I. exemple le nombre 74986356124. Le nombre des centaines
i^' de ce nombre est 749863561 ; ce nombre est plus grand que
100; donc sa racine contient aussi des dizaines, que nous
aurons en extrayant la racine carrée à une unité près du
nombre des centaines de ce nouveau nombre, c'est-à-dire
de 7498635; la racine de celui-ci contient elle-même des
dizaines et des unités; nous sommes donc conduit à
extraire la racine carrée des centaines de ce nouveau
^- nombre, et ainsi de suite.
CARRâB
RACmB CARRÉS 251
En définitive, nous sonunes ramenés à extraire successivement les racines carrées des nombres 7, 749, 74986, ...., pour avoir le premier, les deux premiers, les trois premiers, chiffres de la racine, ce qui se fait en abaissant
à la suite de chacun des restes partiels la tranche de deux chiffres qui vient après la dernière employée. De cette façon, la portion de racine trouvée à un moment quelconque, représente les dizaines de la racine du nombre qu'on obtient en prenant une tranche de plus, et chaque chiffre de la racine, autre que le premier, représente au moment où on le cherche, le chiffre des unités de la racine du nombre actuellement employé. Ainsi la dernière tranche à gauche du nombre donné est 7, sa racine carrée est 2 et le reste 3 ; si Ton considère maintenant le nombre 749, le reste est 349 et le second chiffre de la racine est le chiffre des unités de la racine de 749 ; on Tobtiendra en divisant les 34 dizaines du reste par le double des dizaines de la racine, c'est-à-dire par 4 ; le quotient est 8 ; pour essayer ce chiffre, nous le plaçons à droite des quatre dizaines obtenues en doublant la racine, nous multiplions le nombre ainsi formé, 48, par
BAGINE GARREB
8 et nous obtenons 384, qui ne peut pas se soustraire de 349, donc le chiffre 8 est trop fort.
Nous essayons alors le chiffre 7 de la môme façon, et Tessai réussit ; le second chiffre de la racine est donc 7 et le reste, 20. Pour le nombre suivant, 74986, le reste est 2086 et s'obtient en abaissant la troisième tranche ; pour ce nombre, la portion trouvée à la racine, 27, représente les dizaines. On aura le chiffre des unités, c'est-à-dire le troisième chiffre de la racine, en divisant les 208 dizaines du reste par le double de 27 ou 54; le. quotient est 3, et ce chiffre essayé comme précédemment, est trouvé bon. Il n'y a plus qu'à continuer ainsi jusqu'à ce que toutes les tranches aient été abaissées successivement. > On peut introduire diverses simplifications dans l'écriture ; on peut se dispenser, par exemple, d'écrire deux fois le produit obtenu dans chaque essai ; on peut même ne pas récrire du tout et faire la multiplication ainsi que la soustraction de chaque essai en même temps. Pour former le double de la racine, à un moment quelconque, on peut remarquer que le double de la portion précédente a déjà été formé et qu'on lui a ajouté le nouveau chiffre ; il suffit donc de l'ajouter encore une fois pour avoir le double de la portion actuelle.
Si, dans l'une des divisions indiquées, le quotient surpasse 9, on peut l'abaisser immédiatement à 9, puisque ce quotient doit fournir un chiffre de la racine.
Si dans Tune des divisions indiquées, le quotient est 0, on écrit ce chiffre à la racine, à droite du reste employé on abaisse la tranche suivante, et on continue l'opération.
Règle. — Pour extraire la racine carrée d'un nombre entier quelconque, à une unité près^ on divise le nombre en tranches de deux chiffres, à partir de la droite, la dernière tranche à gauche pouvant ne contenir qu'un seul chiffre.
On extrait alors la racine carrée à une unité près du nom-
Ire formé par cette dernière tranche, on a ainsi le premier chiffre de la racine ; on retranche le carré de ce chiffre de la tranche employée, et, à droite de la différence obtenue, on abaisse la tranche suivante ; on a ainsi le premier reste.
On divise le nombre des dizaines de ce premier reste par le double du chiffre trouvé à laracine, et on a le second chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. Pour essayer ce chiffre y on le met à droite du double du premier chiffre de la racine, et on multiplie le nombre ainsi formé par le chiffre à essayer ; si le produit obtenu peut se retrancher du premier reste, le chiffre essayé est bon ; sinon on le diminue d'une unité, et on recommence Vessai, Lorsque l'essai a réussi, on abaisse à droite de la différence obtenue la troisième tranche du nombre ; on a ainsi le second reste.
