la 9* et la 10* sont égales

Les valeurs approchées par excès sont 2, 1,8, 1,78,

1.772453851, 1,7724538510, .... ; la 10» et la 11» sont égales.

On peut se proposer aussi de calculer les yaleurs approchées de la racine carrée d'un nombre A, à - près > • étant un nombre fractionnaire quelconque. Pour cela, il

faut trouver un nombre entier op, tel que le carré de —

264 RACINE GARRÉB

soit inférieur à A ou égal à ce nombre, et tel que le carré

de ^ ' soit supérieur à A. Le nombre entier x doit

donc être déterminé par la double inégalité

m -,ar«<A<^(a?-t-r;«.

En multipliant ces trois nombres par -^i on obtient la double inégalité

qui montre que x est la racine carrée à une unité près

Ao* du nombre — ^- Donc

Pour avoir la racine carrée (Tun nombre. A, d — près^ on

multiplie ce nombre par le carré du nombre fractionnaire renversé f on prend la partie entière du produit, on extrait la racine carrée de cette partie entière à une unité prèSy et on mul*

tiplie le nombre ainsi obtenu par —

* 136. Résidus et non-résidus quadratiques n* —Par rapport à un module donné, m, tous les nombres entiers peuvent se distribuer en classes: chacun d'eux est de la forme a -h km, h étant un certain nombre entier, positif, négatif ou nul, et a,

Tun des nombres entiers plus petits que m, 0, J , 2, , m — i .

Le carré de ce nombre est a'^+^akm-hh'^m^ ; il ne diffère de a* que par un multiple de m, et, par suite, le reste qu'il donne par rapport au module m, est le même que Je reste de rt*.

On peut donc remplacer tout nombre entier, au point de vue

[*) M. A. Matrot, ingénieur en chef des mines, a préparé une brochure fort Ltilércssante sur la théorie élémentaire des résidus quadratiques et dont je me suis inspiré dans les notions que je donne ici. Voir aussi les Recherches arithmétiques de Gauss (section quatrième).

RÀCINB CARRÉB 265

^ dn reste que fournit son carré relativement au module m, par le I nombre qui lui est congru suivant le module et qui est plus petit que le module.

Nous aurons donc les divers restes des carrés, par rapport à un module quelconque m, en considérant les nombres inférieurs

à m, 0, i , 2, , m — 1, les élevant au carré et prenant les

restes des résultats obtenus. Le premier de ces nombres, 0, correspond aux multiples de m et donne pour reste 0 ; nous ne le considérerons pas. Le second donne pour reste 1. 11 est facile de voir que les nombres

ne donnent pas des restes tous différents les uns des autres. Considérons en effet un nombre a, au plus égal à -^, si m est pair,

à — - — , si m est impair, et prenons son complément au mo-

dule, m — a; les deux nombres a et m — a ont pour carrés a* et m' — 2ma 4- a', et ceux-ci ont le même reste, par rapport au module m. Il résulte de là que les seuls. nombres de la

suite 1 , 2, 3, , m — J , dont les carrés peuvent fournir des

restes différents, sont les nombres

I, 2, 3, , Y» si m est pair,

4, 2, 3, , — 5 — > SI m est impair.

Mais ces nombres eux-mêmes, lorsque m n'est pas premier, ne donnent pas toujours des restes de carrés distincts.

Cela posé, tout nombre iîiférieur à m, et obtenu comme reste

de carré, par rapport à ce module, se nomme un résidu quadra^

tique de m ou simplement un résidu de m. Les autres nombres,

l inférieurs à m, se nomment des non-résidus qtiadratiques ou

simplement des non-résidus de m.

Le nombre des résidus de m est au plus -jy bï m est pair,

î au plus — 5 — > si m est impair. Le nombre des non-résidus

est au moins -q- — 1> dans le premier cas, au moins — ^ — ,

> dans le second.

^ Cette relation d'un nombre entier, a, à un autre nombre en-

^ lier, m, s'exprime par Tune ou l'autre des notations a = R(m), a = Rw, ou simplement aRm, si a est résidu de m, et

e ; par a = N(m), a = Nm, aNm, si a est non-résidu.

i*^ Si le nombre a est résidu, la congruence x^ s a(mod.m) a

^ des solutions entières ; sinon, elle n'en a pas. Lorsque cette con-

gruence a une solution, elle en a au moins deux, à moins que m

ne soit pair, et que la solution ne soit — ; car en désignant par a

ime racine de cette congruence, on voit que m — a est aussi racine, puisque les deux carrés, a* et (m — a)*, donnent le même reste ; d'ailleurs, ces deux nombres ne sont égaux que si m

Pour former les résidus d'un nombre m, on forme donc les carrés des nombres 1, 2, 3, , -^ » si m est pair, les carrés

des nombres 1, 2, 3,.

f si m est impair, et on prend

leurs restes par rapport à m. Ceci se fait en partant de 1,

et en ajoutant successivement les nombres impairs 3, 5, 7,

[n^ 130), et en retranchant à chaque fois du résultat le nombre m, si cela se peut. Si m est pair, le dernier nombre

employé est -^ et peut s'écrire (g- — 1 ) + 1 ; son carré est

iî-')Hî-'h' »" (f-')"+»-''

Jes opérations seront donc terminées quand on aura ajouté le nombre impair immédiatement inférieur au module. Si m est impair et égal à 2n-4-l, le dernier nombre employé est n, et peut s'écrire (n — 1) -+- 1 ; son carré est (n — 1 )» + 2 (n — 1 ) + 1 ou (n — 1 )' 4- 2n — 1 ; les opérations seront donc terminées quand on aura ajouté le nombre impair immédiatement inférieur aa module.

Exemple. — Trouver les résidus de 10. Les résidus de 10 sont donnés ainsi : 1, 1 et 3, 4, 4 et 5, 9, 9 et 7, 16 ou 6, 6 et 9, 15 ou 5. Ce sont donc les nombres 1, 4, 5, 6, 9. 11 y a ici

^ = 5 résidus et -^ — 1=4 non-résidus, 2, 3, 7, 8.

Trouver les résidus de 21 . On a d'abord I , puis 1 et 3, 4, 4 et 5, 9, 9 et 7, 16, i6 et 9, 25 ou 4, 4 et 11, 15, 15 et 13, 28 ou 7, 7 et 15, 22 ou I, 1 et 17, 18, 18 et 19, 37 ou 16. H y a 7 résidus, I, 4, 7, 9, 15, 16, 18, et 13 non-résidus, 2, 3, 5, 6, 8, 10, H, 12, 13,14,17,19,20.

Nous donnons ici une table des résidus de tous les nombres entiers, depuis 2 jusqu'à 20.

RAGINB GARR^

DDULES