Fraction génératrice d'une fraction décimale pério
dique donnée. — Considérons, en premier lieu, une fraction
décimale périodique simple, et prenons, par exemple, la
fraction
sur laquelle nous allons faire un raisonnement applicable à un exemple quelconque.
Nous allons montrer d'abord que la suite des fractions décimales
a une limite.
Pour cela, nous prendrons dans cette suite les termes qui contiennent un nombre exact de périodes, c'est-à-dire
les termes de rangs 3, 6, 9, ...... 3n, Le n* de ces
termes, celui qui contient n périodes, représente des
(*j Lé nombre t étant Choisi arbitrairement, est naturellement aussi petit que Ton veut.
unités de Tordre j— ;^- Chaque fois qu'on avance d'un rang
dans cette nouvelle suite, on ajoute 597 unités du dernier ordre décimal écrit, en sorte que les termes que nous envisageons seuls peuvent être représentés par
lOOO' iOOO"*'lOOO«' 1000 ■*■ 1000» "^1000»'*"
Désignons le n* de ces termes par A»; nous aurons
et si nous multiplions ce nombre par 1000, nous obtiendrons :
.AAAA ^r.^ S97 597 • 697
1000An = 597^- — H-j^^- H-^3^;
nous allons obtenir une nouvelle expression du nombre
A» en retranchant de cette égalité celle qui définit le nom-
bre An ; nous aurons ainsi 999An = 597 — rrr^r^- Nous
voyons donc que le nombre An a pour valeur
par conséquent la différence entre r^ et A» est donnée
9yy par l'égalité
: — An =
Or le second membre de cette égalité devient aussi petit
que l'on veut, quand n grandit au-delà de toute limite ;
donc le nombre variable A„ a pour limite — - .
Si maintenant nous revenons à la j)remière suite, celle qui contient tous les nombres décimaux déduits du nombre
NOMBRES DâClMAUX 231
décimal périodique simple domié, nous constatons que les tennes de cette suite vont en croissant, et qu'il y a, quelque grand que soit n, toujours des termes de la forme précédente qui viennent après ceux que Ton envisage ; donc tous
les nombres de cette suite sont inférieurs à — j. De plus,
lorsqu'on s'éloigne de plus en plus dans cette suite, les termes finissent par dépasser tel des nombres An que Ton veut envisager ; donc ces termes finissent par être aussi
voisins de —r que Ton veut ; ils ont donc pour limite le
nombre
Il sufiit de généraliser par la pensée le raisonnement que Ton vient de faire sur un exemple particulier, pour être conduit au théorème suivant :
Théorème. — Toute fraction décimale périodique simple a pour limite la fraction ordinaire que Von obtient en prenant pour numérateur le nombre entier formé par une période unique et pour dénominateur un nombre composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période.
Remarque. — La fraction ordinaire que Ton obtient ainsi
ne peut dépasser Tunité; elle est en général inférieure à 1;
elle ne peut être égale à i que si la période est égale à 9 ;
dans ce cas, la fraction décimale périodique simple donnée
est
la limite de tous les nombres décimaux que Ton en déduit
est - ou i.
Nous allons montrer maintenant que, sauf ce dernier cas, la fraction ordinaire obtenue en appliquant le théorème énoncé précédemment est la fraction génératrice de la fraction décimale périodique simple donnée.
En effet, dans tout autre cas que le cas exceptionnel signalé, la fraction obtenue est inférieure à 1 ; si donc on la convertit en décimales, elle ne peut donner naissance qu'à une fraction décimale limitée ou illimitée ; mais dans les deux cas, le numérateur successivement multiplié par
10, 100, 1000, , et divisé ensuite par le dénominateur,
donne le premier, les deux premiers, les trois premiers, chiffres décimaux ; si la fraction décimale était limitée, on finirait par ne plus trouver que le chiffre zéro au quotient. C'est la seule différence entre ce cas et l'autre.
