CHAPITRE
107. Addition des nombres fractionnaires. -- On appelle somme de plusieurs nombres fractionnaires le nombre qui mesure la somme des longueurs mesurées par chacun d'eux.
Il en est ainsi quand les longueurs considérées ont pour mesures des nombres entiers ; il est donc tout naturel de prendre cette propriété pour définir la somme des nouveaux nombres.
Soient -p» -î, i~» n nombres fractionnaires mesu-
^1 0^ On
rant les longueurs OAi, 0A„ , 0A„; désignons par M
un multiple commun aux dénominateurs, b^^ i„ ...... bn\
nous pouvons, d'après le paragraphe précédent, ramener
les nombres à avoir tous pour dénominateur le nombre M,
et les écrire sous les formes tj-i -t^» » —• Les nom-
bres ainsi représentés expriment que les longueurs 0A|,
OA„ , OAn contiennent Ai fois, A, fois, , A» fois la
M* partie de l'unité. Donc la longueur formée par la réunion
de toutes celles-ci contient A^ -h A, 4- -t- An fois cette
même partie aliquote de l'unité; elle a donc pour mesure
Al -H A, 4- +An
et l'on a les égalités suivantes :
«1 A, a, A, On __^ An
ttj a, . an Ai-j-Aj-f- -h A»
D'où la règle : ■
Règle. — Pour ajouter les uns aux autres plusieurs nombres
fractionnaires^ on les réduit d'abord au même dénominateur^
puis on forme un nombre ayant pour dénominateur le déno'
minateur commun actuel et pour numérateur la somme des
numérateurs actuels.
a Si un nombre fractionnaire j mesure une longueur plus
grande que l'unité, le nombre a est plus grand que b; d'ailleurs la longueur mesurée est la somme d'un multiple de Tunité et d'une longueur plus petite que l'unité ; le nombre fractionnaire lui-même est la somme d'un nombre entier, du nombre qui mesure le multiple de l'unité, et d'une fraction qui mesure la longueur inférieure à l'unité.
On peut, d'après ce qui précède, décomposer immédiatement le nombre fractionnaire, comme il est indiqué. En effet, divisons a par è, nous aurons a =z be-hc {c <ib)
et le nombre r est égal a — j— ou a -r- 4- t = « -H t- 0 0 b b b
Le nombre entier e s'appelle la partie entière du nombre
-1 et ^ est \2i partie fractionnaire. On écrit e quelquefois
ainsi : e = E ( r ) •
Les nombres fractionnaires se composent donc : des fractions proprement dites ^ qui sont inférieures à 1 et parmi lesquelles on peut mettre le nombre 0; puis des expressions fractionnaires^ qui sont supérieures à 1, dont chacune est la somme d'un nombre entier et d'une fraction proprement dite, et qui comprennent, comme cas particuliers, tous les nombres entiers.
Les expressions fractionnaires et les nombres entiers se traitent dans les calculs comme les nombres fractionnaires
OPERATIONS SUR LES NOMBRES 1B*RACTI0KN AIRES i 89
ordinaires, à la forme desquels ils peuvent toujours se. ramener.
108. Soustraction des nombres fractionnaires. -- La soustraction est Topération inverse de l'addition : elle a pour but, étant donnés deux nombres différents, de trouver le nombre qu'il faut ajouter au plus petit pour avoir le plufe grand. Ce résultat s'appelle la différence entre les nombres donnés.
Soient r et -r, deux nombres fractionnaires, tels que
- > p ; proposons-nous de trouver le nombre qu'il faut
ajoutera ^, pour avoir -1 c'est-à-dire de soustraire p de -r*
Pour cela, réduisons les deux nombres au môme dénomi-
c d nateur, d, et soient -ii -; les deux résultats obtenus, a a
e — c' Nous voyons de suite que le nombre — ^ est le nombre
c' c — (/ -H c' demandé, car ce nombre, ajouté à -71 donne -^
t ou -r* D'où la règle :
Règle. — Pour retrancher un nombre d'un autre ^ on réduit ces deux nombres au même dénominateur^ puis on forme un autre nombre ayant pour dénominateur le dénominateur commun et pour numérateur la différence des numérateurs actuels,
\ Si deux nombres fractionnaires sont égaux, leur difîé-
j rence est nulle.
