partie considérée soit contenue

» '^ ■ ■ ■ » p fois dans l'unité et m fois

. , ' dans OA. Pour représenter la

^ ^ longueur OA, il faudra former

un nouveau nombre, un nouveau symbole numérique qui

contienne d'uiie certaine façon les deux nombres entiers

m et p, afin qu'il rappelle que la longueur OA contient

m fois la p« partie de Tunité. Toute notation dans laquelle entrent les deux nombres m et p e^t bonne a priori. C'est

la notation — qui est adoptée ; elle se lit m sur p ; et ce nou-

veau symbole numérique s'appelle un nombre fractionnaire.

Un nombre fractionnaire exprime la mesure d'une longueur de la seconde espèce ; il indique combien de fois une longueur déterminée contient une certaine partie aliquote de l'unité.

Les deux parties m et }? du nombre fractionnaire ~ se

nomment les termes du nombre ; la partie supérieure s'appelle le numérateur ; la partie inférieure, le dénominateur. Le dénominateur indique combien de fois la partie aliquote employée est contenue dans l'unité ; le numérateur, combien de fois elle est contenue dans la longueur à mesurer. Si la longueur est plus grande que l'unité, m est plus grand que p. Si, au contraire, la longueur est plus petite que l'unité, m est plus petit que p, et, dans ce cas particulier, le nombre s'appelle communément une fraction.

Lorsque la fraction ou le nombre fractionnaire est donné numériquement, il s'énonce souvent d'une façon particulière, différente de la lecture signalée plus haut. Ainsi

ô' ô' ô' 7' S® lisent un demi, un tiers , deux tiers,

trois quarts, ; - ? —• i se lisent cinq septièmes, vingt-

cinq neuvièmes, ou cinq sur sept, vingt-cinq sur neuf, etc.

Le nombre — est un nombre fractionnaire ; les nombres

Nous allons déduire de la définition même du nombre frao-

KOMBRBS FRAGTIOKKAIRBS 177

tionnaire toutes les propriétés essentielles de ces nouveaux nombres.

1' Deux nombres fractionnaires seront dits égaùat;, sMis

mesurent la même longueur. Gela posé, soit — un nombre

P fractionnaire qui mesure une longueur OA; cela veut dire

que la longueur OA contient m fois une longueur contenue

elle-même p fois dans Tunité ; désignons cette partie ali-

quote de Tunité par v. Nous pouvons donc penser que OA

est divisée en m parties égales èr d et Tunité en p parties

égales à v. Prenons maintenant une partie aliquote de v

contenue n fois dans v ; chacune des p parties de Tunité

; la contenant n fois, elle sera contenue pn fois dans u ;

de même, elle sera contenue mn fois dans OA. Donc, par

définition, le nombre fractionnaire — est aussi la mesure

pn

de OA. On a donc, quels que soient les entiers m, n, p,

régalité

mn ^m

pn^p'

De là cette première propriété :

On n'altère pas un nombre fractionnaire en multipliant ses deux termes^ ou en les divisant par le même nombre^ quand cela se peut.

Ex.: 2 ""4 ""6' 3 "" 6 ~" 15'

2' On dit qu'un nombre fractionnaire est plus grand qu'un autre s'il mesure une longueur plus grande que celle mesurée par cet autre ; on dit qu'un nombre fractionnaire est n fois plus grand qu'un autre s'il mesure une longueur n fois plus grande que celle mesurée par cet autre.

in' Cela posé, soit - xm nombre fractionnaire qui mesure

une longueur OA, et soit OB une longueur n fois plus

ARITHM. HUMB. 12

grande que OA. La longueur OA contient m fois une certaine partie aliquote de Tunité ; il est clair que OB contiendra oette partie aliquote n fois plus, c'est-k-dire mn fois. La

mesure de OB «st donc — mais^ par définition, ce

nombre est n fois plus grand que - ; donc, en appelant

P encore multiplication par n, l'opération qui a pour but de

rendre — i n fois plus grand, on. a l'égalité .

m ^ mn — Xn =

De là, cette seconde propriété : -

Pour multiplier un nombre fractionnaire par un nombre entier^ on multiplie le numérateur par ce nombre entier. De méme^ on divise un nombre fractionnaire par un nombre entier^ en divisant le numérateur par ce nombre^ quand cela se peut,

3° On dit qu'un nombre fractionnaire est plus petit qu'un autre, s'il mesure une longueur moindre que celle mesurée par cet autre ; il est dit n fois plus petit que le second, si la longueur qu'il mesure est n fois plus petite que la seconde.

Cela posé, soit — un nombre fractionnaire qui mesure

une longueur OA, et soit. OB une longueur n fois plus petite que OA. Alors OB contiendra le même nombre de fois que OA une partie aliquote de l'unité n fois plus petite que celle contenue dans OA. Or la partie de l'unité qui sert à mesurer OA est contenue p fois dans l'unité ; donc une partie aliquote n fois plus petite sera contenue n fois dans chacune des précédentes, c'est-k-dire np fois dans

l'unité. La mesure de OB est donc — • et, par définition,

np^ ^ ^

ce nombre est n fois plus petit que — ; donc, en appelant

NOMBRES FRAGTI0KNA1BB8 179

encore division par n Topération qui a pour bût de rendre

un nombre n fois plus petit, on a Tégalité

— : n = — ou ^ = —

p np n np

De là, cette troisième propriété :

Four diviser un nombre fractionnaire par un nombre entier^ on multiplie le dénominateur par ce nombre. De méme^ on multiplie tm nombre fractionnaire par un nombre entier en divisant le dénominateur par ce nombre, si cela se peut.

Remarque I. — Théoriquement, ces deux dernières propriétés ne sont pas indispensables. Elles entrainentlapi'emière. Car si on multiplie le numérateur par un nombre entier n, on rend le nombre considéré n fois plus grand ; puis, en multipliant le dénominateur du nouveau nombre par r?» on rend ce

nombre n fois plus petit. Le dernier nombre obtenu, — » est

donc égal au premier, — •

Remarque II. — Un nombre entier, a, peut être mis d^une infinité de façons sous forme iï'actionnaire. On voit d'abord

qu'il peut être écrit ji car ce nombre indique que la longueur mesurée par a contient a fois une partie aliquote contenue une fois dans Tunité. On doit donc écrire

-. = a. D'ailleurs, d'après la première propriété, on a

am ^ a ^

mi'

Il résulte de ceci que tout nombre fi'actîonnaire, - 1

P doit être regwdé «omme étant le quotient de m par p ; car

m mp

le produit de — par p est -^ ou m.

L'introduction des nombres fractionaires rend donc possibles toutes les divisions entre nombres entiers ; et la pro-

(*) Le signe : placé entre deux nombres A et B indique la division de A par B ; ainsi A : B est équivalent ^ g*

KOMBHES FRACTIONNAIRES

priété précédente explique pourquoi on a choisi pour représenter un nombre fractionnaire la notation même qui sert à indiquer le quotient de deux nombres entiers : a priori la manière d'assembler les deux nombres entiers m et p est complètement arbitraire ; mais il est nécessaire de choisir, pour la représentation des nombres fractionnaires et pour celle des quotients, la même notation.