Revenons alors au nombre ^^ » multiplions le numéra-
teur par 1000 et divisons le produit par le dénominateur ; nous aurons ainsi les trois premiers chiffres décimaux. Mais le produit de 597 par 1000 est égal à 597(999 -H 1) ou 597 X 999 -h 597 ; ce qui nous montre que le quotient est 597 et le reste 597. Ce reste multiplié par 1000 et divisé par 999 donnera les trois chiffres décimaux suivants ; on obtient donc ainsi 597 pour les nouveaux chiffres décimaux. Et ainsi de suite.
Théorème. — La fraction génératrice d'une fraction déclmaie périodique simple donnée, autre que
l'obtient en divisant le nombre entier formé par la période par un nombre entier formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans cette période.
Le dénominateur d'une fraction génératrice de ce genre, étant de la forme 10» — 1, ne contient aucun des facteurs premiers du nombre 10. Si donc on réduit une pareille fraction à sa plus simple expression, le dénominateur final ne contiendra ni le facteur 2 ni le facteur 5 ; d'où, le théorème :
Théorème. — Le dénominateur d'une fraction irréductible^
NOMfiRBS DéCIMAUX 233
génératrice d*une fraction périodique sifnple, ne contient ni le fadeur 2 ni le facteur 5.
126. Fraction génératrice d'une fraction décimale périodique. — Suite.
Nous allons étudier maintenant le cas d'une fraction décimale périodique mixte donnée.
Pour faire cette étude, nous nous appuierons sur les deux propriétés suivantes, relatives aux limites, et qui sont presque évidentes :
!• Si Pon considère deux suites infinies de nombres fractionnaires ou entiers, et tels que les termes de tune soient res" pectivement égaux aux termes correspondants de Vautre, multipliés par un même nombre, fractionnaire ou entier^ ces deux suites ont ou n'ont pas des limites en même temps. Si ces limites existent, celle de la première est le produit de celle de la se* conde par le multiplicateur employé.
Soit, en effet,
Al, Aj, , An, ..•••
une suite infinie de nombres fractionnaires ou entiers ;
multiplions tous les nombres de cette suite par un nombre
fractionnaire ou entier, m ; nous aurons une nouvelle suite,
Bj, Bj, , B„,
Si la première a une limite, A, c'est que la différence entre A et A„ est moindre, â partir d'un certain rang, p, qu'un nombre choisi arbitrairement, t ; alors la différence entre mk et mA„ sera moindre, à partir du même rang, que »ne ; or e est un nombre quelconque, donc mt est aussi un nombre quelconque, et, par suite, le nombre B» ou mkn a pour limite le nombre mk quand n grandit au delà de toute limite.
Si l'on admet que c'est la seconde suite qui a une limite, un raisonnement complètement analogue montre que la
première a pour limite — • m
NOMBRES DâCIMAUX
2* Si Von suppose que (Tune suite infinie de nombres frac» iionnaires ou entiers,
Af, A%f .....y An> f
on déduit une seconde suite^
B,, Bi, , Bii9
m ajoutant à chacun des termes de la première un nombre dé» terminé, m, fractionnaire ou entier^ les deux suites ont des limites ou n*en ont pas en même temps. Si les limites existent, cdie de la seconde est égale à celle de la première, augmentée de m.
Dire que la première suite a une limite, A, c'est dire qu'à partir d'im certain rang, p, la différence entre A et Ab est moindre qu'un nombre, e, choisi arbitrairement. Or la différence entre A 4- m et Bn est égale à la précédente ; donc Bn a pour limite A 4- m, quand n augmente indéfiniment.
Réciproquement, si Ton admet que la seconde suite aune limite, B, on démontre par un raisonnement semblable au précédent que la première suite a pour limite B — m.
Cela posé, soit
une fraction décimale périodique mixte ; et considérons la
suite infinie
nous allons d'abord montrer que cette suite a une limite et trouver cette limite. Pour cela, nous remarquons qu'on peut, au commencement de cette suite, supprimer autant de termes que l'on veut, sans que la limite soit altérée, s'il y en a une, sans qu'une limite apparaisse, s'il n'y en a pas primitivement ; cela résulte de l'idée même de limite, et delà définition, qui est indépendante des premiers termes, si grand que soit leur nombre.
