SIS
place des unités ordinaires : on emploie à cet effet une virgule que Ton place immédiatement après le chiffre des
* 1 u AA ' ^ 326749108 , ^ ,^
unités, et le nombre décimal ^^^ est représenté
d'une manière parfaitement claire par
puisque la valeur de chacune des parties de ce nombre est nettement indiquée.
RÈGLE. — Pour représenter un nombre décimal, on écrit le numérateur comme si ce nombre existait seul^ en séparant sur sa droite, à Vaide d'une virgule^ autant de chiffres qu'il y a de zéros au dénominateur ou d'unités dans l'exposant de la puissance de 10 qui sert de dénominateur.
Dans le cas où le numérateur a moins de chiffres que le dénominateur, cette règle n'est pas immédiatement applicable. Il suffit alors de se rappeler que Ton n'altère pas la valeur d'un nombre entier quelconque, en ajoutant, à gauche de ce nombre, autant de zéros que l'on veut: ainsi 4329 = 004329. On peut donc, par ce moyen, donner autant de chiffres que l'on veut au numérateur d'un nombre décimal quelconque ; on se bornera, lorsque cela sera nécessaire, à lui en donner autant qu'il y en a au dénominateur. Le premier zéro à gauche représentera les unités ordinaires, et on n'aura plus qu'à appliquer la règle cidessus, c'est-à-dire mettre une virgule à la suite de ce premier zéro.
Exemples.
jô-, = 0,008, .-, = 0,0072.
n résulte immédiatement de toiit ceci que pour chaque
KOMBRES DÉCIMAUX 213
nombre supérieur à 1, la règle est immédiatement applicable ; elle ne Test pas immédiatement pour un nombre décimal inférieur à 1 : il faut d*abord ajouter des zéros sur la gauche du numérateur.
La partie entière d'un nombre décimal est repréientée par le nymbre entier qui précède la virgule, et la partie décimale $* obtient en remplaçant^ dans V écriture, ce nombre par 0; en d'autres termes, étant donné un nombre décimal quelconque, on obtient la partie entière en supprimant sur la droite du numérateur autant de chiffres qu'il y a de zéros au dénominateur; cette partie supprimée^ prise elle-même pour numérateur^ donne la partie décimale ou fractionnaire du nombre.
Ceci résulte évidemment de ce qui précède. Mais on peut
le démontrer plus directement, en s'appuyant toujours sur
les lois de la numération. Soit, en effet, le nombre décimal
^QQQQQ ; le numérateur est égal à
en divisant par lO'^ on a
ou 3267 + j^vnnnA' {^oÎT Tadditiou des nombres fraction- 100000
naires.)
Un raisonnement analogue peut se répéter dans chaque cas et conduit évidemment à la règle donnée plus haut.
Pour lire un nombre décimal, on énonce d'abord la partie
entière, à la façon ordinaire, en faisant suivre le nom de ce
nombre du mot unité, on énonce ensuite la partie décimale,
comme si c'était un nombre entier, en faisant suivre du
nom des unités décimales représentées par le dernier chiffre
non nul.
Ainsi le nombre
se lit trois mille deux cent soixante-sept unités^ quarante-neuf mille cent huit cent-millièmes;
le nombre 0,0235 se lit deux cent trente-cinq dix-millièmes; le nombre 0,00432700 se lit quatre mille trois cent vingtsept millionièmes.
Le nom de chaque unité décimale se déduit du nom de l'unité ordinaire de même ordre qu'elle en faisant suivre ce nom de la terminaison ième.
Quand il n'y a pas d'unités ordinaires dans un nombre décimal, c'est-à-dire quand ce nombre est plus petit que 1, on ne fait aucunement mention de la partie entière.