i Exemples. — 1* Faire la somme de
1 1 5 il 3 ^ jl
Ces nombres, réduits au même dénominateur, sont i 4C^ 60 100 85 45 27 32
leur somme est donc 40 + 60+100-t- 55 + 45 + 27 H- 32
2» Faire 1& somme et la différence de ~ et —. Ces nom-
bres, réduits au même dénominateur, sont — et — •
Leur somme est donc |2Ô~65' ®^ ^^^^ différence, 28 J^ 120" 30*
109. Biultiplicatlon des nombres fractionnaires. — On arrive à définir la multiplication des nombres fractionnaires, en généralisant une propriété simple du produit de deux nombres entiers. Cette propriété est relative à la mesure des rectangles qui senties grandeurs géométriques les plus simples après les longueurs.
Si on prend pour unité d'aire le carré construit sur Vunité de longueur^ le produit de deux nombres entiers mesure raire du rectangle qui a pour côtés les longueurs mesurées par les nombres considérés.
Nous allons faire la démonstration sur un exemple numérique : considérons le rectangle ayant pour côtés deux lon- ^ \^ gueurs mesurées par les nom-
bres 3 et 6, c'est-à-dire contenant exactement trois fois et cinq fois Tunité de longueur.
Divisons le plus petit côté AB en trois parties égales, de même l'autre côté AD en cinq parties égales, et par les
points de division situés sur chacun d'eux menons des parallèles à l'autre; il est clair que nous- divisons ainsi le rectangle on trois rangées 4e cinq carrés chacune. Ces
carrés ont pour cdté Tunité de longueur; ta mesure du rectangle est donc 15 ou 5 X 3.
Cette règle est encore vraie si Tun des côtés du rectangle
a pour mesure un nombre fractionnaire et Tautre un nombre
entier. Supposons, en effet, que Tun des côtés ait pour
mesure 3/4 et Tautre 5; divisons le plus grand côté AD en
cinq parties égales et le plus petit en trois parties égales.
Si par les points de division de chacun de ces côtés nous
menons des parallèles à l'autre, nous décomposerons le
rectangle donné en trois rangées de cinq rectangles tous
égaux; chacun d'eux est d'ailleurs contenu quatre fois dans
le carré construit sur l'unité de longueur, puisque l'un de
ses côtés est Tunité et l'autre le quart de l'unité. Donc la
mesure du rectangle donné est — ou 7X5.
C'est la généralisation de cette règle qui va nous permettre de définir le produit de deux nombres fractionnaires.
Nous appellerons produit de deux nombres fractionnaires, le nombre qui mesure l'aire du rectangle construit sur deux côtés ayant ces nombres pour mesures, à condition toutefois de prendre pour unité d'aire le carré construit sur l'unité de longueur.
Soient, pour fixer les idées, les deux nombres 5 ^^ - ;
construisons le carré ayant pour côté l'unité de longueur, et divisons l'un des côtés, AB, en cinq parties égales et l'autre côté, AC, en sept parties égales ; sur le côté AB prenons AB' égale à trois des cinq parties de AB ; de môme sur AC prenons AC qui vaut six des sept parties de
KOMBRBS FRACTIONNAIRES
AC ; le rectangle donné est alors AC'D'B'. Si par les points de division de chacun des côtés du carré on mène des parallèles k Tautre, on décompose ainsi les deux figures en rectangles tous égaux : le carré unité en contient 5X7
ou 35 et le rectangle donné en contient 3X6 ou 18.
Donc la mesure du rectangle est, par définition, ~ ou
• Mais ce nombre est justement ce que nous appelons
le produit de - par--
De là, la règle suivante :
Règle. — Pour multiplier entre eux deux nombres fraction^ naires, on forme un nouveau nombre fractionnaire ayant pour numérateur le produit des numérateurs et pour dénominateur le produit des dénominateurs.
Cette règle s'étend immédiatement au cas de plus de deux facteurs. On définit en effet de proche en proche le produit
de plusieurs nombres fractionnaires. Soient -r^ t-*» >
^» n nombres fractionnaires; on appelle prorfwi^ de tous ces
nombres le résultat obtenu en multipliant d'abord le premier par le second, puis le résultat par le troisième, puis le nouveau résultat par le quatrième, et ainsi de suite. Le numérateur s'obtient, d'après ce qu'on a vu plus haut, en multipliant ai par a„ puis le résultat par a,, etc. Le dénominateur s'obtient d'une façon analogue.
