Valeurs approchées d'une racine carrée. — On

appelle racine carrée à —r— près d'un nombre entier ou fractionnaire quelconque le plus grand nombre décimal formé d'unités du n* ordre décimal et dont le carré soit inférieur au nombre donné ou égal à ce nombre.

Si nous désignons par -77-— ce nombre et par A le nombre donné, nous aurons, d'après la définition précédente,

Multiplions les trois nombres qui figurent dans ces inégalités par 10^« ; nous aurons les deux inégalités suivantes :

qui expriment que x est la racine carrée, à une unité près, du nombre AxlO*«.

2G0 RAGINB CARRÉE

* Donc, pour avoir la racine carrée de k à -— prèSy on muU

tiplie le nombre donné par iO'**, on prend sa partie entière, et l'on extrait la racine carrée de ce nombre entier à une unité près, puis on divise cette racine par 10".

Les deux nombres r-r- et ,^ que Ton obtient par ce

procédé s'appellent les valeurs approchées par défaut et par

excès à 77- près de la racine carrée du nombre donné, A.

Si A est un nombre décimal, il suffit, pour obtenir la valeur approchée par défaut, d'avancer la virgule de 2n rangs vers la droite, et d'extraire la racine carrée du nombre entier ainsi formé, à la façon ordinaire, en plaçant toutefois une virgule à droite du chiffre qui termine la racine carrée du nombre donné à une unité près : la multiplication du nombre donné par 10'" et la division de la racine par 10» se trouvent faites en même temps. Si A n'est pas un nombre décimal, on peut toujours le considérer comme tel : s'il est entier, on met autant de zéros que l'on veut à droite de la virgule; s'il est fractionnaire, on le développe en décimales, et on obtient ainsi autant dé chiffres décimaux que l'on veut, ce qui permet d'avancer la virgule de 2» rangs vers la droite, et, par suite, d'avoir la partie entière du produit de A par 10*».

Dans la pratique, lorsqu'on veut avoir les valeurs appro- . chées par défaut de la racine carrée d'un nombre donné, on développe le nombre A en décimales, si cela est nécessaire ; on poursuit ce développement aussi loin que l'on veut, soit à l'aide de zéros, s'il est limité, soit à l'aide de la période, s^il est illimité, et l'on extrait la racine carrée du nombre ainsi formé, à la façon ordinaire, comme si on voulait obtenir la racine carrée à une unité près, c'est-àdire en ne considérant d'abord que les tranches de la partie entière ; puis cela fait, on met une virgule à droite du chiffre des unités de la racine, et l'on continue l'opération

RACINE GARRÉf: %t

toujours de la même façon, en abaissant à chaque fois deux chiffres décimaux à droite du reste obtenu, de telle sorte que la partie décimale soit ainsi régulièrement parcourue de gauche à droite. Si Ton s'arrête au n« chiffre décimal,

on a la valeur approchée de la racine à — prés et par défaut.

Nous sommes donc encore ici en présence d'une opération, en général illimitée, et qui donne lieu, comme le dé-

veloppement de — en décimales, aux remarques sui-

vantes :

i* Les valeurs approchées par défaut d'une racine carrée, à une unité près, à un dixième près, à un centième près, etc., forment une suite croissante, dont chaque terme se déduit du précédent par l'addition, sur sa droite, d'un nouveau chiffre décimal, qui peut être nul. Deux valeurs approchées par défaut et consécutives peuvent être égales. Elles seront toutes égales, à partir d'un certain rang, si le développement est limité.

2® Les valeurs approchées par excès forment une suite décroissante, dont chaque terme se déduit du précédent, en lui enlevant une unité du dernier ordre décimal écrit et m lui ajoutant une unité, au moins, 10 unités, au plus, de l'ordre décimal suivant. Deux valeurs approchées par excès et consécutives peuvent être égales. Il n'arrive pas, dans l'opération actuelle, que toutes les valeurs approchées par excès soient égales.

3* Si l'on connaît une valeur approchée par défaut quelconque, on aura celles qui la précèdent, en supprimant des chiffres décimaux sur sa droite.

4° Si l'on porte sur une droite, à partir d'un même point, 0, et dans le même sens, vers la droite, par exemple, des longueurs OAi, OAa, , OAn, , mesurées par les valeurs approchées par défaut, et des longueurs OB,, OB2, , 0B„, , mesurées par les valeurs approchées par

excès, le point mobile qui décrit Tensemble des points An, marcho de gauche à droite, quand n augmente, et celui qui décrit Fensemble des points Bn, marche de droite à gauche ;

1g premier point est toujours à gauche du second et la distance qui les sépare tombe au-dessous de toute longueur donnée à l'avance, quand n est assez grand, car cette distance, ÂnBn, a pour mesure — * On voit donc qu'entre les deux ensembles de points, il ne peut y avoir qu'un seul point de la droite, A ; on admet que ce point existe ; on le nomme point-limiie commun aux ensembles An et Bn ; et ^ la longueur qu'il définit nous servira plus tard à définir la racîae carrée exacte du nombre donné.

Si les valeurs approchées par défaut sont toutes égales, à partir d'un certain rang, n = A, c'est le dernier des points An, le point Aa, qui est le point-limite de l'ensemble des B„.

Le développement actuel en décimales est très différent de celui que l'on a rencontré dans la réduction d'un quotient en décimales. Ici on ne connaît pas la loi de formation du développement et ce développement ne peut être poursuivi indéfiniment ; en d'autres termes, il est impossible de donner la valeur du jo« chiffre décimal, tant qu'on n'a pas fait Topération jusque-là.

Tout développement décimal, quelle que soit sa source, conduit à des remarques analogues, sauf en ce qui concerne les valeurs approchées par excès, qui peuvent être toutes égales à partir d'un certain rang.

Comme exemple, nous donnons ici le calcul de la racine

carrée du nombre décimal 3,14159265358979323846 , à

une unité près du 10* ordre décimal.

RA.CINB CABRÉS

Dans cet exemple, les calculs auxiliaires sont réduits au minimum.

Les valeurs approchées par défaut sont 1, 1,7, 1,77,