Pour écrire un nombre décimal dicté, on écrit d'abord la partie entière à la façon habituelle, on la fait suivre d'une virgule, puis on écrit la partie décimale comme si c'était un nombre entier, en ayant soin de remplacer par des zéros les unités de chaque ordre décimal qui manque. Ainsi le nombre dicté quatre mille trois cent vingt-sept millionièmes s'écrit 0,004327 ; car aucune partie entière n'étant énoncée, cette portion du nombre doit être figurée par un 0; d'autre part, les unités de l'ordre décimal exprimé étant du sixième ordre, la partie décimale contient deux 0 au début.
On ne change pas la valeur d'un nombre décimal, en ajoutant à droite ou à gauche de ce nombre autant de zéros que Von veut.
Car, en procédant ainsi, on n'ajoute aucune unité d'un ordre déterminé au nombre considéré, et chacun de ses chiffres continue à représenter le même nombre.
On pourra donc ainsi faire représenter à plusieurs nombres décimaux des unités du même ordre, en ajoutant à la droite de ceux qui contiennent le moins de chiffres décimaux autant de zéros qu'il en faut pour qu'ils aient le même nombre de chifï'res décimaux que celui qui en a le plus
Ainsi 0,5, 0,072, 0,004327 peuvent s'écrire 0,500000, 0,072000, 0,004327.
NOMBRES DÉGUfAUX 215
Au fond, ceci revient à la réduction au môme dénominateur, car les premiers nombres sont
10 ' iOOO' lOOOOOO' et les seconds,
1000000 ' 1000000* lOOOOOO'
Pour multiplier un nombre décimal par une puissance de 10, on déplace la virgule vers la droite d'autant de rangs qu'il y a d'unités dans t exposant de cette puissance. Pour diviser un nombre décimal par une puissance de 10, on déplace la virgule d'autant de rangs vers la gauche qi^il y a d'unités dans Vexposant de cette puissance.
Car, en déplaçant la virgule d'un rang vers la droite, chaque chiffre représente des unités dix fois plus fortes ; le nombre est donc ainsi multiplié par 10. En déplaçant la virgule d'un rang vers la gauche, chaque chiffre représente des unités dix fois plus petites ; le nombre est donc ainsi divisé par 10.
S'il n'y a pas assez de chiffres pour opérer le déplacement complet, on complète le nombre par des zéros placés à droite ou à gauche.
118. Addition des nombres décimaux. — Étant donnés plusieurs nombres décimaux, 45,721, 3081,22, 0,085674, 0,0293, on peut, en complétant certains d'entre eux par des zéros, les amener à représenter tous, abstraction faite de la virgule, ies unités d'un môme ordre décimal, le plus élevé de ceux qui figurent dans les nombres proposés. C'est ainsi que les nombres donnés s'écrivent d'abord 45,721000, 3081,220000, 0,085674 et 0,029300.
Si Ton supprime la virgule dans chacun d'eux, ils représenteront les nombres précédents, à condition de penser que le dernier chiffre de chacun représente des unités du
sixième ordre décimal. Les nombres entiers ainsi obtenus indiquent combien les nombres proposés contiennent de millionièmes.
La somme de ces nombres indiquera combien il y a d'unités du sixième ordre décimal dans tous les nombres donnés, pris à la fois ; elle représentera donc, sous forme entière, la somme des nombres décimaux donnés. 11 n'y aura plus qu'à indiquer, à l'aide de la virgule, que le dernier chiffre à droite représente des millionièmes. De là, la règle suivante :
Règle. — Pour ajouter plusieurs nombres décimaux les uns aux autres^ on les écrit les uns au-dessous des autres, en plaçant dans une même colonne les unités d^un même ordre, on fait abstraction de la virgule, et on fait la somme comme si les nombres étaient entiers ; puis, le résultat obtenu^ on met la virgule à droite de la colonne des unités.
L'exemple précédent conduit à l'opération
OU
car il est évident que les zéros ajoutés, ne servant à rien, peuvent être omis.
