R6S1DUS

Pour aucun de ces nombres nous n'avons écrit le résidu 0. 11 suffît de jeter les yeux sur cette table pour apercevoir que certains des modules ont leur nombre maximum de résidus et que cela n'arrive pas pour tous.

Nous allons terminer ce paragraphe par quelques propriétés générales et très simples concernant les résidus.

1° 5» m désigne un nombre impair de la forme 4n-+-i, les résîdtcs s'obtiennent en formant les carrés des nombres

1, 2, 3, , 2n et prenant les restes de ces carrés par rapport

au module m. Le dernier des résidus est 3ii+ 1, et on déduit de celui-ci tous les autres en ajoutant successivement les nombres

pairs 2, 4, 6, , et en retranchant à chaqt^ fois du résultat le

module, si cela se peut.

En effet, les deux nombres 2n et 2n -h 1 sont complémentaires au module ; donc leurs carrés donnent le même reste. Or, on a

donc le reste de ce carré, par rapport au module, 4» H- 1, est 3n -f- 1 . D'autre part, le nombre de la première moitié, qui en a [i après lui, peut se remplacer par son complément au module, qui fait partie de la sieconde moitié et qui en a \k avant lui, c'est-à-

268 RACINE €ARRÉB

dire par 2n H- 1 -h fi. Le carré de celui-ci est

{2n + jx)> + 2(2»-4-fi) + i ou (2n + fji)a + 4n 4- 1 +2|i;

il est donc congru au carré du nombre précédent, augmenté de 2fJi. On voit donc que si on parcourt les résidus en sens inverse de Tordre primitivement adopté, en partant de 3n-+-4, on aura le résidu suivant en ajoutant 2 à celui-ci, puis le suivant en ajoutant 4 au nouveau, etc., et en retranchant le module du résultat obtenu^ quand cela se peut.

Il y a donc deux moyens d'obtenir les résidus de m = 4n -*- 1 : î® partir de i et ajouter successivement les nombres impairs

3, 5, 7, ; 2® partir de 3»-+- 1 et ajouter successivement

les nombres pairs 2, 4, 6, ; chaque résultat, bien entendu,

étant ramené au-dessous du module, par la soustraction de ce module, s'il y a lieu.

2* Si m est un nombre impair de la forme 4n + 3, les résidus

s*ohtiennent en formant les carrés des nombres 1,2,3, 2n4-1,

et prenant leurs restes par rapport au module va. Le dernier de ces résidus est vl-^ \, et tous les autres peuvent se déduire de

celui-ci, en ajoutant successivement les nombres pairs 2,4, 6, ,

et retranchant à chaque fois du résultat le module, si cela se peut.

En effet, le carré du dernier de ces nombres, 2n-4-l, est 4n' -H 4n -4- 1 = n(4n + 3) + n -H 1 ; le reste de ce carré, par rapport au module 4n -h 3, est donc n -^ 1. D'autre part, le nombre qui vient fx rangs avant 2» -h i est 2» + 1 — fi ou 2n -f- 2 — fx — 1 ; son carré est

(2n4-2— fx)»— 2(2n4-2--fx)4-l=(2n-^2 — fi)«— (4n-f-3)-t-2fx;

il est donc congru au carré du nombre qui vient après celui que Ton considère augmenté de 2tx. Si donc ou parcourt les résidus en sens inverse du sens adopté antérieurement, le premier de tous est n+ 1, le second s'obtient en ajoutant 2 à celui-ci ; le troisième, en ajoutant 4 au nouveau résidu, etc., et en retranchant du résultat, le module, quand cela se peut.

11 y a donc encore ici deux moyens d'avoir les résidus de m = 4n H- 3 : 1® partir de 1, et ajouter successivement les nombres impairs 3, 5, 7, ; 2® partir de n-f- 1 et ajouter successivement les nombres pairs 2, 4, 6, ; chaque résultat,

bien entendu, étant ramené au-dessous du module, par la soustraction de ce module, s'il y a lieu.

3® On établira d'une façon aussi aisée que si m est simplement pair (le double d^un nombre impair), le dernier des résidus obtenus

par le procédé habituel est —, et que les autres se déduisent de

celui-ci par V addition de 1, puis de 3, puis de 5, etc. ; si m est

RACIKB CARRÉB 269

doublement pair {multiple de 4), le dernier des résidus obtenus par le procédé habituel est 0, et que les autres se déduisent de celuici par r addition de i, puis de 3, puis de b, etc. Dans ce dernier cas, la suite des résidus est donc réversible : chacun d'eux se reproduit au moins deux fois, à égale distance des extrêmes. Bien entendu que Ton ramène chacun des résultats au-dessous du module, par la soustraction du module, sHl y a lieu, et que Ton écrit les résidus tek qu'on les trouve, sans altérer leur ordre, et sans craindre de les répéter plusieurs fois.

Exemples: Les résidus de 10 sont les restes des carrés des nombres 1, 2, 3, 4, 5. Ce sont

Si on les écrit dans l'ordre inverse, 5, 6, 9, 4, 1, on a 6 = 5-f- 1 , 9=6-1-3, 4ouI4 = 9-h5, lou2l = 14 + 7.

