partie aliquote commune à OA et OB s'appelle une corn
tnune mesure des longueurs OA et OB.
a tn
.Soit - la valeur réduite de -• tous les nombres qui me«
surent OA, OB étant pris pour unité, sont de la forme r^-
Il y a donc une infinité de communes mesures à OA et à OB. La plus grande de toutes est celle qui est contenue le plus petit nombre de fois dans OB; la plm grande commune mesure à OA et OB est donc la p* partie de OB et donne
pour mesure la valeur réduite :t du nombre — •
106. Réduction des nombres fractionnai l'cs au même dénominateur. — Lorsque deux nombres fractionnaires ont le même dénominateur, leurs numérateurs indiquent combien de fois les longueurs qu'ils mesurent contiennent une même partie aliquote de Tunité. On reconnaît donc, rien qu'à l'inspection des numérateurs, si les deux nombres sont égaux ou inégaux, et, dans ce dernier cas, quel est le plus grand d'entre eux.
D'autre part, d'après ce qu'on à vu au n® 103, on peut réduire deux nombres fractionnaires au même dénominateur, en multipliant les deux termes de chacun d'eux par le dénominateur de l'autre; car on obtient ainsi les deux
^ ab' a'b •
nombres rn ®t ni ' égaux respectivement aux précédents,
et ayant le même dénominateur. Les deux nombres sont égaux si ab' =; a'b ; le premier est plus grand ou plus petit que le second suivant que ab' > a'i ou ab' < alb. Nous retrouvons ainsi une démonstration rapide des propriétés contenues dans le n® 104. •''
On peut procéder d'une manière un peu différente; con-y sidérons çn effet un multiple commun h, b eih V^ M, e^
NOMBRES FRACTIONNAIRES iS[5
multiplions les deux termes du premier nombre par le
nombre entier -r-, puis les deux termes du second par le
nombre entier n; ^^^ deux nombres ne sont pas altérés et
sont ramenés à avoir pour dénominateur commun, H. On prend, si cela ne donne lieu à aucune recherche pénible, le p. p. c. m. des deux dénominateurs. Au début, nous avons pris M = hbf.
Exemples, — ^* i et -• on multiplie les deux termes 4 5
du premier nombre par 5, ceux du second par 4, et
on a les deux nouveaux nombres ^r ^i ^z% respectivement
zO zO
égaux aux précédents et ayant le même dénominateur.
q et
Coname 15 < 24, on a r<z'
S"" ^ et Z3 ; 288 est un multiple conmiun à 32 et 72,
c*est même le p. p. e. m« On multiplie les deux termes du
premier nombre par —- = 9, et les deux termes du
second par -rrr = 4; on a ainsi les deux nouveaux nom- ^72
'^^^ ÔQQ ®^ âoo ; conmie 45 > 24 , on en conclut
Zoo 2oo
— > =-• — On eût pu simplifier, avant tout calcul de ce
à 7z
genre, la seconde fraction, en divisant haut et bas par 6; on
eût obtenu alors les deux nombres ^s ®^ IS ^ réduire au
même dénominateur. Ici le p. p. c. m. des dénominateurs
est 96 et les deux nombres que Ton obtient sont 5^ et — •
On réduit de même plusieurs fractions au même dénomi-
nateur, en multipliant lés deux termes de chacune d'elles par le produit des dénominateurs de toutes les autres; ou, d'une manière plus générale, on emploie un multiple commun à tous les dénominateurs, M, et on multiplie les deux termes de chaque nombre par le quotient obtenu en divisant M parle dénominateur du nombre fractionnaire considéré. Il est clair qu'en opérant ainsi les nombres ne sont pas altérés (n^ 103), et qu'ils prennent tous le même dénominateur, M. Il y a avantage à prendre le p. p. c. m«, quand on le peut.
Exemple: 3' g' ê' âi'êViÔ të
Le p. p. m. c. des dénominateurs est 120; on multipliera donc les deux termes de la première fraction par 40, ceux de la seconde par 60, puis par 20, 5, 15, 3 et 8. Les nombres donnés deviennent respectivement .
Rien n'est plus simple. alors que de les classer, par ordre de grandeurs croîssanteB ou décroissante^, et on a
27 32 40 45^ 59 W 100 120' 120' 120' 120' 120Vl20' 120\
cest-à-dire :^» îg^ 3' g' 24' f é'
pour les nombres donnés, rangés par ordre de grandeurs croissantes. .'[:....
Nous allons voir dans la suite d'autres applications de la réduction au môme dénominateur. Cette opération, jointe à la simplification des nombres fractionnaires, est constamment employée dans les applications.