Tout ce que nous avons dit revient au fond à la réduction des nombres donnés au même dénominateur, puis à leur addition, d'après la règle d'addition des nombres fractionnaires.
119. Soustraction des nombres décimaux. — En raisonnant de la môme manière, ou en réduisant deux nombres donnés au même dénominateur , on est conduit à effectuer la soustraction de deux nombres décimaux comme si
c'étaient des nombres entiers; le résultat obtenu, on rétablit la virgule à droite de la colonne des unités.
Exemple: Retrancher 0,085674 de 45,721.
On complète le second nombre avec trois 0 placés à sa droite et on a Topération
Règle. — Pour retrancher Vun de Vautre deux nombres décimaux, on ajoute des zéros à droite du nombre gui a le moins de chiffres décimaux^ jusqu'à ce qu'il en ait autant que l'autre ; on fait la différence comme si les deux nombres étaient entiers, et on met au résultat une virgule à droite de la colonne des unités,
120. Multiplication des nombres décimaux. — On applique la règle de multiplication des nombres fractionnaires. Ainsi pour avoir le produit de 0,0763 par 26,24, on revient à la
représentation première de ces nombres et Ton a -TTrî et
Le produit s'obtient alors en effectuant le produit des
numérateurs, et le produit des dénominateurs, ce qui se
fait en ajoutant les exposants des deux puissances de 10.
On a ainsi
Il est facile maintenant de supprimer la représentation intermédiaire et de formuler la règle.
Règle. -- Pour obtenir le produit de deux nombres déci' maux, on fait le produit des nombres entiers obtenus, en faisant absi'raclion de la virgule dans chacun d'eux^ et on sépare, à droite de ce nombre, par une virgule, autant de chiffres qu'il
y m a dans les parties décimales du multiplicande et du mul^ lipUcateur réunis*,
1^1. Division des nombres décimaux. — On s'appuie encore ici sur la division des nombres fractionnaires
quelconques.
Soit, par exemple, à diviser le nombre 5,841 par 3^,00849 ; ces deux nombres peuvent s'écrire
en les réduisant au même dénominateur, on a les deux
nombres
Si l'on multiplie maintenant le dividende par le diviseur renversé, on a le quotient exact des deux nombres,
584100 3200849' Ce nombre fractionnaire est irréductible et, pour le nioment,*il n'y a rien de plus à dire sur ce cas particulier. Nous pouvons cependant énoncer la loi suivante :
Le quotient exact de deux nombres décimaux s'obtient en complétant par des zéros celui des deux gui a le moins de chiffres décimaux^ et en formant un nombre fractionnaire ûuec ces deux nombres rendus entiers par la suppression de la virgule, le dividende étant placé en haut.
11 nous reste maintenant à évaluer, sinon exactement, au moins approximativement, de pareils quotients à l'aide des nombres décimaux.
12'2. Valeurs approchées d'un quotient. — Tous les nombres que nous avons rencontrés jusqu'ici se présentent sous forme de nombres entiers ou de quotients de nombres
mtiers.
Si la division indiquée par un nombre fractionnaire se fait exactement, le nombre est représentable par un nombre entier, et nous n'avons rien à en dire, sinon que ce nombre fractionnaire était susceptible de simplification.
Examinons le cas où le nombre ^^ indique une division
donnant un reste. Dans ce cas, nous allons chercher combien de fois une fraction déterminée est contenue dans le quotient, et si elle n'est pas contenue un nombre exact de fois dans ce quotient, le plus grand nombre de fois qu'elle y est contenue.
Cherchons d'abord combien de fois une fraction de la
forme - est contenue dans -=;• Les nombres fractionnaires n B
ayant pour dénominateur n, forment la suite croissante
conmie les nombres de cette suite augmentent au-delà de
toute limite, le nombre - est égal à l'un d'eux, eu compris B
p p ^ \ entre deux d'entre eux, =- et 1 de sorte que,
dans tous les cas, on a - < -î; < »
no n
pour une certaine valeur de p. Le nombre entier p est justement le nombre cherché, et nous obtiendrons ce nombre en multipliant les trois nombres qui figurent dans ces inégalités par n ; nous aurons ainsi
inégalités qui nous montrent que le nombre p est le quotient, à une unité près, de AX»» parB; nous sommes donc ramené, pour le calcul de p, à une division ordinaire.