Les résidus de 20 sont les restes des carrés des nombres 1, 2, 3, 4, o, 6, 7, 8, 9, 10. Ce sont

On voit bien qu'en supprimant le dernier résidu, 0, ce qu'il ne faut du reste Jamais oublier, la suite est réversible.

4® En désignant par m un nombre entier quelconque autre que 3, 4 et 9, il y a toujours dans la seconde moitié de l'ensemble

1, 2, 3, , m — 1, c'est-à-dire parmi les nombres — 5 — >

— 5 — , , m — 1, si m est impair ^ ou parmi les nombres

mm.. j . . . 1

•5-, ■S'-Hl» y "^ — 1> SX va est pair, au moins un carré.

Supposons m impair et désignons par h la racine carrée à

une unité près de — 3 — ; nous aurons

et tout revient à montrer que (^+1)* est inférieur à m. Or (A + 1)« = A« -f- 2A -I- 1 , et ^» ne dépasse pas ^^î^^ ; il suffit

donc d'établir que 2h + 1 est inférieur à l'autre portion de m,

w-l-1 ,..1 .^T . m-hi -f^w — i

-; on doit donc avoir 2A 4- 1 < — s — ou A < — -, —

ou h^ < - — ri— ^ • Mais ceci aura nécessairement lieu si

lu

' -— ^ surpasse — - — > puisque h^ ne dépasse pas ce nom-

bre. Le théorème est donc vrai pour tous les nombres impairs

270 RACINE GARRÉB

qui vérifient Tînégalité

(m^<)8 m— 1 16 -^ 2 ou ,»8 2in + l > 8m — 8

ou m«— I0m-f9>0;

Or cette inégalité peut s'écrire

elle a toujours lieu, dès que m dépasse 9. Pour m = 5 on m = 7, on a les suites

et le théorème est vrai. Pour m = 3 ou m = 9, on a les suites 1, 2 ; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, et le théorème est en défaut.

Supposons m pair, et désignons par h la racine carrée à une

unité près de â""* î nous aurons A*< -r-— 1 <{A-j- 1)'. On

doit donc avoir (^-hl)* < m, et, comme h'^ ne surpasse pas

|__4, 2^-hl<|-hl ou A<J, ^'<l5' Ceci aura

lieu nécessairement si — est plus grand que •§• — 1> c'est-àdire pour tous les nombres pairs qui vérifient l'inégalité

m» > 8m — 16 ou m2 — 8m-f.l6 >0.

Cette inégalité a toujours lieu, sauf pour m = 4, et, pour cette valeur, le théorème proposé est en défaut : la suite 1, 2, 3 ne renferme d'ailleurs aucun carré.

Si, dans le cas de m pair, on fait commencer la seconde moitié à ^ -+- 1, comme cela a déjà été fait dans ce qui précède,

le théorème énoncé est en défaut pour m = 2, m = 4, tn = 8. ' ' 11 résulte de ce théorème que, sauf les cas d'exception signalès, il y a toujours des résidus de m daris la seconde moitié de Veti-

semble 1, 2, 3, , m — 1. A ce nouveau point de vue, le ca3

de m = 9 cesse d'être exceptionnel, car 7 est résidu.

* 137. Résidus des modules premiers. -~ Nous laisserons de côté le module 2, car il est évident que les nombres inférieurs à

2 sont résidus ; on a, en effet, 0 a 4 s 16 s (mod. St) el

1 s 1 s 9 s 25 s .::.. (mod. 2).

Le nombre 0 est toujours résidu ; mais ce résidu particulier

RACINE CARRÉB 271

n*obéit pas aux mêmes lois que les autres, et, pour cette raison, H n'en sera pas plus question ici que dans ce qui précède.

Pour les modules premiers impairs, les seuls dont nous voulions nous occuper ici, le théorème suivant est fondamental :

Si p désigne un nombre premier impair, Vensemble des nom* bres inférieurs à t^ et non nuls, i, 2, 3, p — 1, contient

*— 5 — résidus et ^T" non résidus.

Nous avons vu que les carrés, i*, 2«, 3*, , \~I ) > <ion-

nent, par rapport au module i>^ les mêmes restes que y--â — ) »

( ^-g — j » , (p — 1 )•. Il suffit donc d'étudier les restes des premiers carrés et de montrer qu'ils sont distincts les uns des autres. A cet effet, considérons deux de ces carrés, a* et &', leur différence est \b — a)(& + a) ; elle n'est pas divisible par p, puisque chacun des facteurs qui la composent est inférieur k p (a ei b sont en effet deux nombres différents de la première moitié,

4,2,3,....,^-——); donc a* et 6» donnent des restes différents. «

Parmi ces résidus, il y en a toujours dans la seconde moitié de Tensemble 1, 2, 3, , p— 1, sauf pour p= 3. Si on remplace chacun de ceux-ci par son complément au module, affecté du signe —, on voit que les résidus d'un nombre premier p, sont

^—T — nombres positifs ou négatifs dont les valeurs absolues sont prises dans la suite 1, 2, 3, , ^-^ —

Z/C produit de deux résidus est un résidu ou est congru à un résidu .

