CHAPITRE PREMIER

iOi. Longueurs. — Nous avons vu que le nombre entiers pour objet primordial le dénombrement des objets. Il sert aussi à la mesure ou à la représentation numérique des grandeurs qui peuvent se partager en parties toutes égales à une grandeur-type de même espèce, choisie arbitrairement pour unité. Mais c'est là un usage à peine différent du précédent, car on peut dire aussi, dans ce cas, que le nombn^ entier employé sert à dénombrer les unités contenues dans la grandeur à mesurer.

C'est cependant Textension de cette seconde idée qui va nous conduire à de nouveaux nombres.

Nous appellerons longueur une portion de ^ ^ droite comprise entre

deux points A et B.

^ i(y Nous dirons que deux

longueurs AB et CD sont 1 égales^ si Ton peut transporter l une d'elles sur Tautre de façon qu'elles se recouvrent exactement (ou si l'on peut penser cette opération).

Une longueur AB est dite somme de plusieurs autres ïon-

^ gueurs AG, CD, DE, EB,

A c D Ê B lorsqu'elle est formée

pkr la réunion de longueurs égales à celles-ci, placées bout à bout sur la même droite.

Une longueur AG est la différence entre deux longueurs

AB et CB, quand, ajou-

tée à la plus petite, elle reproduit laplus grande.

Une longueur est dite multiple d'une autre quand elle est la

somme de longueurs

""a C D E F B toutes égales à cette

autre. Exi : AB est la somme de 5 longueurs égales AG, CD, DE, EF, FB ; alors AB, qui contient 5 fois AG, est un multiple de AG,

Une longueur AG est dite sous-multiple ou partie aliquote d'une autre longueur AB, quand celle-ci est un multiple de la première.

Nous regarderons comme évident qu'une longueur quelconque peut toujours être partagée en un nombre quelconque de parties égales, c'est-à-dire qu'il y a toujours des parties aliquotes répondant à un nombre entier quelconque. De même, nous regarderons comme évident que les multiples dnine longueur quelconque finissent par dépasser toute [ongueur donnée, et que les parties aliquotes d'une longueur quelconque finissent par tomber au-dessous de toute longueur donnée à l'avance.

Deux longueurs égales n'ont pas de différence; nous fMrons cependant qu'elles ont une différence nulle; nous îicquerrons çiinsi l'idée de longueur nulle.-

Nous dirons enfin qu'une longueur variable qui finit par être toujours moindre qu'une longueur quelconque tend vers la longueur nulle ou tend vers 0.

Ces dernières notions ne nous serviront d'ailleurs que plus

tard.

Enfin, pour comparer les longueurs les unes aux autres, nous choisirons arbitrairement une longueur-type, à laquelle nous comparerons toutes les autres, et que nous appellerons unité.

102. Oélinlifon du nombre fraclionDalre. — Lorsqu'on compare une longueur donnée OA à Tunité, deux cas simples peuvent se présenter : ou bien la longueur OA est un multiple de Tunité elle-même, ou bien c'est un multiple d'une partie aliquote de l'unité.

Si la longueur OA est un multiple de l'unité, c'est-à-dire contient un nombre exact de fois l'unité, il suffira d'indiquer ce nombre pour

Q *~" — *'— — ' ' * que la longueur soit par-

, — 4 faitement connue. Sup-

posons que 0 A contienne 5 fois l'unité, nous dirons que le nombre 5 est la mesure de OA, et nous représenterons OA par l'égalité conventionnelle OA=5î4, comme si OA était le produit de 5 par u. La somme ou la différence de deux longueurs de ce genre a pour mesure la somme ou la différence arithmétique des mesures de ces longueurs. Ceci résulte immédiatement des définitions. On voit en outre que la définition que nous avons donnée pour la somme de deux longueurs concorde parfaitement avec celle qui a été donnée au début de cet ouvrage.

Cela posé, considérons une longueur OA qui soit multiple d'une partie aliquote de l'unité, et supposons que la