On voit donc que le produit de plusieurs nombres fractionnaires est un nouveau nombre fractionnaire qui a pour numéra-leur U produit des numérateurs, et pour dénominateur le produit des dénominateurs.
En définitive, tout revient à multiplier entre eux certains nombres entiers. On peut donc écrire les facteurs d'un produit de ce genre dans un ordre quelconque. On emploie aussi la notation de l'exposant, quand les facteurs d'un produit sont égaux. Les règles de calcul relatives aux exposants sont les mêmes que lorsqu'il s'agit de nombres entiers et se démontrent de la même façon (n®' 41, 42).
110. Division des nombres fractionnaires. — La division est l'opération inverse de la multiplication.
Diviser - par -» c'est trouver un nombre -r, qui, mul- 0 d 0
tiplié par -i reproduise le premier nombre. Les trois nombres 7 ) -1 r:se nomment dividende, diviseur et quotient, à a à'
D'après la règle de multiplication des nombres fractionnaires, un nombre de cette espèce ne change pas si on le mul-
tîplie par un nombre fractionnaire quelconque, ^i puis si
on multiplie le résultat parle nombre renversé -; cela revient en effet à introduire les mêmes facteurs haut et bas. On voit donc que le produit de - par -» le nombre — i re-
ARITBM. HUMB.
produit - si on le multiplie par -• C'est donc le quotient
de 3 par -n.
■ On appelle inverse d'un nombre fractionnaire, un autre nombre de cette espèce, qui, multiplié par le premier, donne
pour produit Funité. L'inverse de - est donc - : c'est le
premier nombre renversé. De là, la règle suivante :
Règle. — Pour diviser un nombre fractionnaire far un autre nombre fractionnaire:, on multiplie le dividende par Vinverse du diviseur.
La division portant sur des nombres entiers ou fractionnaires, est une opération qui ne présente d'impossibilité que dans le cas où le diviseur est nul. Des quatre opérations que nous venons d'étendre aux nombres fractionnaires, une seule présente des cas d'impossibilité aussi fréquents que les autres cas, c'est la soustraction ; l'opération indiquée
par -r — -^ est en efiTet impossible quand r<C-j
L'in-
troduction des nombres fractionnaires négatifs nous permettra de lever cette difficulté. L'addition et la multiplication sont toujours possibles.
iii. Propriétés deTaddition des nombres fractionnaires. — Propriétés de la soustraction. — L'addition et la soustraction des nombres fractionnaires se ramènent aux opérations similaires efifectuées sur des nombres entiers, les numérateurs des divers nombres réduits au même dénominateur. Ces opérations jouissent donc des mômes propriétés
(*) Il n'y a qu'un seul quotient répondant à la définition donnée, car les pro-
duits de - par deux nombres différents sont différents. a
fondamentales que les opérations de môme nom sur les nombres entiers.
Il nous suflat de rappeler ces propriétés.
i* L'addition est commutative^ c'est-à-dire que, dans une somme, on peut changer l'ordre des parties :
a+b = bh-a,
A et B étant des nombres entiers ou fractionnaires (n» 23). 2* L'addition est associative, c'est-à-dire que l'on peut, dans une somme, remplacer diverses parties par leur somme effectuée :
A, B, G étant des nombres entiers ou fractionnaires, et (B -f- G) désignant la somme B -f- G effectuée (n* 23). 3* L'addition jouit de la propriété
A -h 0 = A, A étant entier ou fractionnaire, car, dans ce dernier cas,
0 peut s'écrire — i m étant un entier quelconque. — Pour
les démonstrations de ces propriétés, se reporter au n* 23.
Il y a, pour l'addition actuelle, une nouvelle propriété, évidente dans le cas des nombres entiers, et qui n'a de sens que lorsqu'un nombre donné peut être écrit sous plusieurs formes.
4** L'addition est uni forme, c'est-à-dire que le résultat auquel elle conduit est toujours le même, quelles que soient les formes données aux diverses parties.
En d'autres termes, si l'on a r = r, et -; = — , on a
a c d d aussi - + - = --,--.