Ce théorème est vrai pour un module quelconque, premier ou non premier ; soient en effet deux nombres quelconques a et &, pris parmi les résidus ; on a a a A^ (mod. m) et b ^ B^ (mod. .m) ; d'où ab s A^B^ (mod. w), ce qui démontre le théorème.

Le produit d'un résidu par un non-résidu est un non-résidu ou est congru à un non-résidu.

Le théorème actuel n'est pas vrai pour un module non premier. Ainsi 4 est résidu de 20, 6 est non-résidu et cependant le produit 6 X ^ == 24 est congru à 4, qui est résidu.

Supposons donc que le module, p, soit un nombre premier absolu, et désignons par r un de ses résidus. Il est facile de voir que les produits par r de tous les nombres de l'ensemble 1, 2, 3, , p — 1, les nombres, r, 2r, 3r, , (p— l)'*» sont in-

congrus suivant le module jp, c'est-à-dire ont des restes tous différents par rapport à ce module ; car deux d'entre eux, ar et &r, ont pour différence r[b — a), nombre non divisible par p, puisque chacun des deux facteurs qui le composent est inférieur

à p, et que p est premier. Les nombres r, 2r, 3r, , (p — i)r

sont donc congrus aux nombres 1, 2, 3, , p — 1, écrits dans

un certain ordre ; or, parmi tous ces produits, ceux de r par les

résidus de p donnent des résidus ; il y en a ^ ■ • les autres

donnent donc les non-résidus.

Conséqtœnce, — Les produits des non-résidus par un résidu quelconque sont donc respectivement congrus aux non-résidus, écrits dans un certain ordre.

Le produit de deuœ non-résidus est un résidu ou est congru a un résidu.

De même que le précédent, le théorème actuel n'est pas vrai pour un module non premier. Ainsi 6 et 7 sont non-résidus de 20; leur produit, 42, est congru à un non-résidu, 2.

Supposons donc que le module p soit un nombre premier absolu, et désignons par n un non-résidu de p. Nous montrerons aussi aisément que dans le raisonnement précédent que les produits par n des nombres de Tensemble 1, 2, 3, . . ., p — i, les nombres n, 2n, 3n, . . ., (p — l)n, sont incongrus suivant le module p, c'est-à-dire donnent pour restes les nombres 1, 2, 3, ..., p — i, écrits dans un certain ordre. Or parmi tous ces produits, ceux de n par les résidus donnent les non-résidus; les autres donnent donc les résidus.

' Conséquences, — Les produits des résidus par un non-résidu quelconque sont respectivement congrus aux non-résidus, écrits dans un certain ordre.

Les produits des non-résidus par un non-résidu quelconque sont respectivement congrus aux résidus, écrits dans un certain ordre.

De même, les produits des résidus par un résidu quelconque sont respectivement congrus aux résidus, écrits dans un certain ordre.

Si on considère un produit d'un nombre quelconque de facteurs, ce nombre est congru à un résidu ou à un non-résidu d'un nombre premier quelconque, p, suivant qu'il y a un nombre pair ou impair de ces facteurs congrus à des non-résidus de p.

Le produit de 2 par ^ est congru à un résidu; de même

le produit de — 2 par ^T^ . donc 2 et ^ sont rési-

RACINE GARRÉB

dus ou non-résidu8 en même temps ; de même — 2 et

sont de même espèce.

Table des résidus des modules premiers inférieurs à 100. Modules Résidus

A&ITHM. BUMB.

Modules

Résidus

i, 2, 4, 5, 8, 9, 10, li, 13, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 31, 32, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 49, 50, 51, 52, 55, 62, 64, 65, 67, 72, 73, 76

138. Du résidu —1. Résidus minima. — Si p est un nombre premier de la forme 4n 4- 1, ^—5 — = 2n; le nombre

des résidus est donc pair.

p — 1 Si p est un nombre premier de la forme 4n-i-3, '^--^=2n+l ;

le nombre des résidus est impair.

Gela posé, rappelons que si, dans l'ensemble 1, 2, 3, ..., p — 1, on met à part les deux nombres 1 et i> — 1, les autres nombres, 2,3, . . . , p — 2, peuvent être associés deux à deux de façon que chaque couple de nombres associés, a et a', vérifie la congruence oa' s 1 (mod. p) (n° 99).

Deux nombres associés, a et a', ont pour produit un nombre congru à un résidu; donc ils sont de même espèce, c'est-à-dire tous deux résidus, ou tous deux non-résidus (n® 137).

11 suit de là que dans Tensemble 2, 3,' . . ., p — 2, il y a un nombre pair de résidus et aussi un nombre pair de non-résidus. Or des deux nombres qui restent, 1 et p — 1, le premier est toujours résidu. Si donc p a un nombre pair de résidus, p — 1 ou — 1 est résidu ; sinon, ce nombre est non-résidu.

