partie additive en donnant à 6 la plus grande valeur qu'il

puisse avoir, 9; nous aurons ainsi 1h , , , — ou

IH h^^^ ,' Dès que a atteint la valeur 11, la partie

10 997 fractionnaire — h;;7r;r-; est inférieure à 1, et alors le véa 300a»

ritable chiffre est augmenté d'une unité au plus. Il en résulte donc que dès qu'on aura les deux premiers chiffres de la racine, il ne pourra y avoir qu'un seul essai infructueux.

Exemple. — Si l'on extrait la racine cubique à une unité près du nombre 2000375, on trouve 125, et chacun des deux derniers chiffres est obtenu après un essai infructueux.

143. Preuve de la racine cubique. — L'extraction de la racine cubique d'un nombre entier À est une opération qui a pour but de décomposer ce nombre en deux parties: l'une, a», qui est le cube d'un nombre entier; l'autre, r, qu'on nomme le reste de l'opération et qui est moindre que 3a»H-3a + l.

Dès lors, si l'on élève la racine trouvée au cube, et si l'on ajoute à ce résultat le reste trouvé aussi, on devra obtenir

302 RACIKB CUBIQUE

le nombre donné. Lorsque cette vérification réussît, il y. a de fortes présomptions pour que Topération soit exacte; mais, si elle ne réussit pas, on ne peut rien affirmer, attendu que les erreurs qui se sont produites, ont pu se produire aussi bien lors de la vérification qu'au cours de Topération elle-même. Dans l'exemple traité antérieurement, la vérification réussit.

On emploie aussi la méthode des restes relatifs à un module quelconque, 11 par exemple : en désignant par k\a\r^ les restes des nombres A, a, r, par rapport au module 11, on a les égalités successives

A = mult. 11-f-A',

a = mult. 11 4- a\

r = mult. 11 -4- r^y

et a» = mult. 11 -+- a'« ;

par conséquent l'égalité A = a'+r se change en

mult. 11+A' = mult. ll-4-a'«-hr';

on voit donc que le reste de A par rapport au module 11 est le même que celui de a'^ ■+■ r'. Ce raisonnement s'applique d'ailleurs à un module quelconque. On prend donc les restes de la racine et du reste de l'opération, par rapport à un module quelconque, 11 par exemple, on élève le premier au cube cl on lui ajoute le second ; le reste fourni par ce nombre, par rapport au module 11, doit être le même que celui fourni par le nombre donné.

Dans l'exemple traité antérieurement, le nombre proposé fournit, par rapport au module 11, le reste 0; la racine donne 3, dont le cube 27 conduit au reste 5 ; enfin le reste de l'opération donne 6. Or 6 -+-5 = 11 ; donc la vérification réussit.

144. Racine cubique à une unité près d'un nombre fractionnaire ou décimal, quelconque. — On appelle racine eu-

bique à une unité près d'un nombre fractionnaire ou décimal quelconque, A, la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans le nombre proposé (n* 141).

Il est facile de voir que la racine cubique à une unité près de A est la même que celle de sa partie entière ^ B ; en effet, on a A = B -+- /, f désignant un nombre fractionnaire plus petit que 1 ; d'autre part, si a désigne la racine cubi* que à une unité près de B, on a

donc a* est plus petit que B-hf ou A; en outre, (a+1/ étant supérieur à B, est au moins égal à B+l et, par suite, supérieur à B-^-f ou A. On a donc finalement la

double inégalité

qui montre que a est la racine cubique de A à une unité près.

Le reste de l'opération est A — a*.

Exemples. — La racine cubique à une unité près du nombre 82671,46 est 43 et le reste est 3164,46. — La racine cubique à une unité près du nombre 846739823157,5298 est 8176 et le reste est 198947381,5298.

145. Propriétés relatives à la racine cubique. — Le nom" bre des chiffres contenus dans la racine cubique à une unité près d'un nombre entier quelconque est égal au nombre des tranches de trois chiffres qu^il contient^ le nombre étant parcouru de droite à gauche et la dernière tranche à gauche pouvant n'avoir qu'un ou deux chiffres.

Cette propriété simple résulte évidemment de la façon dont on fait l'opération ; mais elle peut aussi se démontrer directement. Soit en effet n le nombre des tranches que contient l'entier A ; le nombre A est au moins égal au plus petit des nombres de n tranches, 1000""*, et il est inférieur au plus petit des nombres de n + 1 tranches 1000" ;

304 RAGlNB CUBIQUE

on a donc

ou 10*{»-*) < A < 10«".

Or la racine cubique de 10«* est 10*, d'après les règles de calcul des exposants ; donc la racine cubique de A est comprise entre 10""* et 10". Elle a donc n chiffres.

Le cube (Tun nombre fractionnaire irréductible est un autre nombre fractionnaire irréductible dont les deux termes sont des cubes parfaits.

Car si t désigne un nombre fractionnaire irréductible,

a' son cube est rjî d'après la règle de multiplication des nombres fractionnaires (n® 109). Or ce nouveau noinbre est irréductible, puisque les facteurs premiers différents de a' et de b^ sont les mêmes que ceux de a et 6, et que ceux-ci n'ont aucun facteur commun.

Les exposants des facteurs premiers dans a' et 6®, sont tous divisibles par 3. Le produit de ces deux nombres est un cube parfait. — Réciproquement, si le produit des deux termes d'un nombre fractionnaire irréductible est un cube parfait, ce nombre fractionnaire est aussi un cube parfait. Car, dans ce produit, tous les exposants des facteurs premiers sont des multiples de 3. Or le numérateur et le dénominateur étant premiers entre eux, contiennent des facteurs premiers différents ; il en résulte que certains des facteurs premiers du produit figurent avec leurs exposants dans le numérateur, et les autres, avec leurs exposants aussi, dans le dénominateur. Les deux termes du nombre fractionnaire sont donc des cubes parfaits.

Il résulte de là que :

Si un nombre entier n'est pas un cube parfait, iln^est le cube d'aucun nombre fractionnaire. Si les deux termes d^un nombre fractionnaire irréductible ne sont pas des, cubes parfaits, U

nombre lui-même n'est le cube d'aucun nombre entier ou fractionnaire.

Il n'y a qu'à supposer réalisées les hypothèses rejetées dans ces deux énoncés, pour s'apercevoir de leur inexactitude.

Si Ton donne un nombre fractionnaire quelconque r»

h^éductible ou non^ on verra de suite si c'est un cube, en le

réduisant au dénominateur b^ ; on aura ainsi r = -77 ♦

et ab^ devra être un cube parfait. En effet, le nombre -,

réduit à sa plus simple expression, - 1 devra avoir pour ter-

P mes deux cubes parfaits, a'^ et b'^\ on aura donc

a = ka'^,^ b = kb'\ b^ = k^b'^ et aft« = k'^aH'^ ; on

voit donc que aô' est le cube de ka'b'^. D'ailleurs, si ab*

a ab^ est un cube parfait, A', le nombre donné, j-=—^ est

le cube de * Donc, que le nombre «- soit ou ne soit pas

réduit à sa plus simple expression, ce nombre est un cube ou non, en même temps que ab^ ; et, pour reconnaître l'espèce de ce nombre, on est ramené à la recherche delà racine cubique d'un nombre entier.