Supprimons alors les deux premiers termes de la suite, multiplions tous les autres par 100, et retranchons de tous
ces nouveaux nombres le nombre 86 ; nous aurons les trois suites :
qui ont des limites ou qui n*en ont pas en même temps. Mais,
d'après ce que nous avons vu dans le paragraphe précédent,
la dernière suite provient d'une fraction périodique simple
et a pour limite le nombre r^* La seconde suite a donc
pour limite le nombre 86 4- r^ri et la première, une li-
86 697 mite 100 fois moindre, jt-t -h ^^^. Or ce dernier nombre peut s'écrire
ou — ^ • ou — = •
En généralisant ce résultat, nous sommes conduit au théorème suivant :
Théorème. — Toute fraction périodique mixte donne naistance à un nombre décimal variable dont le nombre des chiffres décimaux augmente indéfiniment et qui a pour limite une fraction ordinaire dont le numérateur s'obtient en retranchçint du nombre formé par la partie non périodique^ suivie d^une période f la partie non périodique^ et dont le dénominateur est un nombre composé d^ autant de 9 qu^il y a de chiffres dans la période suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la partie non périodique.
Si la période ne se compose que du chiffre 9, la limite j
s'écrit plus simplement. Ainsi le nombre 0,86999 a
une limite 100 fois moindre que le nombre 86,999 , et|
ce dernier a pour limite 86-»-- ou 87; le premier nom-
bre a donc pour limite rrrr ou 0,87, Mais la règle donnée
plus haut peut être appliquée et donne le nombre
869— 86 783 900 "" 900' qui est égal à 0,87.
En laissant de côté ce cas exceptionnel, il est facile de voir que la fraction limite obtenue par le procédé indiqué donne naissance au nombre décimal périodique mixte qui Ta fournie, quand on la développe en décimales.
86511 En efTet, pour développer le nombre en décima-
les, il suffit de développer le nombre 100 fois plus grand, 86511
et de reculer ensuite la virgule de deux rangs vers
ou
la gauche. Or ce nombre peut s'écrire
La partie entière de ce nombre est 86 et la partie déci-
maie est ^:;rz. Or cette dernière donne naissance à la frac-
tion décimale périodique simple 0,697597597 Donc le
nombre
donne naissance au nombre 86,597597.
6t par suite le nombre proposé donne naissance au nombre 0,86597597...,. On a donc finalement le théorème suivant :
Théorème. — Sauf le cas où la période e^t égale à 9, la fraction génératrice (Tune fraction périodique mixte donnée ^obtient en formant une fraction ordinaire dont le numérateur €it U nombre entier composé par la partie non périodique suivie d'une période et diminué de la partie non périodique^ et dont le dénominateur est formé d\çkutant de 9 qu'il y a de
NOMBRBS DÉCIMAUX 237
chiffres à la période^ iuivù d'autant de 0 quily a de chiffres dans la partie non périodique.
Si on applique convenablement le théorème précédent, le numérateur n'est pas terminé par un zéro, sans quoi la partie non périodique serait terminée par le même chiffre que la période et celle-ci pourrait commencer un rang plus tôt. Ainsi cela arriverait dans l'exemple précédent, en prenant 865 pour partie non périodique et 975 pour période ; mais le nombre est alors
et la période véritable commence un rang plus tôt que récriture actuelle ne le suppose. D'ailleurs le nombre
obtenu ainsi est ^^.^^^^^^ et il est égal au précédent. Rien ne y9yiiUU
s'oppose, en effet, dans nos raisonnements, à ce que Ton
modifie la période à volonté. Ainsi le nombre 0,597597...
peut s'écrire 0,5.975.975 , et, en le traitant alors comme
une fraction périodique mixte, on a pour fraction généra-
tnce = := — . On peut encore prendre
pour période 597597, et le nombre qu'on obtient ainsi
,---.- est égal à —- • cela est facile à voir directement, car
1 • K , A ^ y. 597 X iOOi
le premier nombre est égal à ^^ q^^-
Il résulte aussi de la remarque que nous venons de faire que
La fraction génératrice d'une fraction décimale périodique
mixte une fois réduite à sa plus simple expression, contient
encore au dénominateur au moins l'un des facteurs premiers â
' et 5^ et fun d'eux autant de fois qu'il y a de chiffres dans la
' partie non périodique,
j Car le numérateur n'étant pas divisible par 10, un seul des facteurs 2 et 5 peut être commun au numérateur et au
dénominateur; Tun des deux reste donc autant de fois m dénominateur qu*il y a de zéros primitivement à la droite de ce nombre, c'est-à-Klire autant de fois qu'il y a de chiffres dans la partie non périodique.