Réciproquement, si — 1 est résidu d'un module premier p, ce nombre a un nombre pair de résidus, 1 et — \ ou p — 1, d'abord, puis ceux de Tensemble 2, 3, . . . , p — 2 ; si — 1 est non-résidu, le module p a un nombre impair de résidus. Dans le premier cas, p est de la forme 2X2» + 1 ou 4n-t-i, et, dans le second, p est de la forme 2(2n -*- 1) -h 1 ou 4n H- 3. j Nous pouvons maintenant énoncer le théorème suivant, qui est très important:

RAGINB CARRÉS 275

Le nombre — i ou son équivalent p ~ 1 est résidu de tout nombre premier , p, de la forme 4n + i> ^t non-résidu de tout nombre premier, p, de la forme 4n-4-3. Et réciproquement.^

Ce théorème va nous permettre d'écrire les résidas d'un modale premier p d'une manière plus simple que celle adoptée jusqu'ici, et ya nous conduire ainsi à d'importantes propriétés. Partageons l'ensemble 1 , 2, 3, . . . , 1> — i en deux moitiés

1,2,..., ^-y- et ^^-j- » ^-^—,..,11 — 1; nous savons

que dans la seconde moitié, sauf pour p = 3, il y a [toujours au moins un résidu ; chacun de ces résidus est plus grand que la moitié de p; il peut se remplacer par son complément à p, précédé du signe — . Si nous agissons ainsi, nous obtiendrons les résidus quadratiques de p, avec les plus petites valeurs absolues qu'ils peuvent avoir, et nous voyons que les résidus quadratiques de p sont des nombres ou tous les nombres de l'ensemble

1, 2, 3, ..., ^ g » affectés respe,ctivement soit du signe +,

soit du signe — , soit de ces deux signes.

Mais si p est de la forme 4n+i, ^i est résidu, le produit de — 1 par a est résidu ou non-résidu, en même temps que a, les deux nombres + a et —a sont donc toujours de même espèce. Parmi les résidus ne Ogurent donc que certaines

des valeurs absolues 1, 2, 3, . . ., ^--^— » chacune avec les

deux signes.

Si, au contraire, p est de la forme 4n + 3, — 1 est nonrésidu, et les deux nombres a et —a sont toujours d'espèces

différentes. Parmi les nombres de l'ensemble, 1, 2, 3, . . . , ^-y~ '

le même nombre ne figure qu'une fois comme résidu, avec l'un

ou l'autre des signes -4- ou —, de sorte que les 2— — résidus

sont ces nombres eux-mêmes, affectés respectivement, soit du signe H-, soit du signe — .

Exemples. — Les résidus de 29 sont -f- 1, — 1 , -h 4, — 4, 4-5, — B, -f-6, —6,-1-7, — 7,4-9,-9,-1- 13 et— 13.

Les résidus de 31 sont 1, 2, —3, 4, 5, —6, 7, 8, 9, 10, — 11, — 12, — 13, 14, — 15.

Totêt nombre premier , p, de la forme 4n-|-l, divise une somme de deuas carrés y premiers entre eux.

Nous venons de voir, en effet, que, pour tout nombre premier, p, de cette forme, le nombre — \ est résidu. On a donc 1* s 1 (mod. p), a' s — 1 (mod. p),

276 RACINE GARRÉB

et, par suite,

a* + i ss 0 (mod. p).

Tout nombre premier, p, de la forme 4n + 3, divise me somme de trois carrés^ premiers dans leur ensemble.

Les résidas d'un pareil nombre sont, en effet, les nombres de la suite

affectés tantôt du signe +, tantôt du signe — . Le premier de ces résidus est + 1 , et il y en a sûrement, sauf si p = 3, qui ont le signe — ; donc il y a certainement deux résidus consécutifs, dans ce nouveau mode de représentation, tels que le premier ait le signe -+-, et le second, le signe — . Soient alors a et — a — 1 ces deux résidus ; ils fournissent les deux congruences a^ ^ a, (mod. p),

ô« s — a — 1 (mod. p) ; d'où l'on déduit, par voie d'addition,

a« H- &« s — 1 (mod, p), ou a* + &• H- 1 s 0 (mod. p).

Lorsque p=3, on a p = H-l-f-*; le théorème est donc encore vrai.

Le nombre premier 2, qui n'est compris dans aucune des deux formes précédentes, est une somme de deux carrés, 2 = 1-1-1.

* 139. Grltérii^us d*Euler et de Gauss. — Soit p un nombre premier impair, p = 2A-hl; nous avons vu que dans l'ensemble 2, 3, . . . , p — 2, il y a un nombre pair de résidas qui sont deux à deux des nombres associés, puisque 1 et p — 1 ^ — 1 sont deux autres résidus si h est pair, et que i est le seul autre résidu si h est impair. Cela rappelé, désignons par A le produit de tous 1(^ résidus d'un nombre premier impair, p, et par B le produit des non-résidus.

A contient d'abord un produit de couples de nombres associés, puis le facteur i, si A est impair, et les deux facteurs 1 et — i, si A est pair ; on a donc A s 1 (mod. p), si h est impair, et A BB — 1 (mod p), si h est pair. De même, B est un produit de couples de nombres associés, si h est pair, et c'est un pareil produit, multiplié par — 1, si A est impair ; on a donc B s — l (mod. p.) si h est impair, et B ^ 1 (mod. p), si h est pair. Dans tous les cas, on a A a — B (mod.p) ou A + B a 0 (mod. p)j et aussi ABs — i ou AB-+-i s0(mod. p). Cette seconde congruence a déjà été établie fno 99) et n'est pas autre chose que la traduction du théorème de Wilson.

