Réduction d*un nombre fractionnaire en décimales
— Prenons maintenant comme suite illimitée de nombres entiers croissants les diverses puissances de 10,
Alors les valeurs approchées de -i telles que nous les
avons calculées dans le paragraphe précédent, seront des
nombres décimaux, ^ et ^* . • chacun de ces nom-
bres diffère de - d'un nombre moindre que jrrr ou qu'une B 10*
unité du hfi ordre décimal. Pour les calculer, nous suivrons
la règle donnée antérieurement : nous multiplierons A par
10*, et nous prendrons le quotient à une unité près de ce
produit par B ; ce quotient sera le nombre entier p*.
NOMBRES DECIMAUX 223
Dans la pratique, pour obtenir la valeur approchée par
Pk
défaut j^ 1 on divise le nombre A par le nombre B ; une 10*
fois parvenu au reste ordinaire, le quotient obtenu est la
valeur approchée par défaut du quotient — i à une unité
près ; pour obtenir la valeur approchée par défaut à un* dixième près, on ajoute ensuite un 0 à droite du reste, afin d'obtenir un nouveau dividende partiel, et Ton calcule un nouveau chifiTre au quotient ; cette opération revient évidemment à la multiplication de A par 10 et donne le plus
grand nombre de dixièmes contenus dans le quotient r^- Si
Ton veut avoir la valeur approchée par défaut à un centième près, on ajoutera encore un zéro à droite du nouveau reste et Ton calculera un chiffre de plus au quotient ; il est évident que cette façon d'agir revient à la multiplication de A. par 100 et à la division, à une unité près, de ce produit par B. Et ainsi de suite. Dans chaque cas, on obtiendra la valeur approchée elle-même, en plaçant une virgule à droite du chiffre qui figure les unités du quotient.
Exemples, — Trouver à un millième près le quotient de 795 par 48.
On divise 795 par 48, à la façon ordinaire, et on forme trois nouveaux dividendes partiels, quand l'opération ordinaire est terminée, en ajoutant successivement un zéro à la droite des trois restes qui viennent ensuite.
Ceci revient, comme nous Tavons 48 dit, à la multiplication du dividende
16 562 P^^ mille ; le quotient obtenu sera
270 divisé par mille, en plaçant une
300 virgule à droite du chiffre qui ter-
120 mine le quotient ordinaire.
24 L'opération est faite à côté.
9âi VGMBRES DÉCIMAUX
Trouver le quotient à un dix-millième près de 32,728 par 0,9621.
D'après ce que nous avons tu antérieurement, le quotient exact de ces deux nombres est le quotient de 327280 par 9621 . n suffit donc d*appiiquer la même méthode et de poursuivre ropération jusqu'à ce que Ton ait obtenu quatre décimales, c'est-à-dire quatre chiffres après celui qui termine le quotient ordinaire, à une unité près ; cela exige la formation de quatre nouveaux dividendes par- ^^■^^^ |9e21 ^.^,g j^ j,^jj^ j^ ^j^ abaissés suc-
I 34,0172 cessivement. L'opération est faite à 16600 ... ^
Nous sommes donc conduit^ par 24430
ce procédé, à une opération indéfinie que nous pourrons continuer tant qu'il nous plaira, en abaissant un zéro à chaque fois pour former de nouveaux dividendes partiels. Si nous arrêtons cette opération, lorsqu'il y a un, deux, trois, ... chiffres décimaux au quotient, nous aurons les valeurs approchées par défaut à un dixième, un centième, un millième,... près. En ajoutant à chaque fois une unité au dernier chiffre décimal écrit, on obtient les valeurs approchées par excès. Cette opération s'appelle la réduction d'un nombre fractionnaire en nombre décimal ou en décimales. Elle jouît des propriétés suivantes :
lo Les résultats sont les mêmes si l'on multiplie ou si l'on divise, (piand cela se peut, les deux nombres A et B par le même nombre ; car ces opérations n'altèrent pas la valeur du
nombre -^•
' 2® Chaque valeur approchée par défaut se déduit de la
précédente, en ajoutant un nouveau chiffre décimal, qui peut
être nul.
3^ Les valeurs approchées par défaut successives forment
une suite croissante (*) ; elles augmentent à chaque fois de moins d'une unité de Tordre décimal du dernier chiffre précédemment écrit.
4'' Pour déduire une valeur approchée par excès de celle qui la précède, on retranche à celle-ci une unité du dernier ordre décimal écrit et on lui ajoute au moins une, au plus dix unités de l'ordre décimal suivant. Les valeurs approchées par excès vont donc en diminuant ou restent constantes pendant un certain temps, ou restent toujours les mêmes (**).
Exemple, — Le développement décimal 0,50400999504... donne pour suite des valeurs approchées par défaut 0,5 ;
0,50; 0,504; 0,5040 ; 0,50400 ; 0,504009; et pour suite
des valeurs approchées par excès 0,6 ; 0,51 ; 0,505 ; 0,5041 ;
0,50401 ; 0,504010 ; Les valeurs approchées par excès
que fournit le développement 0,999 sont toutes égales à 1.
Toutefois, il est bon de remarquer que ce développement décimal ne se rencontre dans aucune division.
5® Toute valeur approchée par excès surpasse la valeur approchée par défaut qui lui correspond d'une unité du dernier ordre décimal écrit.
6<> De toute valeur approchée par défaut, on déduit les valeurs approchées par défaut qui précèdent celle-ci, en supprimant des chiffres décimaux sur la droite du nombre décimal considéré.
