Racine cubique à une unité près

le' cas. — Le nombre donné est inférieur à 1000. — Alors la racine cubique à une unité près est inférieure à 10; elle est immédiatement fournie par la suite des cubes des neuf premiers nombres entiers

Exemples. — La racine cubique de 343 est 7. Le plus grand cube contenu dans 427 est 343, et la racine cubique est 7; le reste de l'opération est 427 — 343 = 84. Le nombre 915 a pour racine cubique 9, et le reste est 186.

2« cas. — Le nombre donné A est supérieur à 1000. — Alors 10 est parmi les nombres dont les cubes sont plus petits que A; la racine cubique de A est donc au moins égale à 10, et se compose de dizaines et d'unités. Soient a le nombre des dizaines et b celui des unités de la racine ; la racine cubique peut s'écrire a h- A, à condition de penser que a désigne des dizaines. Or le cube de a -h 6 se compose d'abord du cube de a, qui est un nombre exact de milles, de trois fois le carré des dizaines par les unités, de

trois fois les dizaines par le carré des unités et du cube-des unités. Comme le cube jîe a-f-J est contenu dans A et qu'il y a encore un reste, non nul, en général, on voit que le cube du nombre des dizaines de la racine est contenu dans les milles du nombre A. Mais nous allons montrer, ce qui n'est pas évident d'après ce qui précède, que le nombre des dizaines de la racine cubique à une unité près d'un nombre . A est la racine cubique à une unité près du nombre des milles ' de A. I

Désignons, en effet, par A^ le nombre des milles de A et par A3 la partie restante; désignons, en outre, par or la r»- i cine cubique à une unité près de A^ ; nous aurons |

a^<A,<(x-Hi)% I

et, en multipliant ces trois nombres par iOOO, (iOa?)» < iOOOA, < [10(ar+i)]8.

On a donc sûrement (10a?)» < lOOOAj+Aj, c'est-à-dire (iOa?)»<A; d'autre part, [10(a?-hi)]» est supérieur à lOOOAj ; donc ce nombre de milles surpasse le nombre des milles de A d'au moins une unité de cet ordre ; on a, par conséquent, [iO(a?-4-i)l« > lOOOA^ + 1000, et, par suite, [10(a?-4-l)]» > lOOOA,-}- Aa, puisque A, est plus petit que 1000, On a donc finalement

La racine cubique à une unité près du nombre A est donc au moins égale à x dizaines et plus petite que x-^i dizaines ; elle contient donc x dizaines.

Une fois qu'on aura le nombre des dizaines de la racine,

^ on obtiendra le chiffre des unités en retranchant de A le cube du nombre formé par les dizaines de la racine; cela se fait en retranchant le cube de x du nombre des milles de

,A, et abaissant à droite de cette différence les trois derniers chiffres de A. Le premier reste ainsi obtenu, B, contient encore trois fois le carré des dizaines par le chiffre des unités, plus trois fois les dizaines par le carré du chiffre des

RACINB CUBIQUB 293

unités, plus le cube des unités et le reste de Topération; si donc on divise le nombre des centaines de B par le triple carré du nombre des dizaines de la racine, on aura lechiffîre des unités ou un chifire trop fort. Pour essayer ce chiffre, on le met à droite du nombre des dizaines trouvées à la racine, on élève le nombre ainsi formé au cube et on retranche le résultat de A; si cette soustraction est possible, le nombre obtenu est bon; sinon, on diminue le chifire des unités de un et on recommence Tessai ; on agit ainsi jusqu'à ce que l'essai réussisse. — On peut simplifier les essais, en remarquant que Ton a déjà retranché de A le cube du nombre des dizaines, et qu'il suffit de soustraire du reste obtenu, B, le triple carré des dizaines par le chiffre des unités, puis le triple des dizaines par le carré des unités et enfin le cube des unités, c'est-à-dire, avec les notations antérieures (*), de retrancher de B le nombre 3a*6-4-3a6>+6«, ou *(3a'4-3a6-f-6'). On forme alors trois fois le carré des dizaines, trois fois le produit des dizaines par le chiffre à essayer, puis le carré de ce chiffre ; on fait la somme de ces trois nombres, on la multiplie par le chiffre à essayer, et on retranche le produit de B, si cela se peut ; sinon, on diminue le chiffre à essayer d'une unité et on recommence l'essai de la même façon.

Exemple. — Extraire la racine cubique à une unité près de 82671.