BAGIMB GARREB 277

Si nous considérons alors un résidu quelconque de p, r, Içs produits de tous les résidus de p par r sont respectivement congrus aux divers résidus de jp, écrits dans un certain ordre ; de même, les produits de tous les non-résidus de p par r sont respectivement congrus aux non-résidus de p, écrits dans un certain ordre (n« 437). Multiplions entre eux tous les produits de première espèce, nous aurons Âr^ a A (mod. p), Ih =^"I" j;

multiplions de même entre eux tous ceux de seconde espèce, nous aurons hr^ a B (mod. p). Ces deux congruences peuvent s'écrire A(r* — 1) = mult. p, et B(r* — 1) = mult, de ip ; comme A et B sont des produits de nombres inférieurs à pi ils sont tous deux premiers avec p, et Ton est conduit, aussi bien par Tune que par l'autre de ces égalités, à affirmer que r* — 1 est divisible par p^ ou que r* si (mod. p).

Considérons maintenant un non-résidu quelconque de p, n ; les produits de tous les résidus de p par n sont respectivement congrus aux non-résidus de p, écrits dans un certain ordre ; en multipliant tous ces produits entre eux on a donc An^ s B (mod. p) ; les produits de tous les non-résidus de p par n sont respectivement congrus aux résidus de j9, écrits dans un certain ordre ; on a donc Bn* a A (mod. p.). Or B a — A (mod. p) ; les deux congruences obtenues peuvent donc s'écrire

An* s — A (mod. p) et Bn* s — B (mod. p).

Comme  et B sont premiers avec p, chacune d'elles entraîne la congruence n* ^ — 1 (mod. p) .

Réciproquement, si un nombre entier e, inférieur à p, satisfait à la congruence e* s 1 (mod. p)^ il est résidu de p ; s'il satisfait à la congruence c* ai — 1 (mod. p), il est non-résidu de p. En effet, dans le premier cas, e ne peut pas être nonrésidu, sans quoi on aurait à la fois e* a I , e* ^ — 1 (mod. p) ; d'où 2 s O(mod. p)» ce qui ne peut arriver que pour le nombre premier 2, cas exclu. Un raisonnement analogue s'applique au second cas. Nous pouvons énoncer maintenant le théorème que voici :

Critérium d'Euler.— On reconnaît qu'un nombre entiers, inférieuf à p, nombre premier impair, est résidu ou non-réstdu de p,

suivant que Von a e ^ s 1 [mod, p) ou e * a — i (mod. p).

Le nombre 0, considéré comme résidu, ne satisfait pas à ce théorème. Les théorèmes concernant les produits de résidus et de non-résidus, n'auraient de même aucun sens, si on les appliquait à l'ensemble total des nombres entiers inférieurs à p, 0 compris. Car tout produit qui contient le facteur 0 est nul et devrait être regardé comme un résidu.

Ce que nous venons de dire suffit pour faire comprendre pour- 'quoi le résidu 0 a été exclu des considérations antérieures.

Occupons-nous maintenant d'un second critérium dû à Gauss.

Ce critérium s'obtient sans peine en partant de la remarque suivante : Si p désigne un nombre premier impair et e un entier

plus petit que p, les produits par e des nombres 1, 2, 3, ,

> ont des restes différents relativement au module p, ei leurs

restes minima ont des valeurs absolues différentes.

Soient, en efiet, eh et eh deux de ces produits ; leur différence, {k — h) e, n'est pas divisible par p, puisqu'aucun de ses facteurs n'est divisible par p(e < p, A— A < p) ; les restes fournis par ces deux produits sont donc distincts. Supposons maintenant que l'un de ces produits^ eh, ait un reste minimum positif, r, et que l'autre ait un reste minimum négatif, — p ; nous aurons eh^r{mod. p)

et eÀ S5 — p(mod.p);

si r était égal à p, on aurait ê{h + k)^ O(mod. p) ; mais ceci n'est pas possible, puisque e et h-i^h sont tous deux plus petits que p.

D'ailleurs les restes minima sont au plus égaux à ^^-5— >

puisque p est impair; donc les ^ • restes minima que l'on

tu

obtient ainsi senties nombres 1, 2, 3, ,^ > affectés res-

pectivement soit du signe +, soit du signe — . Désignons par P le produit des nombres positifs i, 2, 3, , ^-i-- et par jx le

tu

nombre des restes minima négatifs ; nous aurons alors, en rnulti-

p-t pliant tous les produits signalés entre eux, Pe * s (—1)1*?

(mod. p) ; d'où e * «s (— <}1* (mod.jp) ; e est donc résidu ou non-résidu, suivant que fx est pair ou impair.

