs auxquels l'application de ce procédé donne lieu sont inabordables.

" 100. Sur le nombre des nombres premiers avec un nombre donné et non supérieur à ce nombre. — Par rapport à un module quelconque m, les nombres entiers se distribuent en classes de la forme a -+- hm, k désignant un nombre entier quelconque, positif, négatif ou nul, et a un nombre entier inférieur à tn. Tous les nombres d'une même classe ont en commun avec m les mêmes diviseurs ; il suffit donc à ce point de vue de chercher ce qui se passe pour les nombres plus petits que m. Nous allons nous proposer de chercher, parmi ces nombres, ceux qui sont premiers avec m, ou plutôt leur nombre.

Dans le cas où m est égal à 1, le nombre m = 1 est premier avec lui-même; dans tout autre cas, cela n'a pas lieu, et il suffit de considérer les nombres plus petits que m.

Pour que le cas de m = 1 rentre dans le cas général, nous appellerons <p(m] le nombre des nombres premiers avec m et non supérieurs à m, et nous aurons alors (p(l) = 1 ; nous aurions eu o(l) = 0, si nous n'avions pris que les nombres plus petits que m et non m lui-même. — On a de même <p(2) =1, o(3) = 2, ?(4)=2, cp(5) = 4, etc.

DÉGOMPeSITION DBS 190MBRE8 BNTIER8 i69

Noos allons montrer que d'une manière générale^ si a et b sont deux nombres entiers premiers entre eux, on a ^(ab) = (p(a)(p(b).

En effet, les nombres entiers depuis i jusqu'à ab peuvent se mettre dans un rectangle de h lignes contenant chacune a nombres consécutifs,

2a4-l, 2a4-2, 2a + 3, , 2aH-A, ....,3a

(ô— l)a+l, (ô— i)a+2, (d— l)a4-3, , (&— l)a-hA, ...., ha.

Tous les nombres d'une même colonne sont de la forme k-^aœ: ils ont avec a les mêmes diviseurs ; si donc Tun d'eux est premier avec a, ils sont tous premiers avec a; sinon, non. Or un nombre premier avec ah n'a aucun facteur premier commun avec lui ; il. n'a donc aucun facteur premier commun avec a ni avec h et est premier avec chacun d'eux; cela suffit d'ailleurs pour que le nombre envisagé soit premier avec ah. Nous allons donc chercher dans le rectangle les nombres premiers avec a, et, parmi ceux-ci, les nombres premiers avec h ; nous aurons ainsi les nombres premiers avec ab. Dans la première ligne, il y a (p(a) nombres premiers avec a; chacun d'eux donne une colonne de nombres premiers avec a ; il y a donc (p(a) colonnes de nombres premiers avec a. Dans l'une de ces colonnes, A, A -h a, A -h 2a, , A-|-(ft— l)a,

il y a cp(&) nombres premiers avec h, car ces divers nombres sont congrus, suivant le module h (n^ 98), aux nombres

et, parmi ceux-ci, il y a ^(h) nombres premiers avec d, par définition même du symbole o(&). Donc il y a en tout «p(a)9(&) nombres premiers avec ah dans le rectangle écrit plus haut.

Ex. : «p(6) = ?(3)?(2) = 2,

Remarque. — Pour que ce théorème soit toujours vrai, il faut donner au symbole cp(m) la signification qui lui a été donnée antérieurement, et telle que «p (i ) = 1 , sans quoi on n'aurait pas Q>(m) = <p(m)<p(l), qui doit avoir lieu dans tous les cas. ^ ' Ce théorème est susceptible d'être généralisé :

Soient a, b, c, ,ï des nombres entiers ^premiers entre eux

deux à deux; on a toujours <p(a.b.c 1) = ?(a)«p(b)<p(c) ....<p(l).

Puisque a et h sont premiers avec c, le produit ah est premiers avec c(n» 82, 3*); de même a, h et e étant premier»

PROPRlâTÉS DES NOMBRES

avec d, on a a.b,ç premier avec d, etc. On a donc, en appliquant plusieurs fois le théorème précédent :

<p(a&)=cp(a)cp(&),

ff{abcd) = <p{aôc)<p(d),

<p(a&c kl) = «p(a&c h)^{l);

multiplions toutes ces égalités membre à membre et supprimons, de part et d'autre, les facteurs communs ; nous aurons ^[abc l) = ç(a)<p(&)<p(c) <p(Q;

ce qu'il fallait démontrer.

Jl est facile maintenant de calculer (p(m) dans tous les cas : i"» Si m est un nombre premier p, il est premier avec tous les

nombres plus petits que lui, et on a «p(p) = j[) — 4 . 2* Si m est une puissance d'un nombre premier, m = p^ il

est premier avec tous les nombres plus petits que lui, sauf les

multiples de p,

P, 2p, dp, (i)»»-*-!)?,

auxquels on peut ajouter jp'*^p, en allant jusqu'à mzzp^; il y a p^^ multiples de p depuis 1 jusqu'à p*»; donc il y a «p(p«) = p« — pn-i = p«-i (p — 1)

nombres premiers avec p» et inférieurs à p«.

