CHAPITRE II

141. Définition. — On appelle cube d'un nombre, le produit de trois facteurs égaux à ce nombre.

Les cubes des nombres entiers forment une suite infinie et croissante,

La loi qui permet de déduire chacun d'eux du précédent est assez compliquée ; elle résulte de la formule suivante :

(a -H by = a« -h Sa^ + 3a6» -h b\ qui peut encore s'écrire

{a-hbf = a8-f-6» + 3a6(a-h6).

Pour démontrer cette égalité, il n'y a qu'à s'appuyer sur la règle qui donne le produit de deux sommes : on a ainsi

successivement

et, en multipliant les deux membres par a 4- 6,

(a+ bf = ,c3 -u2a«6 -t- a6« + aH + 2ab* + b^ ;

il n'y a plus qu'à réunir les termes de môme espèce,

2a^b et a*6, ab^ et 2a6', pour avoir l'égalité annoncée.

Le résultat que nous venons d'obtenir peut s'énoncer

ainsi :

Pour élever une somme au cube, on prend la somme descubet des deux parties de cette somme, puis, on lui ajoute trois fois le produit de ces deux parties par leur somme.

{*) La racine cubique ne figure pas au programme officiel de la classe de mathématiques élémentaires, mais comme elle est néanmoins traitée dans la plupart des cours de mathématiques élémentaires, nous n^avoni pas cm devoir imprimer ce chapitre en petits caractères.

Exemple, 7 = 5 + 2; on a donc 7* = (5 -4- 2)' ou V = 125 + 8 -♦-30X7=: 125 + 8 + 210 = 343.

Considérons alors deux nombres entiers consécutifs, n ein + 1 ; nous voyons de suite que le cube du second est n» + 3n^ + 3n+l. Le cube d'un nombre entier est donc égal au cube de celui qui le précède immédiatement, augmenté de trois fois le carré de ce nombre, puis de trois fois ce nombre, et de un.

Si donc nous savions former les nombres de la forme 3n*+3n + l, où n prend toutes les valeurs entières, à partir de 0, nous pourrions obtenir les cubes des nombres entiers successifs, par voie d'addition. Or deu.\ nombres consécutifs de cette espèce sont

3n'^ + 3n + l et 3(n + l)« + 3(n + l) + l ;

le second est égal au premier augmenté de 6n + 6. Chacun des nouveaux nombres est égal au précédent augmenté de 6. Nous pouvons donc former le tableau suivant :

Nombres de la forme

ARITHM. HUM

290 RACINE CUBIQUB

La première colonne de ce tableau contient les nombres de la forme 6n +6 ; elle commence au nombre 6 et chacun des nombres qu*elle contient s'obtient en ajoutant 6 au nombre qui est au-dessus de lui. La seconde colonne contient les nombres de la forme 3n"-i-3n-|-l ; elle commence au nombre 1, et chacun des nombres qu'elle contient s'obtient en ajoutant à celui qui est au-dessus de lui, le nombre placé dans la première colonne et sur la même ligne que celui-ci. La troisième colonne se déduit de la seconde par le même procédé.

La suite des cubes des nombres entiers est donc une suite croissante et même rapidement croissante, et qui ne contient pas tous les nombres entiers.

Cela posé, on appelle racine cubique d'un nombre entier, A, un autre nombre entier a, qui, élevé au cube, reproduit le nombre A. — L'opération qui permet de trouver ce nombre s'appelle elle-même une extraction de racine cubique.

L'opération ainsi définie est rarement possible, car un nombre entier, A, choisi arbitrairement, n'est pas, en général, un cube.

Mais si A n'est pas un nombre de la suite des cubes, il est compris entre deux nombres de cette suite, consécutifs, a* et (a-f- 1)' ; de sorte que, dans tous les cas, quel que soit l'entier A, on a toujours, pour une certaine valeur de l'entier a, la double inégalité qui suit :

a«<A<(a-hl)».

Nous appellerons racine cubique à une unité près d'un nombre entier quelconque. A, la racine cubique du plus grand cube contenu dans ce nombre. — Il résulte des explications précédentes, que cette racine cubique est le nombre a qui figure dans la double inégalité écrite plus haut.

La différence entre le nombre A et le plus grand cube, a% qui figure dans ce nombre, se nomme le reste de l'opération qui a pour but de déterminer a.

RAGINB CUBIQUE 291

Lorsque Topération se fait sans reste, le nombre A est dit cube parfait.

D'après les inégalités précédentes, la différence A — a' est plus petite que la différence (a-f-1)'— o* = 3a'-f-3a4-l. Donc le reste est plus petit que le triple carré de la racine ^ augmenté du triple de cette racine et de un.

La plupart des définitions précédentes s'appliquent immédiatement aux nombres fractionnaires.

Un nombre fractionnaire est dit cube parfait lorqu'on peut robtenir en élevant un autre nombre fractionnaire au cube. — Si cela arrive, le nouveau nombre fractionnaire s'appelle la racine cubique du premier. — Mais cela n'arrive pas, en général, et nous définirons plus tard des racines cubiques approchées.