7^ Si l'on porte sur une même droite, dans un même sens et à partir d'un même point, des longueurs mesurées par
ces diverses valeurs approchées et par le nombre —, on
se rend mieux compte des propriétés signalées, et l'on voit que l'extrémité de la longueur — est le seul point qui
(*) On appelle suite croissante une suite dans laquelle les termes ne vont iamais en diminuant ; il peut arriver du reste que deux ou plusieurs termes consécutifs soient égaux.
(**) Ce dernier résultat ne se rencontre dans aucun déyeloppement décimal iiroTenant d*ane diTision.
ARITHM. HUMB. 15
tombe entre les extrémités des longueurs approchées par défaut et des longueurs approchées par excès. Ce point est le point-limite commun à ces deux ensembles dépeints (*}, Il nous reste à voir maintenant dans quels cas le développement en décimales se termine, dans quels cas il est illimité, et quelle est alors sa loi de formation.
124. Nombres fractionnaires donnant naissance à des nombres décimaux limités ou à des nombres décimaux illimités.
Théorème. — Lorsqu'un nombre fractionnaire irréductible donne naissance à un nombre décimal limité^ son dénominateur ne renferme pas d'autres facteurs premiers que â et 5, et réciproquement.
Supposons d'abord qu'un nombre fractionnaire soit égal
à. un nombre décimal ; alors il sera de la forme rr-i et
pour obtenir sa valeur réduite il n'y aura qu'à supprimer au numérateur et au dénominateur les facteurs qui leur sont communs ; cette opération n'introduit aucun nouveau facteur premier au dénominateur, et celui du nombre obtenu en dernier lieu ne peut contenir que les facteurs premiers qui se trouvaient déjà en bas, c'est-à-dire 2 et 6 ou 2 ou 5.
Réciproquement, si cela est, le nombre irréductible
donné, t» sera de la forme t = ^^tit-; si les deux b b 2^5^ '
nombres n et » sont égaux, on a 7 = -rrr » et le nom-
bre donné est un nombre décimal ; sinon, supposons, pour fixer les idées, p supérieur à n ; en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2r^, nous aurons
(*) La plupart des propriétés signalées b appliquent à un développement quelconque en décimales, quelle que soit sa somme, pourvu qu^on définisse Ici valeurs approchées par défaut et par excès à Taide des n premières décimales.
NOMfiRBS DÉCIMAUX 227
b ~ opMp = ,Qy — ; le nombre - est donc encore
égal à un nombre décimal, que Ton obtiendra en cherchant
sa valeur approchée par défaut, à — près ; les valeurs
approchées suivantes seront toutes égales à celle-ci, car à partir de ce moment, les restes successifs de la division indéfinie sont tous nuls et les nouveaux chiffres décimaux nuls aussi.
Exemples :
7 I>l»!i78 ft.-- 8.8~ 2»5» ~1000~ '
Conséquence. — Lorsqu'au dénominateur d'un nombre fractionnaire irréductible, il y a d'autres facteurs premiers que i et 5, ce nombre donne naissance à un nombre décimal illimitée
Nous allons montrer que, dans ce cas, le développement est périodique^ c'est-à-dire qu'à partir d'un certain rang décimal, les mômes chiffres se reproduisent indéfiniment et dans le même ordre.
En effet, à partir du reste ordinaire, tous les dividendes partiels se forment de la même manière, — en ajoutant un zéro à la droite de chaque reste partiel obtenu ; or, tous ces restes partiels sont inférieurs au diviseur, ô, et se trouvent
parmi les nombres i, 2, , b — i; donc leur nombre
est limité, et l'on finira toujours, après un certain nombre d'opérations, par retomber sur un reste déjà obtenu. Apartir de ce moment, les mêmes opérations se reproduisent indéfiniment et Ton trouve les mêmes restes et au quotient les mêmes chiffres.
2Î3 NOlfBBRS DÂGHIAUX
Exemples :
Dans on nombre décimal périodique, on appelle période la partie décimale qui se reproduit identiquement et indé- Oniment. Quand on cite cette période, on la regarde comme tm nombre entier : dans les exemples précédents, les périodes sont 3, 769230 et 63.
Un nombre décimal est dit périodique simple^ quand la période commence immédiatement après la virgule. — Le second des trois nombres donnés conmie exemples, est périodique simple.
Un nombre décimal est dit périodique mixte^ quand la période ne commence pas de suite après la virgule. — La partie décimale qui précède la période est la partie non périodique, — Dans le premier et le dernier des exemples précédents, les parties non périodiques sont 8 et 488.
La partie entière d'un nombre fractionnaire n'intervient pas dans ce qui nous reste à dire sur les nombres décimaux. Nous ne considérons donc que des nombres inférieurs à 1, et d^ fractions décimales, ayant pour partie entière 0.
La fraction ordinaire qui donne naissance à une fraction décimale périodique est dite fraction génératrice de celle-ci.
Exemples. — - est la fraction génératrice de 0,8333 . . • ,
et —, la fraction génératrice de 0,769230769230
io
La fraction génératrice d'une fraction décimale périodique est la limite des fractions décimales obtenues en prenant
im, deux, trois, chiffres décimaux. Ainsi - est la 11-
NOMBRES DÉGUIAUX 229
mite de la suite
car la différence entre le nombre - et le terme de rang n
est inférieure à 777- (n* 123) ; il en est de même a fortiori lu"
de la différence entre - et un terme quelconque de la suite o
qui vient après le rang n. Si donc on prend n assez
grand pour que rrr- soit inférieur à un nombre fraction-
naire choisi arbitrairement, e, tous les termes de la suite
qui viennent après le n* différeront de - d'un nombre
moindre que t ; donc, par définition de la limite, - est la
limite de cette suite (*).