Critérium de Gauss. — On reconnaît qu'un nombre e, inférieur à un nombre premier impair ^ p, est résidu ou non-

p — 1 résidu de p, à ce que, parmi les produits e, 2e, 3e, . . . . , ^ ^^

il y en a un nombre pair ou impair qui donnent des restes supérieurs

Le critérium d'Euler appliqué au nombre — \ , nous donne

(— 1) * =1, quand le nombre premier p est de la forme

RAGINB CARRÉB 279

Pli 4n-h1, et (— 1) * = — 4, quand le nombre premier p est de la forme 4n-+- 3. On retombe ainsi sur le théorème du paragraphe précédent, concernant le nombre —1.

Quel que soit l'entier e, inférieur à un nombre premier im-

pair, p, on a e * -^ zb 4 (mod. p). En élevant au carré les deux termes de cette congruence, on a eP^ ai 4 (mod. p). On retrouve ainsi le théorème de Fermât.

Appliquons le critérium de Gauss au nombre 2. Pour cela

cherchons combien il y a parmi les nombres 2, 4, 6, ....^ 2 X o

ou p — 4, de restes supérieurs à ^— ^^ — Tous ces nombres sont des restes ; ils vont en augmentant; le dernier d'entre eux est supérieur à ^-^^ '» il suffît donc de connaître le premier reste

supérieur à ^T" pour avoir le nombre de ceux qui jouissent

de cette propriété . Désignons ce nombre par 2(A H- 1 ) ; le précédentsera 2A et nous aurons

ou A<^-^<A4-i;

le nombre h désigne donc la partie entière de ^-r — ,

 = E ( ^ Y ) • Or lo nombre total des restes est ^^ i celui des restes 2, 4, 6, , 2k est égal à A ou à e(S-Z~J\. U y

a donc ^-^^ E(^^^) restes supérieurs à ^-^î le nombre fx dont nous avons parlé dans le critérium de Gauss est donné par la formule fx=^^^^ ^( T )*

Il est alors facile d'avoir, dans chaque cas, la parité du nombre f* ; il suffît, pour cela, de se rappeler que le nombre premier

p est de la forme 4n -f- 1 ou 4n -i- 3, et que ^--r — a pour partie entière n. On a donc

|A = 2n — n = n, dans le premier cas, et jx=:2n-|-l — n =n-t- 4, dans le second.

Si donc n est pair, n = 5Ȕ, le premier nombre fx est pair, le second est impair. Si n est impair, le premier nombre [i est im*^ pair, le second e?t pair. Nous voyons donc que ^

2 est résidu de tout nombre premier de la forme 8m -4-1 ou 8m -I- 7, et non-résidu de tout nombre premier de la forme 8m -h 3 ou 8m + 5.

11 serait facile d'avoir maintenant les résultats concernant le nombre —2 : il suffît de se rappeler que — 2 = (— 1).2 et de combiner les résultats relatifs au nombre 2 avec ceux qui .^ont relatifs au nombre —1. Mais nous sommes déjà entré dans trop de détails.

* 140. Théorème de Bachet. — Ce théorème, Tun des plus beaux de TArithmétique, s'énonce de la manière suivante :

Tout nombre entier est une somme de quatre carrés entiers, au plus,

La démonstration de ce théorème découle des principes qui précèdent et de quelques propositions accessoires qu'il nous resle à établir.

i^ Le produit d*une somme de deux carrés par une somme de deux carrés est une somme de deux carrés.

Cela résulte de Tégalité

(a» -I- Ô8)(a'* 4- &'3) = iaa' + bb^ -h (ab' — ba')\

qui se vérifie immédiatement.

On peut écrire aussi

(a» + 62;(a'2 -|- 6'») = (aa^^ bby-+-{ab' -h ba')K

2® Le produit d'une somme de quatre carrés par une somme de quatre carrés est une somme de quatre carrés.

Cela résulte de l'égalité [a« + 2^8 -h c2 + d^X^'* + ^'' + <î'* + ^*) = A» + B^ + G* -h D», (*) dans laquelle A, B, C, D désignent les nombres

A = aa' + bb' -^-cc' •\' dd\

B = ab'-^ba'-hcd'—dc',

C=ac'— &d' — ca'-hfZ&',

D=ad* + bc'^cb'^da'.

Les procédés directs pour établir cette égalité remarquable nous manquent, et nous devons nous borner à la vérifier, en développant les calculs, d'après les règles qui donnent le produit des sommes algébriques, et la somme de plusieurs sommes algébriques.

(*) Identité due à Euler, à qui on doit, d^ailleurs, aussi le principe de la flémonstration que nous donnons ici.

RACINB GARRâE 281

3<* Tout nombre premier impair p qui divise une somme de quatre carrés dont un au moins n*est pas divisible par p, est luimême une somme de quatre carrés , au plus.

Nous ne supposons pas que le nombre des carrés soit effectivement quatre, certains d'entre eux pourront être nuls ; mais nous ne supposerons pa^ qu'il y en ait plus de deux qui soient nuls ; car il est évident que tout nombre entier divise un seul carré, son propre carré, et que cela ne peut conduire à aucune propriété concernant le nombre étudié.