Nous pouvons maintenant terminer facilement cet exposé par la démonstration des théorèmes réciproques qui suivent.
Théorème. — Toute fraction ordinaire irréductible dont lé dénominateur ne contient ni le facteur â, ni le facteur 5, donne naissance à une fraction décimale périodique simple.
Cette fraction décimale ne peut être limitée, sans quoi le dénominateur ne contiendrait pas d*autres facteurs premiers que 2 et 5; elle ne peut être périodique mixte, sans quoi le dénominateur contiendrait le facteur 2 ou le facteur 5 et d'autres facteurs premiers. Elle est donc nécessairement périodique simple.
Théorème. — Toute fraction ordinaire irréductible dont le dénominateur contient les facteurs premiers 2 e^ 5 ou 2 ou 5, avec d'autres facteurs premiers, donne naissance à une fraction décimale périodique piixte, dont la partie non périodique contient autant de chiffres quHl y a d'unités dans l'exposant le plus haut des facteurs 2 e^ 5.
Par un raisonnement semblable au précédent, on voit que cette fraction décimale ne peut être limitée ni périodique simple. Elle est donc périodique mixte, et nous avons vu que le nombre de fois que figure au dénominateur le facteur 2 ou le facteur 5 qui entre le plus de fois est égal au
nombre des chiffres de la partie non périodique. 5 31 Exemples. — ô ®* Ta donnent des fractions décimales lio 40
mitées :
donnent des fractions périodiques simples ;
77 ' 7777 ' 5H^ donnent des frations périodiques mixte».
14 104 ooO
* i27. Restes des puissances d'un nombre a par rapport à un module quelconque b, premier avec lui* — Considérons ia suite des puissances de a,
et prenons les restes des nombres de cette suite, par rapport à un module b, premier avec a ; aucun de ces restes n'est nul, puisqu'aucun de ces nombres n*a de facteur commun avec b ; les divers restes obtenus sont donc tous compris dans Tensemble
1 , 2, 3, , b — 1 ; leur nombre est limité, et, au bout d*un
certain nombre d*opérations, on retombera forcément sur un reste déjà obtenu. Soient a* et a*+* les deux puissances de a qui donnent le même reste ; alors la différence a^'*^f^—a'' = a^{a^— 1) est divisible par b ; or c'est un produit de deux facteurs dontTun d'eux, a*, est premier avec b ; donc Tautre est divisible par b ; si donc on parcourt la suite des puissances de a, on rencontre certainement une puissance de a, autre que a®, qui donne pour reste lunîté.
Désignons par a* la première de celles qui donnent pour reste 1. il est facile de voir que les divers nombres
donnent des restes différents,
et que cet ensemble de restes est périodique. En effet, si deux de ces nombres, a* et a*', donnaient le même reste, la différence a*' — a^ serait divisible par b ; or elle peut s'écrire a*(a*^*— 1), et, comme a* est premier avec ô, a*'"* — 1 serait divisible par b ; mais V et k sont tous deux plus petits que t, et il y aurait une puissance de a venant avant a' et ayant pour reste Tunité.
D'autre part, toute puissance telle que a''''* donne le même reste que a*, puisque a' donne pour reste 4 . Donc les nombres
a', «*+*, , a*^* donnent à nouveau les restes «i, otj, , eu ;
de même les < puissances de a qui suivent celles-ci donnent les mêmes restes. Donc la suite des restes est périodique, elle commence au premier reste, 1, et comprend t termes.
Les seules puissances de a qui donnent pour restes 1 sont celles qui ont pour exposants les multiples de t, 0^ t, 2^..., nt,... ; si donc on trouve une puissance de a, a\ qui donne pour reste Tunité, on peut être assuré que h est un multiple de t.
