Critérium d'égalitô des nombres Iractionaaires
Considérons deux nombres fractionnaires égaux i et 7;-
Ce sont deux nombres qui mesurent la même longueur on
des longueurs égales. En prenant des longueurs bb' fois
plus grandes, elles auront la même mesure ; or on a ainsi
abb' , a'bb' pour, mesure les nombres -7- et —77- qui sont respectivement égaux aux nombres entiers ab' et a'b. Donc l'égalité
-- = - entraine Tégalité aV = ba!. h b
Réciproquement, si Ton a ab^ = ba\ les deux nombres entiers ab' et 6a' mesurent des longueurs égales ; les parties aliquotes de ces longueurs sont donc aussi égales. En prenant des longueurs bb' fois plus petites que les précédentes, onaura donc encore des longueurs égales. Or, cellesci contiennent le même nombre de fois que les longueurs anciennes, non plus Tunité de longueur, mais la bb'« parafe' tié de celle-ci : les mesures nouvelles sont donc -77, et
bb
7771 c'èst-à-dire (N® 103, 1*") 7 et 7,; et ces deux nombb b b^ ^
bres sont égaux, comme mesurant des longueurs égales.
Donc l'égalité ab' = ba' entraine Tégalité 7 = t?-
Nous pouvons donc énoncer le caractère suivant, auquel on reconnaît que deux nombres fractionnaires sont égaux:
La condition nécessaire et suffisante pour que deux nombres
a a' fractionnaires r ef - soient égaux, est que les nombres entiers
ab' et ba' soient égaux,
il té
On démontre de même que si -z est plus grand que - 1
on a aV ^ olb\ et que si - est plus petit que p » on a aV <^a!b.
Exempks.-^ 77 = 57 ; car 10 X 21 - IS X 14 = 210 ;
|>g, car 2X5>3X3; et enfin |<|, car
Remarque. — L'égalité aft' = ba' entraine quatre égalités distinctes, en apparence,
If^V <i~ V' b^â" a'" a
Chacune de celles-ci entraine la première : ces égalités sont donc complètement équivalentes.
nombre fractionnaire est dit plus simple qu'un autre, lorsque ses deux termes sont plus petits que ceux de cet autre, Simplifier un nombre fractionnaire, c'est le remplacer par un autre nombre égal et à termes plus petits,
ConsidéronSi à cet effet, un nombre fractionnaire, 7»
dans lequel les deux termes ne sont pas premiers entrç eux ; la valeur de ce nombre ne sera pas altérée, en divisant les deux termes par un de leurs communs diviseurs (n^ 103, i*). Toute opération de ce genre donne évidemment un nombre plus simple que le précédent. Une telle simplification ne peut se poursuivre indéfiniment ; elle cesse dès que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre
iB3 NOMBRES FRACTIONNAIRE
eux, et ceci arrive quand on a enlevé d'une façon quelcôn- ((ue, aux deux termes, tous les facteurs premiers qui leur sont communs. On peut parvenir à ce résultat du premier coup en cherchant le p. g. c. d. entre les deux termes, 5, et en divisant haut et bas par 8.
Le nombre qu*on obtient ainsi, -i s'appelle la valeur réduite de r«
Exemple, — Le nombre ^— peut Ée remplacer -successi-
vement par les nombres plus. simples, jôa' ôï' ô ®* ô'
en divisant les deux termes successivement par 2,. 2, 9, et
3, Le nombre - 1 dont les deux termes sont premiers entre
eux, est la valeur réduite du nombre proposé. On eût pu
robteînir immédiatement, en divisant les deux termes du
nombre proposé par le produit 2.2.9.3 = 108 des divers
facteurs supprimés dans les deux; termes. Il est évident,
d'après ce que nous avons vu antérieurement, que 108 est
le p. g. c. d. entre 216 et 324.
- L'opération, dont nous venons de donner un ex.emple
s'appelle la simplification des nombres fractionnaires ; le nom^
bre fractionnaire - est dit irréductible ou réduit à sa plu4
simple expression. , . . . , -
Pour justifier toutes ces locutions nous allons montrer que.le plus simple de tous leânombrea fractionnaires égaux à un nombre donné est sa valeur réduite. Ceci résulte du ihéorème suivant:
Théorème. — Tout nombre fractionnaire égal à un autre
nombre fractionnaire dont les deux termes sont premiers entre
euar, a pour termes des équimultiples de ceux-ci.
. > . . -d • - • * a • • Soient en effet r ®t 7 deux nombres fractionnaires
NOMBRILS FRACTIONNA 1RB& fS;^
égaux, les deux tennes du second étant supposés premiers
entre eux. Nous savons que les deux égalités -r ^ - et
ap == b% sont équivalentes ; la seconde égalité montre que
a divise 5a et par suite ap ; mais^ a est premier avec .P;
donc il divise a, et on a a = ika, k étant un certain
nombre entier. En portant celte valeur de a dans régalitjà
a^ = ia, on en tire 6 = A:^.
. On voit donc que tout nombre fractionnaire ayant pour
valeur réduite -» est de la forme tt» * étant un cer-
tain nombre entier. Réciproquement, tout nombre de cette
forme est égala -• P . Les nombres fractionnaires égaux à un nombre donné sont en nombre infini, et sont tous les nombres de la
forme rg » * étant un entier quelconque et - la valeur
réduite du nombre.
La valeur réduite d'un nombre fractionnaire est donc bien le plus simple de tous les nombres qui lui sont égaux, •
Quand on parle de la valeur d'un nombre fractionnaire^ c'est toujours de la valeur réduite dont il est question.
Si dans la forme 7^ » on fait * «= 0, on obtient le
nombre -1 qui ne représente rien, mais qui peut être
regardé comme égal à un nombre fractionnaire quelconque.
Remarque. — Nous dirons" que deiix longueurs OA et OB
sont commensitrables lorsqu'elles ont une partie aliquote
• - commune, c'est-à-dire l(wrs-
-^ O A ^u'il y a une certaine longueur
' -j : -^ contenue un nombre exact dé
fois dans OA et aussi dans XiB. Éi on prend fa longueur OB pour unité, et que Ton ait trouvé une longueur contenue m fois dans OA et p fois
184 NOMBRSS FRACTIONNAIRES
dans OB, la longueur OA a pour mesure le nombre — La