Pour m = 1, ces formules sont en défaut.

Z^ Si m est un nombre composé quelconque, et que l'on désigne para, b, c, , l ses facteurs premiers, par a, p, -y, ...., X,

leurs exposants, on aura

et m est un produit de nombres tous premiers entre eux deux à deux. On a donc

ou <p(m) = a«-*(a— l)&p-*(&- 1) ..... A-*(« - 1),

ou ç(m) = aa-*e>M i^-*(a— !)(!> — 1). ....(;— 1).

Remarque. — Lorsque nous aurons étudié les nombres fractioaaaires, nous pourrons écrire ainsi (p(.m) :

îw»»'*' 'i'-ïji'-ïj ('-î)

Pour terminer ce paragraphe, nous allons établir que la somme

DÉG0MP08ITIQN DBS NOMBRBS BNTIBR8 171

de tous les nombres ^ (d) relatifs aux divers diviseurs d^un nombre m est égale au nombre m lui-même, £n effet, soit a an nombre inférieur à m; appelons 3 Ir

p. g. c. d. entre a et m, les deux nombres a' = s- ®^ T ^^ premiers entre eux; on voit donc que tout nombre inférieur à w donne naissance à un nombre a' = r premier avec un diviseur, <^ = -7 de m, et plus petit que lui» Tout nombre a' plus petit que d (diviseur de m) et premier avec lui, peut d^ailleurs être obtenu ainsi ; il provient du nombre -x a\ inférieur à m

et ayant avec lui pour p. g. c. d. -^^ Enfin chaque couple de

nombres a* et d provenant d'un nombre a bien déterminé, n*est obtenu qu'une fois. Si on prend a=zmy on a le couple 1,1. On voit donc quMl y a autant de nombres depuis 1 jusqu'à tn, qu'il y a d'unités dans la somme <p(d} + «pl^f) + ^{<f) 4- ..... ,

dy cT, cT, étant les divers diviseurs de m, pourvu que l'on

compte le couple 1 , 1 , et que Ton prenne ^ (1) = 1 . On a donc, avec ces hypothèses, que l'on fait d'ailleurs toiigours.

EXERCICES

i^ Décomposer en facteurs premiers les nombres 13104, 10584, 15210,75140,91494.

2® Former le tableau des diviseurs de chacun de ces nombres.

3« Plus grands communs diviseurs et plus petits communs multiples de ces nombres, pris trois à trois. Tableaux des diviseurs communs de ces groupes.

4« Former les plus petits nombres qui admettent 9 diviseurs, 12 diviseurs, 15 diviseurs, 18 diviseurs.

5® Montrer que les diviseurs d'un nombre A =: a<^b?G'^ A

sont les divers termes du produit des sommes

H-a4-a»4- -ha^

172 PROPRIÉTâS DB8 NOMBRES

6» Effectuer la somme 1 -4- a + a* + -4- a<».

7» Trouver la somme des diviseurs d'un nombre donné A = a«&P l\

8* Trouver le carré du produit de tous les diviseurs d'un Dombre* — On commencera par cherdier la somme des n premiera nombres entiers.

9* Décomposer un nombre en couples de diviseurs premiers entre eux. Appliquer aux exemples précédents.

10* Calculer n sachant que n(n + 1} =: 092.

11* Décomposer un nombre en trois facteurs premiers entre eux, deux à deux.

12« Calculer n sachant que n{n-\' l)(2n+ 1) estégal à 75174.

13» Décomposer 1.2.3.4 100 en facteurs premiers . Conclure de ce procédé que le produit de iOO nombres entiers consécutifs est toujours divisible par 1.2.3.4 100. Généraliser.

1 4« Trouver toutes les valeurs de a? qui rendent (a? — 1 )(a? +2) divisible par 35.

Même question pour a^ — i ou {x — l)(aî-4-l).

15* a étant un nombre donné, trouver les valeurs de x pour a-hix^ est un carré, y'.

16* Trouver un nombre connaissant le produit de ses diviseurs et leur nombre.

17* Soient A, B, G trois nombres et D leur p. g. c. d. Soient aussi Dj, Di, Ds leurs p. g. c. d. deux à deux.

Montrer que le p. p. c. m. des trois nombres est le quotient dti produit A.B.CD par Di.Dj.Ds.

18* Résoudre les congruences Ix — 5s0 (mod» 41), 7a? +35 s 0 (mod. 42), 42a? — 21 s 0 (mod. 3S),

19® Trouver les racines de la congruence a» — i s 0 (mod. i 9)>

20*^ Former les nombres premiers avec 36 et plus petits que lui.

21« Montrer que la congruence 4a?" — 60?^* + 7a?*» — 1 ^0 (mod. 19) se ramène à 4aî^ — 6»» -4- 7a? — 1 s 0 (mod- 19}. Généraliser.