En effet, pour faire l'opération indiquée dans le premier
a c membre, on réduit r et - au même dénominateur, m, de b d '
sorte que -r = ~ ' ■:> = —' et le premier membre a ^ b m d m ^
im
NOMBRES PRACTIONNAIREa
pour valeur le nombre fractionnaire
de même,
pour faire l'opération indiquée dans le second membre, on
a' c' réduit 77 et ;^ au même dénominateur, m', de sorte que
et - = £^ , et le second membre a pour valeur
Tout revient donc à démontrer que
or on a - = — , - = -^ et t = r, ; donc — = — ,•
on a de même — = — , , et ces deux égalités sont resm m
pectivement équivalentes aux égalités wm' = n'm et pm' =.p'm\ en ajoutant ces deux-ci membre à membre, on obtient la nouvelle égalité m'(n-l-p) = m(n'4-p'),
qui montre que les deux nombres -
— L et -^ sont
égaux.
Quant à la soustraction, c'est une opération qui sera généralisée et ramenée à l'addition. Pour le moment, nous nous bornerons à dire que la soustraction jouit de deux propriétés analogues à celles que nous avons établies pour l^addition.
1* On a toujours A — 0 = A, que A soit entier ou fractionnaire.
V La soustraction est une opération uniforme ; cette propriété s'énonce et se démontre comme dans le cas de Taddition.
112. Propriétés de la multiplication et de la division des nombres fractionnaires. — En dernière analyse, la multiplication des nombres fractionnaires se ramène à la multipli-
cation de certains nombres entiers : le numérateur du produit est, en effet, le produit'de tous les numérateurs, et le dénominateur est le produit de tous les dénominateurs. Il suit de là que toutes les propriétés fondamentales de la multiplication des nombres entiers sont applicables à la multiplication des nombres fractionnaires.
1° La multiplication est commutativey c'est-à-dire que dans un produit on peut changer l'ordre des facteurs. Cette propriété s'exprime par l'égalité AB = BA, A et B étant des nombres entiers ou fractionnaires quelconques (n* 38).
2* La multiplication est associative, c'estrà-dire que dans un produit on peut remplacer plusieurs facteurs par leur produit effectué. Cette propriété s'exprime par l'égalité symbolique ABC = A(BC), dans laquelle A, B, C désignent des nombres entiers ou fractionnaires quelconques et où (BC) est le produit effectué de B par C (n" 39, 40).
3** La multiplication est distribuHve par rapport à V addition, c'est-à-dire que pour multiplier une somme par un nombre quelconque, on peut multiplier chacune des parties de la somme par ce nombre et faire la somme des produits ainsi obtenus. Cette propriété s'exprime par l'égalité sym-
*'^^''ï"'' A(B-4-C) = AB+AC,
A, B, C désignant des nombres entiers ou fractionnaires quelconques et' (B-t-C) désignant la somme de B et C (n* 39). Écrire A(Bh-C) au lieu de AB+AC s'appelle aussi mettre A en facteur.
4" La multiplication jouit des deux propriétés A X 0 = 0 et A X i = A, A désignant toujours un nombre entier ou fractionnaire quelconque.
5** La multiplication est une opération uniforme, c'est-àdire que si dans un produit on remplace chaque facteur par un nombre égal, le résultat n'est pas altéré.
En effet, si on a r = T/ et j = :i}» on en déduit 0 0 ad
ah' = hd et ^rf' = rfc'.
En multipliant ces deux égalités membre à membre, on obtient acb'dl = édaV ; d'où l'on déduit
ac __ a'd a c a' c'
ïd'^Wdi ^^ b^d~V'd''
De la 3* propriété on déduit sans peine que le produit d'une somme par une autre somme s'obtient en multipliant chaque partie de l'une par chaque partie de l'autre et en ajoutant les divers résultats. (Démonstration toute semblable à celle du n*» 39.)