Les deux nombres - et ^ diffèrent de - d'un
nombre moindre que — et se nommen t les valeurs appro-
chées de - , par défaut ou par excès ^ à - près. B D,
Il peut se faire, comme nous Tavons vu, que la valeur approchée par défaut, -, soit juste égale à -• Cela arrivera sûrement en particulier pour les valeurs approchées
par défaut à - près ou r^ près, k étant un entier quel-
conque, et n'arrivera que pour celles-là, si - est irréductible.
On peut aussi chercher des valeurs approchées à -z près : il suffit de trouver un nombre entier p vérifiant ies inégalités
p^g^vr /p
B OU, en multipliant par - « les inégalités
OC
Ceci nous montre que p est le quotient, à une unité près, de Ap par Ba, et nous sommes encore ramené à une division ordinaire.
Les calculs que nous avons indiqués ne dépendent que
de la valeur de - et non de sa forme : ^ peut donc être
réduit ou non à sa plus simple expression.
Cela posé, considérons une suite infinie de nombres entiers croissants,
^t^ 'Ifi 1 WA, ,
par exemple la suite naturelle des nombres entiers, ou celle des nombres impairs, ou les multiples de 5, — d'une manière générale, toute suite croissante et illimitée de nombres entiers ; — formons la suite des valeurs approchées
il 1
par défaut, à — » — » , — » près.
Pi Pi Pk
n, n, nk
ou la suite des valeurs approchées par excès,
Pi-hi p, -f- i p* 4- 1 ï » » — — » I
ou toute autre suite contenant ces nombres mélangés d*une façon arbitraire, le premier étant Tune des deux valeurs
approchées à — près, le second, Tune des valeurs appro-
chées à — près, , le A«, Tune des valeurs approchées
à — près ; et soit
«1, ûj» » ÛA,
cette suite. Le nombre ^ étant toujours compris entre les
deux valeurs apjH'ochées qui répondent à l'un des entiers
«, diffère de ak d'un nombre moindre que — i en plus ou
en moins. Or le nombre entier nk dépasse tout nombre
^ ^ ^ ^ ^ , entier donné , quand k est as-
0 a, û»û*| «i sez grand; donc, pour les
mêmes valeurs de A, le nombre — est inférieur à un
rfk
nombre fractionnaire quelconque, e, donné à l'avance. Il en résulte que les longueurs qui sont mesurées par les nombres ai, a,, , ait, y ont des extrémités aussi voisines
j^ que l'on veut de l'extrémité de la longueur mesurée par -•
On exprime cette propriété remarquable de la suite des ak, en disant que cette suite a pour limite le nombre -• On dit
de mcmc que les longueurs ak ont pour limite la Ion-
gueur — et que leurs extrémités ont pour point-limite Tex- B
trémité de la longueur - • Cette notion nous suffira pour le B
moment ; mais elle sera précisée plus tard. (Voirie chapitre sur les nombres incommensurables.)
Nous dirons qu*un nombre indéterminé, qui peut prendre toutes les valeurs d*un ensemble donné, est un nombre variable. C'est ainsi que nous dirons que le nombre ak est variable avec son indice, car il peut prendre toutes les valeurs de la suite précédente, et alors nous exprimerons
autrement l'idée de limite : nous dirons que le nombre -
est la limite du nombre variable ak^ quand Tindice k augmente indéfiniment, et nous écrirons
Lim. ak = -•
Ar=oo B
Cette égalité se lit : limite de a^, pour k égale infini^ égale A
