CHAPITRE III

NOMBRES INCOMMENSURABLES OU IRRATIONNELS o

147. Définition des nombres incommensurables ou Irrationnels. — Lorsque, dans la division des nombres entiers, nous nous sommes trouvé en face d'une opération généralement impossible, la nécessité de créer un nouveau symbole numérique pour représenter un quotient exact s'est imposée à notre esprit. La théorie de la mesure des longueurs nous a fourni immédiatement ce nouveau symbole, — que nous avons appelé un nombre fractionnaire, — et cette même théorie nous a indiqué les principales propriétés des nouveaux nombres.

Actuellement, nous venons de traiter deux opérations, en général impossibles aussi, quand on se borne à l'emploi des nombres entiers ou fractionnaires : la racine carrée et la racine cubique. Nous avons vu que, dans la plupart des cas, il n'y a pas de nombre rationnel {nombre entier ou fractionnaire) qui, élevé au carré, ou au cube, reproduise un nombre rationnel donné, A. Nous n'avons donc pu définir ni la racine carrée exacte, ni la racine cubique exacte, et nous nous sommes borné à étudier des opérations approchées, définies, d'ailleurs, d'une manière imiforme.

La théorie de la mesure des longueurs va nous permettre

(*) Le lecteur désireux de posséder complètement le mécanisme nouveau, fera bien de compléter la lecture de ce chapitre et du chapitre complémentaire, par la lecture des quarante premières pages de l'excellent ouvrage de M. J. Tannery « Introduction à la théorie des fonctions d'une variable. »

encore de lever cette difQculté: elle va nous procurer de nouveaux symboles numériques qui nous donneront, quand cela sera nécessaire, la racine carrée ou cubique exacte d'un nombre rationnel, et même, comme nous le verrons dans la suite, la racine carrée ou cubique exacte de Tun quelconque des nouveaux nombres, et des racines d'ordres plus élevés. La même théorie nous conduira aussi aux principales règles de calcul concernant les nouveaux symboles.

Supposons donc, comme cela a été fait antérieurement, que nous ayons choisi une certaine longueur, U, pour unité (n° 102), et que nous voulions mesurer une longueur incommnnsurable avec l'unité, c'est-à-dire ne contenant aucune partie aliquote de l'unité un nombre exact de fois. De pareilles longueurs existent : la géométrie nous apprend que la diagonale du carré construit sur l'unité de longueur est dans ce cas ; d'ailleurs la suite des développements que nous abordons maintenant, va nous conduire à former de telles longueurs, sans qu'il soit nécessaire de rien emprunter à la géométrie, en dehors de l'idée même de longueur. — Une pareille longueur n'est pas mesurable, à l'aide des nombres employés jusqu'ici.

Soit A une longueur incommensurable avec l'unité, U; divisons l'unité en n parties égales, n étant un nombre entier quelconque, et formons les multiples de cette partie

aliquote de l'unité, -; par hypothèse, aucun d'eux n'est

égal à A, mais ils finissent par dépasser A et cette longueur est comprise entre deux d'entre eux, consécutifs, à condition toutefois de regarder une longueur nulle comme étant un multiple de quelque longueur que ce soit (*) ; ces

deux multiples ont pour mesures — et » m pou-

{*) Cette idée, relative à la longueur nulle, correspond exactement à cette idée arithmétique que 0 est multiple de tout nombre.

vant être nul. Les deux nombres ainsi obtenus, — et »

s'appellent les mesures approchées de A, par défaut et par

excès ^ à - p7*ès. Il est clair d'ailleurs que le nombre m ne

peut être toujours nul, et qu'il croit môme indéfiniment

avec n, sans quoi le nombre finirait par être

moindre qu'un nombre quelconque et la longueur que ce nombre mesure, au-dessous d'une longueur quelconque; mais cette conséquence est absurde, puisque la longueur

mesurée par le nombre est supérieure à A.

Choisissons maintenant d'une manière quelconque une suite infinie de nombres entiers quelconques et croissants,

**ll ^81 ^8» 1 W|lï

et considérons, pour chacun d'eux, l'une des mesures ap-

prochées de A à — » —, , — , , près. Appelons

n, fij n^

A|, Aj, , Ajj^,

les longueurs mesurées par les nombres considérés. Cette suite infinie de longueurs,

''^11 ^%y 1 Aj^,

jouit des deux propriétés suivantes :

V Quelle que soit la longueur L, (ayant pour mesure le nombre rationnel e), si petite qu'elle soit, il y a toujours un nombre entier, /), tel que, pour toutes les valeurs de ji supérieures à p, on ait constamment

(•) On appelle différence entre deux longueurs distinctes, la longueur qu'il faut ajouter à la plus petite pour avoir la plus grande. Si Ton ne sait pas laquelle de deux longueurs A et A» est la plus grande, on représente cette différence par |A«— A| ou |A — AJ et cette écriture symbolique se lit « valeur absolue de An moins A » on « valeur absolue de A moins A^». Ceux qui ont lu les chapitres complémentaires de cet ouvrage comprendront sans peine la raison de cette désignation.