* 128. Théorème de Fermât généralisé. — Si Ton désigne par <p(b) le nombre des nombres premiers avec b et non supérieurs à b, si Von désigne, en outre, par a un nombre quelconque premier avec b, la différence a!^ ^ — i est divisible par b.
INOMBRBS DÉCIMAUX'
Soient, en effet, ai, a,, , «jp^^j, les nombres inférieurs à b
et premiers avec lui ; les produits oai, oocs, , aa^(^) donnent
pour restes, par rapport au module d, tous les nombres de cet ensemble ; car deux de ces nombres, aah et acik, ne peuvent donner le même reste, sans quoi leur différence, a((Xk — «a), serait divisible par &, ce qui n'est pas, puisque le premier facteur est premier avec b et le second plus petit que lui ; d'autre part, les restes ainsi obtenus sont tous pt-emiers avec b, car, en désignant par r Tun d'eux, on a aah z= bq + r, et si r et 6 avaient un facteur commun, ce facteur appartiendrait à aa*, c'est-à-dire à a ; donc les restes de ces divers produits sont les nombres premiers avec b et plus petits que lui. 11 en résulte que le produit de tous les multiples de a considérés est congru au produit des nombres a ; on a donc
«laj V*)""^^*^ ^ *«** V*) ^^^^' ^^ '
or on peut diviser les deux membres de cette congruence par le produit «laa. . . . .c^m{b) <riî est premier avec h, et Ton a a^^ ' s 1 (mod. b).
Le théorème est donc établi.
Si nous désignons par ^ comme nous l'avons fait précédemnient, le plus petit exposant de a tel que a* ^ i (mod. b)y nous pouvons affirmer, d'après ce qui a été dit antérieurement, qae t est un diviseur de o[b).
* 129. Nombre des termes de la période du développement d'un nombre fractionnaire en décimales. — Multiplions maintenant tous les termes de la suite des puissances de a par A premier avec b ; nous aurons la nouvelle suite
A, Aa, Aa^, , Aa^ , ,
qui fournit, elle aussi, une suite de restes périodique, et dont la période comprend t termes.
En effet, la différence entre deux termes de cette suite, Aa* et Aa*+*, ne peut être divisible par b que si la différence entre les deux puissances de a est divisible par &, car l'autre facteur, A, qui figure dans cette différence, est premier avec b ; or ceci n'arrive que si h est un multiple de t. Donc les nombres A, Aa,
Aa2, , Aa*"* donnent des restes différents, p,, Pa, , pri
les nombres Aa«, Aa*+*, , Aa^^-i, donnent les mêmes restes ;
la suite des restes est donc périodique, et la période comprend les t restes p.
Cela posé, considérons la suite des puissances de 10,
qu'il faut diviser successivement par b pour avoir le dévelop-
NOMBKES DÉCIMAUX 241
pement de ? en décimales. Si b est premier avec iO, la suite des
restes est périodique et contient t termes, t étant un diviseur de ^ (b). Chacune de ces divisions fournit une valeur approchée
de - à une unité près, à un dixième près, à un centième près,
etc. ; chacun des restes obtenus, suivi d'un 0, donne le dividende partiel qui conduit à un nouveau chiffre décimal. La partie décimale est donc périodique simple et contient t termes.
Si nous multiplions tous les termes de ceUe suite par un nombre a, premier avec &, nous obtenons la suite
a, lOa, 10*a, .... , I0«a, ,
qui donne, quand on divise tous ces termes par d, à la façon ordinaire, les valeurs approchées par défaut du quotient de a par b à une unité près, à un dixième près, à un centième près, etc., à condition de placer la virgule à droite du chiffre des unités. Les divers restes ainsi obtenus sont les restes partiels de la division indéfinie qui donne les approximations successives de
^ ; chacun d'eux suivi d'un zéro donne le dividende partiel suivant ; or cette suite de restes est périodique, la période commence au premier reste, et le nombre de ces termes est un diviseur de <p {b). Le développement décimal est donc périodique simple et contient t chiffres à la période. De là, ce théorème, déjà démontré indirectement.