On divise le nombre formé par les dizaines de ce reste par le double de la portion déjà trouvée à la racine, et on a le troisième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. On essaie ce chiffre comme précédemment, en le plaçant à droite du double de la portion déjà trouvée de la racine, et en multipliant le nombre ainsi formé par le chiffre à essayer ; si le produit obtenu peut se retrancher du second reste, le chiffre est bon; sinon on le diminue d^une unité et on recommence Vessai, Lorsque tessai a réussi, on abaisse à droite de la différence obtenue la quatrième tranche du nombre, et on a ainsi le troisième reste,
U opération se poursuit ainsi, toujours de la même façon, jusquà ce que toutes les tranches du nombre donné aient été abaissées successivement.
Si dans Vune des divisions indiquées, on trouve pour quotient 0, c\st le chiffre correspondant de laracine. Sion trouve pour quotient 10 ou un nombre plus fort, on rabaisse immédiatement ce quotient à 9,
Si, dans le but d'abréger les essais, on diminue le chiflre à essayer de plus d'une unité, on peut tomber sur un chiffre trop petit ; on sera averti de Terreur commise par ce fait que le reste partiel obtenu à ce moment sera plus grand que
254 RAGINB GARHÉR
le double de la porLion trouvée à la racine et si^osée exacte. En effet, à un moment quelconque, la portion tfwvée à la racine doit être la racine carrée à une unité près cNl nombre formé par un certain nombre de tranches prises sur la gauche du nombre donné. Désignons par B ce nombre, par a la portion trouvée à la racine et supposée trop petite ; alors la racine est au moins a + 1 et Ton a
BXa4-i)'>«».
Donc B — a* est au moins égal à (a-|-l)' — a*, c'està-dire à 2a-*-i; mais B — a" est le reste partiel que Ton vient d'obtenir ; donc, etc.
Enfin, il est facile d'avoir une limite supérieure du nombre des essais à faire dans chaque cas. A tout moment le chiffre que Ton cherche est le chiffre des unités de la racine carrée à une unité près d'un nombre B formé par un certain nombre de tranches prises sur la gauche du nombre proposé A ; si donc on désigne par a la portion déjà trouvée à la racine et par b le chiffre des unités de cette racine, on a
B = (iOa4- ô)* 4- r = 100a«^ 20flr* + (>« -h r ;
le reste que l'on vient d'obtenir est donc
B — 100a* = 20aft -+- ft> + r ;
or on obtient le chiffre à essayer en divisant le reste partiel obtenu par le double du nombre formé par les dizaines de la racine, c'est-à-dire par 20a, et en abaissant à 9 ce quotient, 8*il surpasse 9; ce nombre est la partie entière du
quotient -— = 6-4- ----- — » il surpasse b de
la partie entière de -rrr — Le maximum de r est ^ 20a
2(i0a -f- b) ; on a donc
râginb câbréb 255
Ce dernier nombre est égal à 1 + '^ etsaplushaute
valeur s'obtient en faisant 6 = 9 et a = 1 ; on trouve ainsi 6. Donc le nombre trouvé surpasse le véritable chiffre d'au plus 6 unités.
Mais dans le cas que nous venons de signaler il n'y a justement aucun essai infructueux à faire, puisque le vrai chiffre est 9, le quotient trouvé, 14, et que ce quotient doit être rabaissé à 9. Laissons alors à a sa plus petite valeur, 1, et donnons à h successivement les valeurs 8, 7, 6, 5, ....; nous voyons que le quotient trouvé surpasse b d'au plus
5, 4, 3, 2, unités, ce qui donne 1, 2, 3, % essais à
faire. Le nombre maximum des essais infructueux est donc 3 et on l'obtient parfois pour 6 = 6 et a = i.
Exemple : Extraire la racine carrée à une unité prés 6^^288. La racine est 16 ; le chiffre 6 n'est obtenu qu'après trois essais.
132. Preuve de la racine carr6e. — De tout ce qui précède, il résulte que la racine carrée a pour but de décomposer un nombre entier en deux parties : Tune, le carré d'un nombre entier, a ; l'autre, un nombre entier, r, au plus égal au double de la racine. Si donc on désigne par A un nombre entier donné, l'opération actuelle est définie par
l'égalité
Pour vérifier une opération particulière, on élèvera la racine au carré, on ajoutera au résultat le reste de l'opération et on devra retrouver le nombre donné, A. Si cela est, il y a de fortes présomptions pour que l'opération soit exacte. Si cela n'est pas, on ne peut rien affirmer, car les erreurs commises peuvent aussi bien se trouver dans les opérations de vérification que dans l'opération elle-même.
On peut procéder autrement, en prenant les restes des divers nombres, par rapport à un module quelconque, mais
simple, 9 ou 11, par exemple. Par rapport au module 9, on a successivement
A =mult. 9-HA', (A' < 9)
a =mult. 9 + a'; (a' < 9) d^où a« = mult. 9 + a'»,
et r =mult. 9 4-r'; (r' < 9)
Tégalité précédente devient donc
mult. 9 + A' = mult. 9 -h a'* 4- f',
et celle-ci nous montre que A' est le reste de a'* + r' par rapport au module 9.