En effet, quel que soit l'entier p, on a toujours, pour les va-

leurs de fx supérieures à p, — < — et L^^ < Lp, en

appelant L„ et Lp les longueurs ayant pour mesures — et

Ut

— D'ailleurs, d'après la manière même dont on a obtenu rip

Aj^, on a jAjj^ — A| < LjjL et, a fortiori, \k^ — A| < Lp ; or, on peut prendre p assez grand pour que Lp soit moindre que Lg : il suffit que leurs mesures vérifient Tinégalité

— < e , OÙ - < fip ; et ceci est sûrement réalisé, pour

Tlp E

un certain indice, p, puisque les nombres n^ finissent par dépasser tout nombre donné. On a donc, dès que l'indice \i atteint et dépasse le nombre p,

|Aj,-A|<L^<Lp<L,.

On exprime cette propriété qu'ont les longueurs A^j^ de différer aussi peu que Ton veut de la longueur A, quand ji est assez grand, en disant que la suite

A|, Aj, , Ajji^,

a pour limite la longueur A.

On modifie à peine cette conception, en portant sur une même droite, dans le même sens, et à partir d'un certain point 0, les longueurs A et k^. Les extrémités des longueurs k^ finissent par être aussi voisines que l'on veut de

0 " ÀjÂ. Â^ À a7

l'extrémité. A, de la longueur OA, et le point A s'appelle

le pom^-/imi<e de l'ensemble des points A,, A,, ...., A^j^,

2* Il y a toujours un entier, p, tel que, pour toutes les valeurs de ji et fx' supérieures à p, on ait toujours

li, étant, comme précédemment, une longueur commensu-

rable avec Tunité, arbitrairement choisie, aussi petite que Ton veut.

Cela résulte de ce qui précède. Soit, en effet, p rentier tel que, pour fjt > p, fx' > p, on ait simultanément

|A^,-AI<Îl, et |A-A^|<iL„

on aura nécessairement \k^, — k^\ < Lg ; car si le point K est compris entre les points A^j^ et A^^,,

on a |Aj,, — Aj,| = [A^^, — A| -4- |A — k^\ ,

et si le point A n'est pas compris entre les points k^ et

A|jlM

on a toujours

|A^,-A^| = |A^,-AI-|A-A^| ou . |Aj^, — Ajj,| = |A — Ajj^l — |Aj^, — A|.

Par conséquent, on a toujours

|Ah.'-Aj,|<|A^,-A| + |A-A^|.

Or chacune des deux longueurs indiquées dans le second membre est inférieure à la moitié de Lg, si fx et fx' surpassent le nombre p déterminé comme il a été dit antérieurement; donc, dans les mômes conditions, la longueur mdiquée dans le premier membre est inférieure à Lg. On exprime cette propriété qu'ont les longueurs de la

suite A,, Aj, , Ajj^, de différer les unes des autres,

aussi peu que Ton veut, quand les indices sont assez grands, en disant que la suite des longueurs A^j^ est convergente.

Désignons la suite des nombres qui mesurent les longueurs k^ par

ûi, «a» î ^

Cette nouvelle suite jouit de la seconde propriété : elle est convergente, car Tinégalité

se traduit arithmétiquement par

et cette nouvelle inégalité a lieu dans les mêmes conditions que la première.

Mais rien ne nous permet d'affirmer que la nouvelle suite jouit de la première propriété, car nous ne connaissons actuellement aucun nombre que Ton puisse attacher à la longueur A et qui puisse servir de limite à cette suite.

— Nous allons montrer maintenant que, réciproquement, toute suite infinie et convergente de nombres rationnels, conduit nécessairement à Tidée de limite.

Considérons, en efi'et, une pareille suite

et considérons, en même temps, les longueurs qui ont ces nombres pour mesures,

■^lî ^2'i 1 -^{JLî î

portons toutes ces longueurs sur une même droite, dans le même sens et à partir d'un même point, 0. Nous allons faire voir que, à mesure que le rang grandit, on peut enfermer les extrémités de ces longueurs dans des intervalles de plus en plus restreints et se contenant mutuellement.

A cet effet, nous choisissons une suite infinie quelconque de nombres rationnels, décroissants et tombant au-dessous de tout nombre, quand leur rang est assez éloigné,

et nous désignons par

El, Ej, , EjjL, . ...,

les longueurs indéfiniment décroissantes que ces nombres mesurent.

