Valeurs approchées d'une racine cubique. — On ap

pelle racine cubique à — ^ près d'un nombre entier ou fractionnaire quelconque, le plus grand nombre décimal formé d'unités du n« ordre décimal et dont le cube soit inférieur au nombre donné ou égal à ce nombre.

Si nous désignons par — ce nombre et par A le nombre donné, nous aurons, d'après la définition précédente,

ARITHM. HUMR. ^

d06 RACCîB CCBIQUB

Multiplions les trois nombres qui figurent dans ces inégalités par 10**, nous aurons les deox in^liiés snivantes :

x»<AXlO»-<(xH-l»,

qui expriment qne x est la racine cubique à une unité près du nombre AXiœ».

Donc, pour avoir la racine cubique de K à 10* près, on multiplie le nombre donné par W\ on prend sa partie entière^ et l'on extrait la racine cubique de ce nombre entier à une unité près, puis on divise cette racine par iO".

Les deux nombres —- et que l'on obtient parce

procédé s'appellent les valeurs approchées pcar défaut et par

excès, à -j— près, de la racine cubique du nombre (lonné, A.

Si A est un nombre décimal, il su£Qt, pour obtenir la valeur approchée par défaut, d'avancer la vii^ule de 3n rangs vers la droite, et d'extraire la racine cubique du nombre entier ainsi formé, à la façon ordinaire, en plaçant toutefois une virgule à droite du chiffre qui termine la racine cubique du nombre donné à une unité près : la multiplication du nombre donné par 10** et la division de la racine ensuite par 10» se trouvent ainsi faites en môme temps. Si A n'est pas un nombre décimal, on peut toujours le considérer comme tel : s'il est entier, en mettant autant de zéros que Ton veut à droite de la virgule ; s'il est fractionnaire, on le développe en décimales, et on obtient ainsi autant de chiffres décimaux que l'on veut, ce qui permet d' avancer la virgule de3n rangs vers la droite, et d'avoir la partie entière du produit de A par 10"*.

Dans la pratique, lorsqu'on veut avoir les valeurs approchées par défaut de la racine cubique d'un nombre donné, A, on développe le nombre A en décimales, si cela est nécessaire ; on poursuit ce développement aussi loin que Ton

veut, soit à Taide de zéro, s'il est limité, soit à Taide de la période ou par la division, s'il est illimité, et Ton extrait la racine cubique du nombre ainsi formé, à la façon ordinaire, comme si on voulait obtenir la racine cubique à une unité près, c'est-à-dire en ne considérant d'abord que les tranches de la partie entière; puis, ce\a fait, on met une virgule à droite du chiffre des unités de la racine, et l'on continue l'opération toujours de la même façon, en abaissant à chaque fois trois chiffres décimaux à droite du reste obtenu, de telle sorte que la, partie décimale soit ainsi régulièrement par. courue de gauche à droite. Si l'on s'arrête au n« chiffre décimal, on a la valeur approchée de la racine à — rj près et par défaut.

Nous sommes donc encore ici en présence d'une opération, en général illimitée, et qui donne lieu, comme le

développement de - en décimales, aux remarques suivantes :

i^ Les valeurs approchées par défaut d'une racine cubique, à une unité près, à un dixième près, à un centième près, etc., forment une suite croissante, dont chaque terme se déduit du précédent par l'addition, sur sa droite, d'un nouveau chiffre décimal, qui peut être nul. Deux valeurs approchées par défaut et consécutives peuvent être égales. Elles seront toutes égales, à partir d'un certain rang, si le développement est limité.

2** Les valeurs approchées par excès forment une suite décroissante, dont chaque terme se déduit du précédent, en lui enlevant une unité du dernier ordre décimal qui y figure, et en lui ajoutant une unité au moins, 10 unités au plus de l'ordre décimal suivant. Deux valeurs approchées par excès et consécutives peuvent être égales. Il n'arrive pas, dans l'opération actuelle, que toutes les valeurs approchées par excès soient égales (n* 135).

3** Si Ton connaît une valeur approchée par défaut quel conque, on aura celles qui la précèdent en supprimant des chiffres décimaux sur sa droite.

4* Si Ton porte sur une droite, à partir d'un même point 0 et dans le même sens, vers la droite, par exemple, des lon-

Bfi B} B|

gueurs OAj, OA^, , OAji, , mesurées par les valeurs

approchées par défaut, et des longueurs OB,,OBj,...,OBjj.,..., mesurées par les valeurs approchées par excès, le point mobile qui décritTensemble des points Aji marche de gauche à droite, quand fx augmente, ou reste immobile, à certains moments, et celui qui décrit Tensemble des points B(i marche de droite à gauche, quand fx augmente ou reste immobile, à certains moments ; le premier point est toujours à gauche du second et la distance qui les sépare tombe audessous de toute longueur donnée à Tavance, quand [i est

assez grand, car cette distance, AtiB(i, a pour mesure

lOi^

On voit donc qu'entre les deux ensembles de points, il ne peut y avoir qu'un seul point delà droite. A; on admet que ce point existe ; on le nomme point-limite commun aux ensembles A(i et B(jL, et la longueur qu'il définit nous servira plus tard à définir la racine cubique exacte du nombre donné.

Si les valeurs approchées par défaut sont toutes égales, à partir d'un certain rang, [a = A:, c'est le dernier des points A(i, le point A*, qui est le point-limite de l'ensemble des Bix.

Dans le cas actuel, on ne connaît pas la loi de formation du nombre décimal illimité dont nous venons de parler (n^ 135).

Comme exemple, nous donnons ici le calcul de la racine

RACINE GUBIQUB

cubique du nombre décimal 3,141692653589793238, à une unité près du 6* ordre décimal :

i02Hl ^

Dans cet exemple, les calculs auxiliaires sont réduits au minimum.

Les valeurs approchées par défaut sont 1 ; 1,4 ; 1,46 ; 1,464; 1,4645; 1,46459; 1,464591.

Les valeurs approchées par excès sont 2; 1,5; 1,47; 1,465; 1,4646; 1,46460; 1,464592.

Deux des valeurs approchées par excès sont égales, la cinquième et la sixième.

On peut se proposer aussi de calculer les valeurs appro-

chées de la racine cubique d'un nombre A, à - près, -

étant im nombre fractionnaire quelconque. Pour cela, il

faut trouver le plus grand multiple de - dont le cube soit

contenu dans A ; il faut donc trouver un nombre entier x tel que Ton ait la double inégalité

En multipliant ces trois nombres par ^ i on a la double

inégalité

Ao'

qui montre que x est la racine cubique à une unité près du nombre -—• • Donc

Pour avoir la racine cubique du nombre A à - près, on

multiplie ce nombre par le cube du nombre fractionnaire renversé^ on prend la partie entière du produit, on extrait la racine cubique de cette partie entière à une unité près, et on

multiplie le nombre ainsi trouvé par -•

EXERCICES

i* Extraire les racines cubiques des nombres 103823, 238328 et t 79592582707.