On dispose l'opération d'une manière analogue à celle

^ „ . employée pour la division : 43 Racine 1 ^ . j x x i

on met le nombre donné à la

Nombre 82.671 64

Reste 3164

4800 place du dividende, la racine

360 à ]a place du diviseur, les

? calculs auxiliaires à la place du

5169 quotient et au-dessous; enfin

3 les soustractions indiquées

(•) Dans ces notations, a représente des dizaines et b des unités ; par conséquent 3a3 représente des centaines, 3a& des dizaines, et 5' des unités.

dans les diverses parties de ropération, au-dessous du nombre donné. Cela fait, on sépare sur la gauche du nombre, le nombre des milles, 82; le plus grand cube contenu dans ce nombre est 64, dont la racine cubique est 4; donc le nombre des dizaines de la racine cherchée est 4. Le cube de 4 dizaines ou 40 est 64000; en retranchant ce nombre de 82671, on a pour reste 18671, qui contient trois fois le carré des dizaines par le chiffre des unités, trois fois les dizaines par le carré des unités, le cube des unités et le reste de l'opération; donc en divisant ce nombre par le triple carré des dizaines, c'est-à-dire par 48 centaines ou 4800, on aura le chiffre des unités ou un chiffre trop fort : il suffit de diviser les 186 centaines du premier reste obtenu par 48; on a ainsi 3, qui est le chiffre des unités ou un chiffre trop fort. Reste à essayer ce chiffre, c'est-à-dire à constater que le cube de 43 est contenu dans le nombre donné; cela peut se faire en élevant 43 au cube et en retranchant le résultat du nombre proposé ; mais comme on a déjà retranché le cube de 4 dizaines de ce nombre, il suffit de retrancher du premier reste obtenu, 18671, le ifiombre

3xB'x3-t-3X40X3«-f-3% ou 3(3 X4Ô'-+-3X 40X3-4-3»);

le nombre qui se trouve entre parenthèses est

4S00 4-360-1-9 ou 5169,

le produit de ce nombre par 3 est 15607; ce nombre peut se soustraire de 18671 et le reste ainsi obtenu est 3164; donc le chiffre essayé est bon. La racine est 43 et le reste est

Si le nombre des milles du nombre donné est lui-même supérieur à 1000, le nombre des dizaines de la racine est lui-môme supérieur à 10 et s'obtient par plusieurs opérations

successives. On le regarde comme composé de dizaines et d'miités, et, comme il est la racine cubique à une unité près du nombre des milles de A, Âi, on est ramené à trouver les dizaines de la racine cubique de A| à une. unité près, c*est-à-dire la racine cubique, à une unité près, du nombre des milles de A^. On décompose au besoin cette nouvelle portion de la racine en dizaines et en unités, et on continue ainsi jusqu'à ce qu'on arrive à considérer un nombre de trois chiflhres an plus, dont la racine cubique s'obtient immédiatement.

Le procédé revient donc, en définitive, à négliger sur la droite du nombre donné une tranche de trois chiffres, puis une seconde, puis une troisième, etc., jusqu'à ce que la portion gardée représente un nombre inférieur à iOOO. La racine cubique à une unité près de cette portion donne le premier chiffre de la racine. On envisage alors le nombre formé par la partie que l'on a ainsi séparée sur la gauche du nombre, suivie de la tranche de trois chiffres qui se trouve immédiatement à droite ; le second chiffre de la racine représente les unités de la racine cubique à une unité près de ce nouveau nombre, et le chiffre que l'on vient de trouver en représente les dizaines. On retranche donc le cube de ce chiffre de la dernière tranche à gauche et on ajoute, à droite de la différence obtenue, la tranche de trois chiffres qui vient immédiatement après ; on a ainsi le premier reste partiel. On divise, comme précédemment, ce premier reste par le triple carré du chiffre trouvé en premier lieu et regardé comme désignant des dizaines ; cette division se fait en divisant les centaines du reste partiel par le triple carré du premier chiffre de la racine. On trouve ainsi le second chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. On essaie ce chiffre comme dans le cas précédent, en formant le triple carré des dizaines, le triple produit des dizaines par le chiffre à essayer, le carré de ce chiffre, et multipliant la somme de ces trois nombres par le chifft'e