Soient alors A, B, G, D les quatre nombres indiqués et tels que A«4- B2 H- C^ 4- D» soit divisible par p ; prenons les restes minîma positifs ou négatifs de ces quatre nombres par rapport au module p et représentons-les par a, b, c, d. Ces quatre nombres ne sont pas nuls par hypothèse, et nous avons les diverses relations suivantes, dans lesquelles mp désigne toujours un multiple de p :

A = îwp + a, B = fwp -h d, G = mp -h c, D = mp -|- d,

Il résulte de cette dernière égalité et de Thypothèse faite que p divise a^ -f- ô* 4- c^ + d* ; par suite on a la relation

(1) a«4.&2 + c2 + d2 = pî,

où q désigne un nombre entier non nul. D'autre part, p étant impair, on a aussi

et, par suite,

4(a8 -h fc2 -I- c» -+- d>)< 4p2.

ou a2-+-ô2-Hc2-Hda<p2j

donc q est plus petit que p.

Si q est égal à 1, le théorème est démontré. Sinon, nous prenons les restes minima, positifs ou négatifs, de a, b, c, d par rapport au module 3, et nous écrivons

a = 3/'H-a, b=zqg-hP, c = qh-hyf d = gA-h8,

puis

Cette relation, jointe à la relation (1), nous montre que

zSi RACINE CARRÉB

«s^^ pa 4- y» 4- 82 est divisible par q, et nous pouvons poser

Montrons d*abord que q' n'est pas nul : si cela était, «, P» Y» ^ seraientnuls tous les quatre et a, 6, c, d seraient tous divisibles par q ; mais alors a» -h 6^ 4. g* -h d* serait divisible par 3* et, d'après la relation (1), on aurait

(f^-h9^-hh*'hk^)q^p;

le nombre premier p serait divisible par q, ce qui est impossible puisque q est plus petit que p et plus grand que 1. Nous allons montrer maintenant que q' est moindre que q : pour cela nous nous appuyons sur les inégalités

2|«l^g, 2|M^λ 2|yI^?, 2|8|^î,

qui nous conduisent à

puis, à cause de (2),

l'égalité n*est pas possible, car il faudrait pour cela que

a:=rP = Y=8 = -^, et alors

ô= ffgfi'H-i).

c = |.(2A-hi), on aurait donc

et dès lors, à cause de Fégalité [\),

q{r'\-g^'\-h^'hk^-hf-hg'hh--hh-h\) = p,

ce qui nous conduit à la même impossibilité que précédemment : p divisible par q. Nous avons donc bien 0 < 3' < g.

Multiplions entre elles les égalités (1) et (2) et transformons le premier membre de la nouvelle relation par Tidentité d'EuIer ;

RAGINB GARRËB 283

nous aurons successivement

(aa+ôa4-cï-*-d«)(aa+pa-hY*-»-^*) = PîV.

A'a + B'«+ C'« + D'« = jpç V, avec

A' = aa + &p-f-CY+rf«,

B' = ap — ta — c« + dY, C' = ay-hW — ca— dp, D' = fl8— b^-hc^—'da.

Si nous remplaçons maintenant, dans ces expressions, a, 6, e, d par leurs valeurs en fonction du module g, nous avons

OU A' = qifa +^p -+- Ay H- A5 + g')

B' = g(/Ti-pa-^ + AY).

C' = î(/'Y-hl78-/^-A?)>

D' = î(/TB-i7Y-»-^P~*«).

et nous voyons que les quatre nombres A', B', C, D' sont divisibles» par q ; si donc nous désignons les facteurs qui multiplient q dans ces nombres ou plutôt, leurs valeurs absolues, par a', ft*, c*, d', nous aurons

(3) a'2 -f- fr'» + c'2 -h à'^ = p?'.

Si g' est égal à 1, la proposition est vérifiée. Sinon, nous remarquons que pour transformer l'égalité (1) à Taide de (2), nous avons simplement supposé i <q <p et p premier ; régalité (3) peut donc être traitée de la même façon et nous conduira à une nouvelle égalité du même genre

ar^ + b"^ -h c"^ -+- d"^ = pq\

avec 0 Kq' <, S''. Et ainsi de suite.

Les nombres 9, 4', 9', ... vont en diminuant sans que l'tm d'eux devienne nul ; donc il y en a an qui devient égal à 1 et la proposition est établie.

Ce théorème une fois établi, rien n'est plus facile à démontrer que le théorème suivant :

284 RAaNB CARRÉE

Tout nombre premier est une somme de quatre carrés entiers, au plus.

En effet, on a 2 = 4«-i-48, 3 = l2-hl2-|-l2; d'autre part, nous avons vu que tout nombre premier de la forme 4n + 1, divise une somme de deux carrés, non nuls, et premiers entre *eux, «*-|-l ; que tout nombre premier de la forme 4tH-3, divise une somme de trois carrés, non nuls, et premiers dans leur ensemble, a* 4- ô* -f- 1 ; donc tout nombre premier divise une somme de quatre carrés, premiers dans leur ensemble, et dont deux, au plus, sont nuls. Il résulte donc du théorème précédent que tout nombre premier est une somme de quatre carrés au plus, dont deux au moins ne sont pas nuls. Cette dernière restriction ne s'applique pas au nombre premier i, qui a, du reste, été exclu de toutes les considérations précédentes.

