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. a . a-M , a-4-2 . a-Hn

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Lorsque dans un ensemble de nombres, il n'y a pas de nombres • consécutifs, qu'il n'y a aucun saut brusque, qu'il y a toujours une infinité de nombres assez près d'un autre pour que leur différence avec cet autre soit moindre qu'un nombre donné à l'avance, e, et cela quel que soit e, nous dirons que cet ensemble est continu. L'ensemble actuel est continu.

Nous verrons cependant plus tard, en faisant intervenir l'idée . géoméfxique des points d'une droite, que le continu numérique absolu comprend encore d'autres nombres que ceux-ci.

* 116. Inégalités.— Si nous exprimons qu'un nombre rationnel A est plus grand qu'un nombre rationnel fi, ou plus petit, avec l'un ou l'autre des symboles > ou <, nous aurons une mégalitéj

A > fi ou A < fi.

La première exprime que A = fi H- P, P étant un nombre rationnel positif ; la seconde, que A = B + N, N étant un nombre rationnel négatif.

i^ Si, auœ deuos membres d'une inégalité, on ajoute le même nombre rationnel, positif ou négatif, quelconque, on obtient une nouvelle inégalité de même sens que la première.

Le sens d'une inégalité est indiqué pa; le symbole de séparation des deux membres > ou <.

Soit, par exemple, A > B. Cette inégalité revient à A = B + P, P étant positif ; si nous ajoutons maintenant, aux deux membres de cette égalité, le nombre G, quelconque, nous aurons A-h C = fi + P + C = (B-f-C)-HP.

Donc on a bien ; A + G > B -h G.

2* Si Von multiplie les deux membres d*une inégalité par le même nombre positif, on obtient une nouvelle inégalité de même setis que la proposée.

Soit, par exempte, A < B, qui revient à A = B -^ N, N désignant un nombre négatif quelconque. £n multipliant les deux membres de cette égalité par un nombre quelconque, G, nous

aurons AC = (B + N)C = BC -H NC. Or si le nombre C est positif, NG est négatif, et l*on a AG < BG.

Si, au contraire, G est négatif, NG est positif, et Ton a I

AG>BG; d'où:

3® Si Von multiplie les deux membres d'une inégaUté par le même nombre négatifs on obtient une nouvelle inégalité de sens contraire à la proposée.

Diviser par G, c'est multiplier par ^. On peut donc diviser

les deux membres d'une inégalité par un même nombre, en ■

tenant compte des deux propriétés qui précèdent.

4^ Si Von ajoute membre à membre plusieurs inégalités de même sens, on obtient une nouvelle inégalité de même sens qu^ les proposées.

Soient, par exemple, A > fi, A' > B', A*' > B*, trois inégalités de même sens; on peut écrire :

P, P', F étant certains nombres positifs. En ajoutant membre à membre ces diverses égalités^ on a :

(A 4- A 4- A')= (B 4- B' 4- B-')4-(P 4- F 4- F) ; mais P 4- F 4- F est un nombre positif ; donc on a A 4- A 4- A'' > B 4- B' + B^

Avant de procéder à l'addition de plusieurs inégalités de même sens, on peut multiplier certaines d'entre elles par des nombres positifs. I

Si toutes les inégalités que Ton considère n'ont pas le même ■

sens, on multipliera certaines d'entre elles par des nombres négatifs, par exemple par — 1, et on obtiendra ainsi des inégalités de même sens.

Pour exprimer qu'un nombre est positif, nous écrirons n^aintenant A > 0 ; et, pour exprimer qu'un nombre est négatif, nous écrirons A < 0.

EXERCICES

!• Les fracùons -^, ^j^^^, ^-^^-^ sont .rréduc tîbles.

2*^ Réduire à sa plus simple expression la fraction 574574 999999'

3® Trouver une fraction telle que la somme du numérateur et du dénominateur soit 80 et leur différence, 50. Réduire cette fraction à sa plus simple expression.

4^ Former les plus petits nombres tels que le produit du numérateur par le dénominateur soit 80 et la somme de ces deux nombres inférieure à 25.

5» Réduire plusieurs nombres fractionnaires à leur plus petit dénominateur commun. Appliquer au cas de deux nombres irréductibles dont les dénominateurs sont premiers entre eux.

6*^ La somme de deux fractions irréductibles de dénominateurs différents n'est jamais un nombre entier.

V Lorsque le dénominateur d'un nombre fractionnaire est le produit de deux nombres entiers premiers entre eux, a et &, ce nombre fractionnaire est la somme ou la différence de deux autres nombres fractionnaires de dénominateurs a ei b. Cette transformation peut se faire d*une infinité de manières. — Généraliser.

8» Effectuer les sommes