Quant à la division, elle se ramène à la multiplication, et jouit de trois propriétés évidentes : elle est uniforme (*) (voir ce qui précède, ô*) ; puis on a
et
7 121 13 Exemples. — Additionner les nombres j» ts" ®^ T' ^^
j. u ^ 7 . 2 121 ,^ 1- 13 ^ . 1 a d abord -=14--, — = lOH — et— = 3 -4-7: 5 5 12 12 4 4'
or, dans la somme, on peut remplacer chaque nombre
par les deux parties dont il se compose, ce qui donne
ou
ou
"+g-fi+â
4 2 1 -^ii = *^ + ê+3-
On a
finalement pour somme 14 H- — •
Multiplier 1 -H 5- par
On peut
d'abord effec-
(*) La division ne fournit qu'un seul résultat, quelle que soit la forme que rùD donne au dividende et celle que Ton donne au diviseur.
7 43 tuer les sommes et multiplier entre eux = et —i ce qui
6 4 9i li
domie Sî = ^■+-5jî' On peut aussi multiplier terme à
terme les deux sommes et ajouter les résultats, ce qui
donne 3 + - + --+-- = 4+- 4-^-*- - = 4-h-.
113. Propriétés des égalités. — Le3 propriétés simples des égalités ne sont pas autre chose que la traduction dans un langage un peu différent des propriétés relatives aux diverses opérations.
Ainsi : On peut ajouter le même nombre aux deux membres cTune égalité; on peut ajouter membre à membre deux égalités. C'est au fond la 4* propriété de Tadditîon (n* 111).
On peut multiplier membre à membre deux égalités. C'est la 5* propriété de la multiplication (n" 112), etc.
Les inégalités ne peuvent être sérieusement étudiées qu'après l'introduction des nombres fractionnaires négatifs.
* 114. Nombres fractionnaires négatifs. — L^égalité A+C= B défînit toujours un nombre entier ou fractionnaire, G, lorsque A et B sont eux-mêmes deux nombres entiers ou fractionnaires et que A est plus petit que B. Ce nombre G se nomme la différence entre B et A et se représente par C = B — A, dé sorte que les deux égalités A + C=B et G = B— A soient équivalentes ; on peut adjoindre Tégalité A = B — G aux deux précédentes : elle leur est équivalente.'
Mais si B est plus petit que A, Tégalité conditionnelle A + C = B est impossible ; elle ne définit plus aucun nombre fractionnaire. Si on veut satisfaire à cette égalité, il faut alors créer un nouveau symbole numérique. Remarquons que, dans ce cas, A — B existe et désignons ce nombre par C, de sorte que . A — Bt=G' ou A — C'=B. Nous appellerons alors nombre négatif un nombre affecté du signe -r , tel que — C, et nous conviendrons que ce nombre, ajouté à un nombre ordinaire A plus grand que lui, doit être soustrait de celui-ci, comme si le signe — existait seul ; nous aurons ainsi, en posant C=: — C, Ah-G = A-h(-C') = A~Ç'=:B, et Tégalité sera rendue possible. , * . i..
Les nombres ordinaires, par opposition à ceux-ci, se nomment des nombres positifs ; il sont regardés comme affectés du signe +• La valeur d*un nombre^ abstraction faite de son signe, se nomme sa valeur absolue.
On voit donc que les signes 4- ou — ne sont pas seulement des indicateurs d'opérations, mais aussi qu'ils peuvent être liés intimement à des symboles numériques dont ils font partie inté> grante.
Ce que nous venons de dire suffit pour montrer que nous allons reprendre identiquement ici tout ce qui a été dit au n^ 30. Nous déduirons les propriétés des nombres négatifs de cette définition et de l'obligation que nous nous imposerons de conserver . l'équivalence des deux égalités A-hG=B et C = B — A.
Comme il n'y a qu^à répéter ici les raisonnements déjà faits (n^ 30, 31, 32, 43, 44, 45, 46), nous nous bornerons à énoncer les résultats.
Pour faire la somme de deua> nombres, l'un positif. Vautre négatif, on fait la différence de leurs valeurs absolues, et on donne au résultat le signe + ou le signe — , suivant que la plus grande valeur absolue appartient au nombre positif ou au nombre néga^ tif{no^O).,
Pour faire la somme de deux nombres négatifs, on fait la somme de leurs valeurs absolues et on donne au résultat le signe — (Ti« 31). \
Pour soustraire d'un nombre quelconque un nombre négatif, an ajoute au premier la valeur absolue du second {n^ 31)..