On prendra donc les restes du nombre donné, de la racine et du reste de l'opération par rapport au module 9 ; on vérifiera que le carré du second augmenté du troisième donne pour reste le premier, relativement au module 9.
Les deux méthodes de vérification indiquées, appliquées à Texemple traité antérieurement, réussissent toutes deux et nous permettent de croire à l'exactitude de l'opération. Ainsi le carré de 273836 est 74986154896, et ce nombre, ajoutéaureste,201228, donne lenombreproposé 74986356124. D'autre part, le reste du nombre proposé par rapport au module 9 est 1, celui de la racine est 2 et celui du reste, 6 ; on a ensuite 2 X 2 4-6 = 10, dont le reste est 1, ce qu'on devait trouver.
133. Racine carrée à une unité près â*un nombre fractionnaire ou décimal quelconque. — On appelle racine carrée à une unité près d'un nombre fractionnaire ou décimal quelconque, A, la racine carrée du plus grand carré entier conîenu dans le nombre proposé (n° 130).
Il est facile de voir que la racine cannée de K à une unité près est la même que celle de sa partie entière, B ; en effet, on a A = B H- /*, f désignant une fraction ou un nombre fractionnaire inférieur à 1; d'autre part, si a désigne la
RACINE GARHÉB 257
racine carrée à une unité près de B, on a
• fl«<B<(a4-i)«; donc a* est plus petit que B + f; enfin (a-hl)" étant au moins égal à B + i, est supérieur à B + A On a donc finalement la double inégalité
qui montre que a est la racine carrée à une unité près de A.
Le reste de l'opération est A — a".
Exemples : La racine carrée à une unité près du nombre 8657,485 est la môme que celle de 8657 ; elle est égale à 93, et le reste est 8,465. De même la racine carrée du nombre 865784,3278 est la même que celle du nombre 865784, et le reste est 884,3278.
134. Propriétés relatives à la racine carrée . — Le nombre des chiffres contenus dans la racine carrée à une unité près d'un nombre entier quelconque est égal au nombre des tranches de deux chiffres qu'il contient^ le nombre étant parcouru de droite à gauche et la dernière tranche à gauche pouvant n'avoir qu'un seul chiffre.
Cette propriété résulte évidemment de la fagon dont se fait l'opération ; mais elle peut aussi se démontrer directement. Soit en effet n le nombre des tranches que contient l'entier A ; le nombre A est au moins égal au plus petit des nombres de n tranches, 100"-*, et il est inférieur au plus petit nombre de n + 1 tranches, lOO'»; on a donc
ou iO*('*-*)< A<10«».
Or la racine carrée de 10^* est 10*, d'après les règles de calcul des exposants ; donc la racine carrée de A est au moins égale à 10**-* et elle est moindre que 10». Elle a donc n chiffres.
ARXTHM. HUMB. 17
BÀCINB CARRÉK
Le carré d'un nombre fractionnaire irréductible est un autre nombre fractionnaire irréductible dont les deux termes sont des carrés parfaits.
Car si ^ désigne un nombre fractionnaire irrédnclible, b
son carré est -^, d'après la règle de multiplication des
nombres fractionnaires (n« 109). Orce nouveau nombre est irréductible, puisque les facteurs premiers différents dé a* et 6* sont les mêmes que ceux de a et b, et que ceux-ci n'ont aucun facteur commun.
11 résulte de là que :
Si un nombre entier n'est pas un carré parfait, il n'est le carré d'aucun nombre fractionnaire , Si les deux termes d*un nombre fractionnaire irréductible ne sont pas des carrés parfaitSy le nombre lui-même n'est le carré d'aucun nombre entier ni fractionnaire.
Il n'y a qu'à supposer réalisées les hypothèses rejetées dans ces deux énoncés, pour s'apercevoir de leur inexactitude.
Si Ton donne un nombre fractionnaire quelconque, -^i
irréductible ou non, on verra de suite si c'est un carré en le
, a ab .
réduisant au dénominateur b^; on aura amsi "T == "ir ' ^^
ab devra être un carré parfait. En effet, le nombre -v-> réduit
à sa plus simple expression, devra avoir pour termes deux carrés parfaits; on aura donc a = Aa^, b = /p^^ «2 et p* étant les termes du nombre réduit à sa plus simple expression et k un certain entier, et dès lors : ab = /:*a«p*, ce
RACIKB CARRÉE 259
qui prouve le fait énoncé. D'ailleurs, il est évident que si
a ah est un carré parfait^ le nombre -^ est aussi un carré
parfait, puisque ce fait est manifeste sur le nombre égal ab
Par conséquent^ suivant que ab est ou n'est pas un carré
parfait, le nombre — est ou n'est pas lui-même un carré,
que ce nombre soit ou ne soit pas réduit à sa plus simple expression.