Pour démontrer le théorème de Bachet, il suffit maintenant de se rappeler que tout nombre entier est un produit de facteurs premiers, distincts ou non, que chacun d'eux, étant une somme de quatre carrés, au plus, il résulte de 2® que le produit de deux d'entre eux, est une somme de quatre carrés, au plus ; par conséquent le produit de deux des facteurs premiers donnera une somme de quatre carrés, le produit de ce nombre par un troisième facteur donnera une nouvelle somme de quatre carrés ; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on soit arrivé au produit total, qui BSt le nombre lui-même.

La démonstration de la proposition 3^, dont le principe estdûà Euler, a été complétée par M. A. Matrot. (Journal de Math. El. de M. de Longchamps, 1891). Eile'a été simplifiée récemment par M. Goulard.

EXERCICES

1® Extraire les racines carrées des nombres

2704, 5476, 9604, 389376, 978121. Rép, 52 74, 98, 624, 989.

2« Extraire les racines carrées, à ,,^^^^ près, des nombres

entiers non carrés parfaits et inférieurs à 20.

EXERCICES 283

3« Extraire, à r^ près, les racines carrées des nombres

Rép. 9,2 f, 0,43 5,34.

4^ Le produit de la somme de deux nombres par leur différence est égal à la différence de leurs carrés,

(a-+-fr)(a — ô) = a" — ft«.

5<^ La différence de deux nombres est 4, la différence de leurs carrés est 56. Trouver ces nombres.

Rép. 9. et 5.

60 Le carré de la différence de deux nombres est égal au carré de leur somme, diminué de quatre fois leur produit :

(a — &)» = (a + ô)« — 4aô.

7o Le carré de la différence de deux nombres est 9, leur produit est 28. Trouver ces deux nombres.

R^. 7 et 4.

8® Le carré de la somme de deux nombres est 121, la somme de leurs carrés est 65. Trouver ces nombres.

i?^. 7 et 4.

9* Le carré d'un nombre et le carré de son dernier chiffre à droite sont terminés par le même chiffre. — Tout carré est terminé par 0, f , 4, 5, 6, 9 : il n'y a pas de carrés terminés par 2, 3, 7, 8.

40« Tout carré pair est divisible par 4. Tout carré impair est un multiple de 4, augmenté de 1 .

11<» Toute somme de deux carrés est un multiple de 4, ou un multiple de 4 augmenté de 1, bu un multiple de 4^ augmenté de 2 : il n*y a pas de nombre de la forme 4n + 3 qui soit carré parfait, ni somme de deux carrés.

12* Tout carré parfait admet un nombre impair de diviseurs ; tout nombre non carré admet un nombre pair de diviseurs.

130 Le carré d*un nombre premier, autre que 2 et 3, est un multiple de 24, augmenté de 1.

. 44* Tout carré pair divisé par 16 donne ponr reste 0 ou 4.

RACINB GARBËE

15° Le produit de deux nombres entiers consécutifs est divisible par 12, si le plus grand est un carré ; le produit de trois nombres entiers consécutifs est divible par 60, si le nombre intermédiaire est un carré.

16o Le carré d'un nombre entier quelconque est de Tune des formes 5n, 5»-hl, 5n--4.

iT Si la somme des carrés de deux nombres premiers entre eux est un carré, le produit de ces nombres est divisible par 6.

18* Trouver les résidus de 25, 0 compris. Rép.: 0, 1, 4, 6, 9, il, 14, 16, 10, 21, 24.

19» Par rapport au module p, 2 et ^ sont toujours

associés.

20« Si p désigne un nombre premier impair, £/^lLl j est toujours résidu.

81« Les racines primitives d'un nombre premier impair p, sont comprises dans les non-résidus (n^ 77).

22° Si r est racine primitive de p, les nombres 1, r, r», ..., rr^, donnent des restes différents. Le reste qui commence la seconde moitié est — 1.

23® Appliquer le critérium d'Ëuler au nombre 2, par rapport au module 71.

24® Appliquer le critérium de Gauss au nombre 3, par rapport aux modules 13, 23, 17, 19.

, 25® Démontrer que 3 est résidu des nombres premiers de laforme 12n+l> 12n + ll et non-résidu des nombres premiers de la forme 12n-|-5, 12n-f-7.

26® Tout nombre premier qui divise une somme de deux carrés, premiers entre eux, est lui-même une somme de deux carrés. Tout nombre premier de laforme 4n + l est une somme de deux carrés.

27® Tout nombre entier qui ne contient que des facteurs pre-

EXERCICES 287 I

miers de la forme 4n+i est une somme de deux carrés, au plus. • i

28« Démontrer Pégalité I

(aS + e»> -f- c^){a'^ -f- d'« -f- c'«) — (aa' H- bb' + ccy

= (*(/ — c&')* -h (ca' - ac')« -f (««>' — àay \

29<» Trouver deux nombres consécutifs connaissant leur produit

30^ Trouver deux nombres différant de deux unUés, connais' sant leur produit.