On appelle somm^ algébrique une somme de nombres fractionnaires ou entiers, quelconques, positifs ou négatifs,
S = A+B-hC-h....-+-K-hL,
que l'on obtient en ajoutant le second au premier, puis le troisième' au résultat obtenu, puis le quatrième au nouveau résultat, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ajoute L à la somme eflfectuée A-hB4-G4- + K.
La valeur d'une somme algébrique s'obtient en ajoutant les uns auas autres tous les nombres positifs qu'elle contient, puis au^si, les uns aux autres, tous les nombres négatifs qu'^elle contient ; soient Si et — Sa ces deux sommes. On ajoute ensuite ces deux nombres l'un à l'autre, diaprés la première règle (n* 32).
Pour faire la somme de plusieurs sommes algébriques, on les écrit les unes à la suite des autres, en gardant à chacun des nombres qui les composent le signe qu'il a dans la somme où il se trouve. Si le premier nombre d'une somme n'est précédé d^ aucun signe, on lui adjoint le signe -\- [n^ i2), -■'
Pour retrancher une somme algébrique d'une autre somme
■' algébriqttey on écrit à la suite 4^ nombres de celle-ci ' tous les nombres de la premier e^ changés de signe (n® 32).
L'addition actuelle est une opération commutative, associative^ uniforme, et jouit en outre des propriétés A -H 0 = A et A-h(— A) = 0 in«»32).
Si donc on regarde diaque nombre comme précédé d'un signe, -H ou —, le signe -h, regardé comme signe d'addition, transforme ceux-ci en signes d'opérations d'après les règles suivantes : ^^ sur -H donne le signé d'additioïi, -h; -h sur — donne le signe de la soustraction, —, De même le signe —, regardé comme signe de soustraction, transforme les signes des nombres, d'après les règles suivantes : — sur -4- donne le signe de la soustraction, — ; — sur — donne le signe de l'addition, -h. Ex :
Pour abréger l'écriture, on n'écrit pas dans une somme algé-
. brique le signe de l'addition à chaque fois : on se borne à écrire
le signe affecté à chacun des nombres qui composent cette
somme, et même, si le premier de tous a le signe -h, on ne le
fait précéder d'aucun signe. Ainsi la somme algébrique
s'écrit simplement —4 — 3 -*-2-+-8 — 7;
la somme 4-|+ (-H^) -H (-g)-*- (+2)4. (.-|)
sécrit ^4---- + .-..
Les démonstrations qui ont été faites aux n<*' 30, 31, 32, 43, 44, 45 et 46 s'appuient s^r l'idée de nombjre entier qui se présente la première à l'esprit : le nombre y est considéré comme indiquant combien il y a d'objets dans un groupe. Les nombres fractionnaires peuvent aussi être envisagés de cette façon : en
...j^fllM^n
isa : : : : : /nombres practioknauies.
effets réduisons tous lés nombres d'une question au même dénominateur, par exemple au dénominateur i 80 et envisageons une longueur égale à la 180* partie de Tunité de longueur ; tous les nombres fractionnaires considérés indiquent combien de fois cette partie aliquote de l'unité est contenue dans les longueurs que ces nombres représentent. Alors les démonstrations dont nous avons parlé peuvent se répéter identiquement dans le cas actuel; Il en est de même de celles relatives aux propriétés qui suivent.
Pour multiplier attire eux deuœ nombres ^ entiers ou fraetûmnaires, positifs ou négatifs, on fait leproduit de leurs valeurs absolues et on donne au résultat le signe + ou le signe — , suivant que les deux nombres sont de même sign^ ou de signes contraires
(n^iS). -- r .
Pour multiplier une somme algébrique par un nombre quelconque, entier ou fractionnaire, positif ou négatif, on multiplie cliacune des parties de la somme par ce nombre, et on ajoute les résultats obtenus, en tenant compte de leurs signes (N*»44, 45).
Pour fnultiplier entre elles detw sommes algébriqttes, on fait les produits de chacun des termes de l'une d'elles par chacun dés termes de Vautre, et. on forme avec les résultats une nouvelle somme algébrique (N* 46). - : :
Le quotient de deux nombres quelconques, entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs, s^obtient en prenant le quotient des valeurs absolues et en lui donnant le signe -h ou le signe —, suivant que les deux nombres ont ou n'ont pas le même signe