à essayer ; si le produit peut se soustraire du premier reste, le chiffre obtenu est bon; sinon il est trop fort, et on le diminue d*une unité, puis on recommence Tessai. Lorsqu'on arrive à une soustraction possible, on abaisse adroite de la différence une nouvelle tranche de trois chiffres, celle qui vient immédiatement après la tranche précédemment abaissée, et on a le second reste partiel. La portion trouvée à la racine représente les dizaines de la racine cubique à une unité près du nombre formé par les trois premières tranches du nombre donné A(*). On aura donc le chiffre des unités, c'est-à-dire le troisième chiffre de la racine, par un procédé complètement semblable à celui déjà employé. Seulement pour former le triple carré de la portion déjà trouvée à la racine, on pourra se servir de calculs déjà faits ; en effet on a déjà formé le nombre 3a* -f- 3ai -f- b^ [a représente des dizaines et b des unités), a+^ représentant la somme des dizaines et des unités de la portion déjà trouvée à la racine, il suffira d'ajouter à ce nombre 3a6 + 26', pour avoir le Iriple carré de a + &; enfin, comme le nombre a'\-b représente maintenant des dizaines, on multipliera le résultat par 100. Et ainsi de suite, jusqu'à ce que toutes les tranches primitivement négligées aient été successivement abaissées.

Exemple. — Extraire la racine cubique à une unité près du nombre 546739823157.

On dispose l'opération comme précédemment.

Les dizaines de la racine sont la racine cubique à une unité près du nombre 546739823; les dizaines de cette racine partielle sont la racine cubique aune unité près du nombre 546739; et enfin les dizaines de cette nouvelle racine partielle sont la racine cubique à une unité près du nombre 546.

(') U s'agit bien entendu des trois tranches qui sont sur la gauche du nombre.

RAGINB GUBlQXrfi

Nombre

Racine

Restes partiels

Calculs avxiliairet

Or le plus grand cube contenu dans 546 est 512, cube de 8; donc 8 est le premier chiffre de la racine. Les deux premiers chiffres de la racine forment la racine cubique à une unité près du nombre 546739; donc on obtient le second chiffre en procédant comme dans l'exemple donné antérieurement; on retranche de 546 le cube de 8 ou 512; à droite du reste, 34, on abaisse la tranche 739, et on a le premier reste partiel, 34739, qu'on divise par le triple carré du nombre formé par les dizaines de la racine envisagée actuellement, c'est-à-dire par 19200; le quotient est 1. Pour essayer ce chiffre, on ajoute à 19200, le triple du produit des dizaines par les unités, 240, puis le carré des unités, 1, et l'on multiplie la somme, 19441 par 1 ; on peut retrancher ce produit du premier reste partiel; donc le chiffre 1 est bon. — A droite de la différence ainsi obtenue, on abaisse la tranche de trois chiffres qui suit celle précédemment abaissée, la tranche 823, et on a le second reste partiel, 15298823 ; on aura le troisième chiffre de la racine en le

898 RACINE GUBIQUB

regardant comme le chiffre des unités de la racine cubique du nombre 546739823 ; 81 est le nombre des dizaines de cette racine ; nous aurons donc le chiffre à essayer, en formant le triple carré de 81 et en divisant le nombre des centaines du second reste partiel, 152988, par le résultat ainsi obtenu : quant au triple carré de 81, il s'obtient en ajoutant 3X80Xl-t-2Xl* au nombre 19441 formé antérieurement et qui vaut déjà 3X8Ô'-4-3X80+i (tous ces calculs auxiliaires sont faits au-dessous de la racine). Le quotient de 152988 par le nombre ainsi obtenu, 19683, est 7; c'est le chiffre à essayer. Pour faire l'essai, on forme le nombre 3X 81* + 3X81 X 7 -h 7» (2« colonne de calculs auxiliaires), on multiplie ce nombre par 7 et on retranche le produit du second reste partiel ; la soustraction est possible; donc le chiffre 7 est bon. Le 3* reste partiel s'obtient en abaissant la dernière tranche du nombre proposé; c'est 1401310157. On divise les centaines de ce nombre par le triple carré de 817 et on a le dernier chiffre de la racine; le triple carré de 817 est égal à 1985359 ou (3 X 8ÏÔ' -h 3 X 810 X 7 -h 7»), augmenté de 3X810X7 + 2X7» on a ainsi (2*' colonne de calculs auxiliaires) 2002467. En divisant 14013101 par 2002467 on a le chiffre à essayer, 6. L'essai de ce chiffre réussit et est indiqué dans la dernière colonne de calculs auxiliaires. La racine du nombre proposé est donc 8176 et le reste de l'opération, 198947381.

Après toutes ces explications de détail, il nous est permis maintenant de donner la règle suivante :

Règle. — Pour extraire la racine cubique (Fun nombre eniier quelconque à une unité près^ on dispose l'opération comme une division^ le nombre donné étant mis à la place du dividende^ ta racine f au fur et à mesure que l'on en trouve les divers chiures, à la place du diviseur, et les calculs auxiliaires, auxquels les essais conduisent f à la place du quotient et au-dessous;

RACINE GUBIQUB 299

les diverses soustractions que l'opération nécessite se font dans l'espace situé au-dessous du nombre donné.