Théorème. — Si l'on convertit en décimales un nombre fractionnaire irréductible, r, dont le dénominateur ne contient ni le
facteur 2, ni le facteur 5, le développement est illimité et périodique simple ; la période contient t chiffres, t étant un diviseur de «p(b), et le nombre t est indépendant du numérateur : il est le
même que pour le nombre fractionnaire t-^
La valeur de la période elle-même dépend dn numérateur.
Supposons maintenant que b ne soit pas premier avec 10, mais contienne d'autres facteurs premiers que 2 et 5, que Ton ait b = 2»5^&', et supposons, pour fixer les idées, que l'on ait p >> « ; considérons les nombres
a \0a iOOa 10"a
les parties entières représentent, abstraction faite de la Virginie, les valeurs approchées par défaut de r » à une unité près, à un dixième près, à un centième près, etc. Jusqu'au
ARITHM. BUMB. j6
nombre -r— ? tous ces nombres, réduits A leur plus simple expression, contiennent encore au dénominateur le iadeur 5 ou les facteurs 2 et 5 ; mais le nombre — r- » réduit à sa plus
«mple expression» n » no contient plus le facteur 2 ni le facteur
5 au dénominateur et, par suite, il donne naissance à un nombre décimal périodique simple, qui, limité à son A* chifire décimal,
donne la valeur approchée par défaut de r? à t^ près. Pour déduire de là les valeurs approchées de r? il faudra diviser les
valeurs approchées de -p par iO}», c'est-À-dire reculer la virgule
de p rangs vers la gauche. On introduit ainsi dans la partie décimale, une partie non périodique de p termes ; quant au nombre des chiffres de la période, c'est toujours un diviseur de ^(*'). Ce nombre ne dépend que de b' et non du numérateur. On a donc le théorème suiTant :
Théorèmï:. — Si l'on oonvertit en décùnales un nombre fraciionnavre irréductible dont le dénominateur contient les faicteurs 2 et^ ou seulement l'un d'euxj on obtient un nombre décimal périodique mixte, dont la partie non périodique comprend autant de chiffres, qu'il y a d'unités dans Vexposant le plus élevé de 2 et ^^ et la partie périodique^ i chiffreSy t étant un diviseur de ©(b'), b' désignant le dénominateur débarrassé des facteurs 2^5.
Les nombres des chiffres delà partie non périodique et de la période ne dépendent nullement du numérateur ; mais ces chiffres eux-mêmes en dépendent.
Pour plus de détails sur ces questions^ consulter les Recherthés arithmétiques de Gauss (section sixième).
NOMBRES DâClMAUX 243
EXERCICES
!• Si Ton considère deux fracUons, 77 et —, de même dénominateur, et dont la somme soit égale à I , démontrer que si on les réduit en décimales, la somme de deux chiffres dé même rang dans les deux quotients est toujours égale à 9, et la somme des restes correspondants toujours égale au dénominateur, 11. — Modifier cet énoncé, pour le cas où les fractions sont exactement réductibles en décimales.
^ Si l'on réduit 7- en décimales, on obtient une fraction déci-
maie p^Hodique simple dont la période contient 16 chiffres.
Faire voir <|ue les chiffres de la seconde moitié s'obtiennent en
retranchant ^ 9 ceux de la première moitié. Généraliser.
3* Le produit ^ deux nombres décimaux périodiques simples est un nombre décimal périodique simple. lOn prend pour valeur de chacun de c^ nombres, la limite qui lui correspond).
4« Si la période d'une fraction irréductible -r a 6 — 1 chiffres, le
dénominateur est un nombre premier, et si l'on range ces chiffres sur un cercle de façon qu'il n'y ait ni premier, ni dernier chiffre, le cercle ainsi obtenu est indépenâaiit du numérateur, a,
5^ Si plusieurs fractions irréduçtU^Ies de dénominateurs
h, h\¥y , premiers entre eux deux 1^ deux, fournissent des
périodes de «, «', n", chiffres, toute AM^tion irréductible de
dénominateur hh'h" fournit une période tent le nombre des
chiffres est le plus petit commun multiple de n^ n'^n"^
6* Démontrer que quel que soit le nombre entier », la fraction
décimale qui provient de — | r H — —5 est périodique
mixte.
