H tn o

g-hm a m{b — a) • fr-f-m ~" 5 "" h\p -h m) *

et cette différence est positive, puisque d > a.

C'est le contraire qui arrive si 6 < a, c'est-à-dire si le nombre -T est supérieur à K

On peut augmenter assez le dénominateur d'un nombre fractionnaire positif pour rendre ce nombre plus petit que tout nombre fractionnaire, donné à l'avance.

\ Ainsi le nombre ? 1 déduit du nombre r on ajoutant m

j unités au dénominateur, peut toujours être rendu plus petit

: I qu'un nombre fractionnaire, donné à l'avance, ^ ; car la diffé-

i c a &c-4-cm — ad ^ ... . , u ^

rence -3 — r — •. — = — ,,; ■> > ., — est positive si le nombre j d b-^-m d(ô-f-m) *^ •

Ibc -f- cm surpasse ad, et ceci a toujours lieu, quand m est assez grand.

;[ Au-dessous de tout nonabre rationnel positif, donné, il y en a

I une infinité d'autres.

• a CL

Soit T un nombre rationnel positif donné ; le nombre r^r —

;' est toujours ââ-dessous de celui-ci, quel que soit l'entier posi-

tif » m. ' '

Entre deux nombres rationnels quelconques, positifs ou négatifs, il y a toujours une infinité de nombres de l'ensemble.

204 NOMBRES FRAGTIOIîNAIRBS

Soient, en effeL t et -i deux nombres de rensemble et -r le plus grand ; cela veut dire que la différence t -^ j 6st positive ; appelons ^ ce nombre ; nous aurons t = 2"*" 5' ^^ au-dessous du nombre s> il y a une infinité de nombres positifs, p ;

donc il y a entre t ©t ^ une infinité de nombres, 3 + âî*

H n'y a donc pas dans Tensemble, à part 0, de nombre plus petit que tous les autres. — 11 n'y a pas non plus de nombres f^r: consécutifs.

La considération de l'ensemble des nombres rationnels nous ^ - conduit à deux idées fondamentales : l'idée de limite et l'idée de

^' continuité. Ces detix idées ne peuvent s'appliquer qu'à un nom-

bre variable, passant successivement par une infinité de valeurs.

Lorsqu'un nombre rationnel variable prend des valeurs qui ' finissent par être moindres, en valeur absolue, qu'un nombre

'l^ quelconque donné à l'avance, i)n dit que ce nombre tend vefs 0-

^; Désignons par

f'\" , . "1> ^2> » Ati,

f > ^ les valeurs que prend ce nombre, écrites dans un certain ordre ;

||^ d'après l'hypothèse que nous avons faite, les nombres

|- A„ A2, , An, ,

p : * lorsque leur rang est suffisamment éloigné, tombent, en valeur

P ' absolue, au-dessous d'un nombre positif quelconque, donné à

V' l'avance.

Nous disons que la suite précédente a pour limite 0, ou encore que le nombre variable An tend vers 0, lorsque son indice aug-

V mente indéfiniment, et nous écrivons ^- Lîm. An =^ 0.

|r Ceci se lit : limite àe An, pour n infini, égale 0.

!^v . Considérons maintenant une suite infinie de nombres rationnels,

^r positifs ou négatifs,