Racine carrée à une unité près

1"* Cas. — Le nombre donné A est inférieur à 100. — Alors la racine carrée à une unité près est inférieure à 10; elle est immédiatement donnée par la table de multiplication.

248 RACINB GâRRÉE

qui contient, en particalier, les carrés des neuf premiers nombres entiers.

Exemples. — La racine carrée de 36 est 6; le plus grand carré contenu dans 42 est 36, la racine carrée est 6 et le reste 6; le plus grand carré contenu dans 75 est 64, la racine carrée est 8 et le reste 11.

2* CAS. — Le nombre donné A est supérieur à 100. — Alors 10 est parmi les nombres dont les carrés sont plus petits que A; la racine carrée de A est donc au moins égale à 10, et se compose de dizaines et d'unités. Soient a le nombre des dizaines et b celui des unités; la racine carrée peut s'écrire a -f- 6, à condition de penser que a désigne des dizaines. Or le carré de a-t-ô se compose d'abord du carré de a, qui est un nombre exact'de centaines, du double produit de a par 6, qui est un nombre exact de dizaines, et du carré de b, qui est un nombre inférieur à 100.

Ainsi 37 peut s'écrire 3 4-7, pourvu que nous pensions que 3 représente des dizaines, et son carré est 9 centaines, plus 42 dizaines, plus 49 unités. Comme le carré de a -4- 6 est contenu dans A, et qu'il y a encore un reste non nul, en général, on voit que le carré du nombre des dizaines de la racine est contenu dans les centaines du nombre A. Mais nous allons montrer, ce qui n'est pas évident, d'après ce qui précède, que fe nombre des dizaines de la racine carrée à une unité près d'un nombre A est la racine carrée à une unité près du nombre des centaines de A.

Désignons, en effet, par Aj le nombre des centaines de A et par A, la partie restante ; désignons, en outre, par *x la racine carrée à une unité près de A, ; nous aurons

et, en multipliant ces trois nombres par 100,

(10a?)« < lOOA^ < [10(a?-+-l)p.

On a donc sûrement (lOo?)* < lOOAt -h Aa, c'est-à-dire

(iOar)»<A; d'autre part, [iO(a?4-i)]* est supérieur à iOOAi ; donc ce nombredes centaines surpasse au moins le nombre des centaines de A de une centaine, et, par suite, le second nombre est supérieur à A; on a donc finalement

(i(kc)»< A <[(10(a? + !)]•.

La racine carrée à une unité près du nombre A est donc au moins égale à x dizaines et plus petite que or+i dizaines ; elle contient donc x dizaines.

Une fois que Ton aura le nombre des dizaines, on obtiendra le chiffre des unités en retranchant de A le carré du nombre formé par les dizaines de la racine ; cela se fait en retranchant le carré de x du nombre des centaines de A, et abaissant à droite de cette différence les deux derniers chiffres de A. Le premier reste ainsi obtenu, B, contient encore deux fois le produit des dizaines par le chiffre des unités, le carré des unités et le reste de l'opération ; si donc on divise le nombre des dizaines de B par le double des dizaines de la racine, on aura le chiffre des unités ou un chiffre trop fort. Pour essayer ce chiffre, on le met à droite des dizaines de la racine, on élève le nombre ainsi formé au carré et on retranche le résultat de A ; si cette soustraction est possible, le chiffre essayé est bon ; sinon, on le diminue de une unité et on recommence l'essai; on agit ainsi jusqu'à ce que l'essai réussisse. — On peut simplifier les essais, en remarquant que l'on a déjà retranché de A le carré du nombre des dizaines, et qu'il suffit alors de soustraire du reste obtenu, B, le double produit des dizaines par les unités, puis le carré des unités, c'est-à-dire, avec les notations antérieures, de retrancher de B le nombre 2aÂ+^^ ou 6(2a-4- 6). A droite du double des dizaines, on placera donc le chiffre à essayer, on multipliera le nombre ainsi formé par ce chiffre et on retranchera le produit de B, si cela se peut ; sinon, on diminuera ce chiffre de une unité et on recommencera l'essai de la môme façon.

U-: 250 RAGINB CARRÉE

^; Exemple: Extraire la racine carrée à vne unité près de

^^ 8657. — On dispose Topération d'une manière analogue à

|î eelle employée pour la division: on met le

nombre donné à la place du dividende, la

racine à la place du diviseur, les calculs

^; 557 3 auxiliaires à la place du quotient et au-

i; 549 ~ dessous; enfin les soustractions indiquées

dans les diverses parties de Topération, audessous du nombre donné. Séparons les 86 centaines du nombre par un point ; la racine carrée à une unité près de 86 est 9 et constitue le nonibre des dizaines de la racine ; retranchons des 86 centaines du nombre le carré de 9 dizaines ou 81 centaines ; il reste 5 centaines, à droite desquelles nous abaissons les 57 unités non employées du nombre proposé. Divisons les 65 dizaines de ce reste par le double des dizaines trouvées à la racine, par 18; nous avons pour quotient 3, qui est le chiffre des imités ou un chiffre trop fort. Pour essayer ce chiffre, nous le |- plaçons à droite des 18 dizaines qui représentent le double

^ des dizaines de la racine, nous avons ainsi le nombre 183,

? dont le produit par 3 doit être soustrait de 557. La sous-

: .. traction est possible ; le chiffre essayé est bon, la racine est

Y 93 et le reste, 8.

"^ Examinons maintenant le cas où le nombre des dizaines

de la racine est lui-même supérieur à 10 et prenons comme