On partage le nombre donné en tranches de trois chiffres à partir de la droite^ la dernière tranche à gauche pouvant n^a^ voir que deux chiffres ou un seul.

La racine cubique à une unité près du nombre formé par cette dernière tranche à gauche est le premier chiffre de la racine.

On retranche du nombre formé par cette tranche^ le cube du chiffre trouvé^ et à droite de la différence, on abaisse la tranche qui suit ; on a ainsi le premier reste. On divise le nombre des centaines de ce reste par le triple carré du chiffre trouvé à la racine ; si ce quotient dépasse 9, on l'abaisse à 9 et on a le second chiffre de la racine ou un chiffre trop fort.

Pour essaya ce chiffre^ on pense quil désigne des unités, le chiffre précédent représentant des dizaines ; on forme alors une somme contenant trois fois le carré des dizaines, trois fois les dizaines par les unités, et le carré des unités ; puis on multiplie cette somme par les unités et on retranche le résultat du premier reste. Si la soustraction est possible, le chiffre trouvé est bon; sinon on le diminue d^une unité et on recommence Vessai. Dès que Pon arrive ainsi à une soustraction possible, le chiffre essayé est bon, et en abaissant à droite de la différence obtenue ainsi la troisième tranche du nombre proposé, on a le second reste.

On divise le nombre des centaines de ce reste par le triple carré du nombre déjà trouvé à la racine {nombre de deux chiffres); si le quotient surpasse 9, on rabaisse à 9, et l'on a ainsi, même dans ce cas, le troisième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort.

Pour essayer ce chiffre, on pense quHl désigne des unités, la portion précédente représentant des dizaines ; on forme alors une somme contenant trois fois le carré des dizaines, trois fois le produit des dizaines par les unités et le carré des unités ; puis on multiplie cette somme par les unités et on retranche

le résultat du second reste. Si la soustraction est possible, le chiffre essayé est bon ; sinon on le diminue d^une unité et on recommence l'essai. Dès que l'on arrive ainsi à une soustraction possible, le chiffre essayé est bon, et en abaissant à droite de la différence obtenue la quatrième tranche du nombre proposé [à partir de la gauche), on a le troisième reste.

L'opération se continue ainsi par le même procédé jusqu'à ce que l'on ait abaissé successivement toutes les tranches du nombre proposé.

Pour passer du triple carré de la portion trouvée à la racine, à un moment quelconque, au triple carré de la portion obtenue avec un chiffre de plus, on remarque qu'on a déjà formé le triple carré des dizaines de ce nouveau nombre, le triple du produit des dizaines par les unités, le carré des unités, et que hn a fait la somme de ces trois nombres ; il suffit alors d'ajouter à cette somme deux nombres connus: le triple produit des dizaines par les unités et le double du carré des unités.

Remarque. — Lorsque la portion déjà trouvée à la racine forme un nombre suffisamment grand, il y a au plus un essai à effectuer pour chacun des chiffres que Ton trouve ensuite à la somme. En effet, à un moment quelconque, le chiffre que Ton cherche est le chiffre des unités de la racine cubique à une unité près d'un nombre B, formé par un certain nombre de tranches prises sur la gauche du nombre proposé, A; si donc on désigne par a la portion déjà trouvée à la racine et par b le chiffre des unités de la racine de B, on a B = (iOa4-i)»+r, r désignant le reste fourni par le nombre B. On a donc

B = lOOOa» -h SOOa^ -h SOab' -h ^' -4- r,

et, par suite, le reste partiel que Ton vient d'obtenir est B — iOOOa» = 300a«* -h 30a6> 4- ô» -f- r. Or on obtient le chiffre à essayer en divisant ce reste partiel par le triple carré du nombre formé par les dizaines de la racine, c'està-dire par 300a* ; ce chiffre est donc la partie entière de

RACms CUBIQUE 301

~ 306^5 ^^*' *"*" 3ÔÔ^i ' ^^'

suite, il surpasse le véritable chiffre, b, de la partie entière

SÔÔ""» ' ^ condition toutefois que le résultat

total ne dépasse pas 9. Mais la plus haute valeur de r est 3(i0a + by -+- 3(10a +• b) ; donc la plus haute valeur de la partie additive est

300a» + 30aô« + 60a* + 30a 4- 6» + 36» -f- 36

ou 14

Dès lors, nous obtiendrons la plus grande valeur de cette