CHAPITRE PREMIER

130. Définitions. — On appelle carré d*un nombre le produit de ce nombre par lui-même.

Les carrés des nombres entiers forment une suite infinie et croissante,

chacun d'eux se déduit du précédent d'après une loi très. simple et qui résulte de l'égalité suivante :

dans laquelle a et * désignent des nombres entiers ou fractionnaires quelconques.

Pour établir cette égalité, il suffit de se rappeler la signification de (a 4- 6)*, qui désigne le produit de deux facteurs égaux à a 4-*, et la règle qui donne le produit de deux sommes : d'après cette règle, il faut multiplier successivement les deux termes de a -h ô par a et b] on a ainsi les produits a*, ôa, ab et b*; on doit maintenant faire la somme de ces quatre nombres; il est visible que si l'on

réunit ensemble les deux produits ba et ah qui sont égaux, on a Tégalité annoncée.

Nous pouvons donC énoncer la propriété suivante :

Le carré d'une somme de deux nombres {entiers ou fractionnaires) est égal à la somme des carrés des deux parties^ augmeunièe die Unt doublé produit.

Considérons alors deux nombres consécutifs, n et n+i; le carré du second est égal à n* + 2n -h 1. Or ce carré est le (n 4- !)• de la suite des carrés des nombres entiers ; le nombre 2n -h 1 est le (n-h !)• nombre impair.

On a donc te carré d'un nombre tnJlier en ajoutant au carré de celui qui le précède le nombre impair de même rang que le carré que Von veut former.

Écrivons alors la suite des nombres impairs,

et au-dessous de ceux-ci les carrés des nombres entiers successifs; il suffit de partir de 1, écrit au-dessous du premier des nombres impairs, pour avoir tous les autres carrés, à Taide de simptes additions : on dira 1 et 3, 4, 4 et 5, 9,

9 et 7, 16, , et i*on écrira chaque résultat à droite du

carré précédent.

Il est donc absolument évident que cette suite de carrés est croissante, et même rapidement croissante, et qu'elle ne contient pas tous les nombres entiers.

Cela posé, on appelle ratfine cannée d'unnombre entier. A, un autre nombre entier, a, qui, élevé an carré, reproduit le nombre A. L'opération qui permet de trouver ce nom'bre a s'appelle elle-même une extraction de racine carrée.

L'opération ainsi définie est rarement possible, car un nombre entier. A, choisi arbitrairement, tf est pas, en général, un carré.

RACINB CARRéB 347

Mais si A n*est pas on nombre de la suite des Ganrés, il est compris entre deux termes consécutifs de cette suites a* et (a -h i)' ; de sorte que, dans tous les cas, quel que soit rentier A, on a toujours, pour une certaine valeur de rentier a, la double inégalité qui suit :

a«<A<(a-hi)».

Nous appellerons racine carrée à une unité prés d'un nombre entier quelconque. A, la racine carrée du plus grand carré contenu dans ce nombre. Il résulte des explications précédentes, que cette racine carrée est le nombre a qui figure dans la double inégalité écrite plus haut.

La différence entre le nombre A et le plus grand carré, a', contenu dans ce nombre, se nomme le reste de Fopération qui a pour but de déterminer a.

Lorsque Topération se fait sans reste, le nombre A est dit carré parfait.

D'après les inégalités précédentes, la différence A — a" est plus petite que la différence (<H-1)* — a" = 2a-hi.

Donc le reste est plus petit que le double de la racine^ augmenté de un,

La plupart des définitions précédentes s^appliquent immédiatement aux nombres fractionnaires.

Un nombre fractionnaire est dit carré parfait^ si on peut l'obtenir en multipliant un autre nombre fractionnaire par lui-môme. Si cela arrive, le nouveau nombre fractionnaire s'appelle la racine carrée du premier. Mais cela n'arrive pas, en général, et nous définirons plus tard des racines carrées approchées.