La suite donnée étant convergente, il y a toujours un entier p,, tel que, pour les valeurs de fx et fx' supérieures à p„ on ait toujours

\%' — «ni < ^1» et, par suite, |A^. — A^j^l < Ej. Nous choisirons p^ de façon que ces deux inégalités aient lieu à partir de pi môme, et nous pourrons alors donner à Tun des indices la valeur p,, de sorte que Tinégalité, plus particulière, \A^ — ApJ < Ej, ait lieu pour toutes les valeurs de fx, qui viennent après pj. — Dès lors, toutes les

0 B, Ap, b;

longueurs A^j^ qui suivent Api, sont comprises entre les deux longueurs OB^ = kp^ — E^ et OB', = Ap, + E, , et les points A„ tombent tous, à partir de fx==p4, entre les deux points B, et BJ, dans l'intervalle B^B'^, d'une longueur totale égale à SE,.

Il y a de même un entier p„ tel que pour tous les indices fx et jx', égaux ou supérieurs à pj, on ait

l^ïx/ — «|xl < h^ et, par suite, lA^^^, ■— A^\ < Ej, ou, en particulier, |A — ApJ^ < E^.

Dès lors, les extrémités des longueurs k^ qui suivent Ap,, tombent toutes entre les extrémités des deux longueurs OBa = Ap, — Ej, OBi = Apj+Ea. Il nous reste à placer maintenant le nouvel intervalle, BjBg, par rapport au premier, BjBJ. Pour cela nous remarquons d'abord que p, n'est pas plus petit que p,; car, dès que Ton a «jjL' — «nl< h^ oû a aussi \a^t — ajj^|< e,, puisque e, est plus grand que e^; donc, à partir de l'indice p^, on a \a^f — a^\ < e, ; mais cette inégalité peut avoir lieu avant, et si l'on avait pris p, > pg, c'est que le nombre pi eût été mal choisi (*). Par conséquent, la longueur Ap, ne vient

(*) Le nombre pi indique en effet le plus petit indice à partir duquel Hnégalité |a„' — a„\ •< e| a lieu.

pas avant Ap, et elle tombe dans Tintervalle BjBJ. Deux cas peuvent alors se présenter : ou bien, en portant à partir du point Ap, deux longueurs égales à Ej, les deux points obtenus Bj et Bi, tombent entre B^ et Bj, ou bien Tun

d'eux tombe en dehors A.,. de cet intervalle ; si

cette dernière hypothèse se réalise, on peut supprimer la portion du nouvel intervalle qui est extérieure à l'ancien, soit BJBi soit BjBj, car les longueurs qui suivent Ap„ suivent A^j, et ne peuvent tomber en dehors de Tintervallc BiBj.

On voit donc que dans les deux cas on a formé un nouvel intervalle, tout entier contenu dans le premier, d'étendue inférieure ou égale à SE,, et à Tintérieur duquel tombent toutes les extrémités des longueurs qui suivent A;^. Nous continuerons à désigner les extrémités de cet interviille par B,B^. Et ainsi de suite.

Les extrémités les plus rapprochées de 0, B„ Bj, B,,

sont toutes à gauche des points Bi, B'a, Bi...... et se dé-

placent de gauche à droite, ou restent stationnaires ; les

extrémités les plus éloignées, BJ, B^, BJ, sont toutes

h droite des points Bj, Bg, Bg, et se déplacent de droite

h gauche, ou restent statioimaires. Entre ces deux groupes de points, il ne peut pas y avoir deux points différents de la droite, A et A', sans quoi la longueur B^^B' serait supérieure en étendue à une longueur fixe AA', tandis qu'elle ne dépasse pas ^E^, longueur qui tombe au-dessous de toute longueur donnée, quand [x grandit indéfiniment.

On admet qu'entre ces deux ensembles il y a un point Àf ), et ce point se nomme le potn^/imtVe commun aux trois

ensembles Bi, Bj, B^, TBÎ, Bi, B|^, , et

Ap Ag,...., AjjL, La longueur OA s'appelle la /onjfuewr-

limite des longueurs OA^; elle est aussi la limite des longueurs OBjj^ ou OB'^.

La suite dont nous sommes parti est une suite infinie, rationnelle et convergente quelconque, et, par suite, elle peut parfaitement nous conduire à une longueur commensurable avec Tunité, OA. Dans ce cas, le nombre a, qui la mesure, est la limite des nombres a„, d'après la définition de la limite qui a été donnée antérieurement {**); car on a \k^ — A| < 2E*, dès que p. surpasse pjt, d'où \a^— a\< Se*, dans les mêmes conditions; et le nombre 2tk est aussi petit que l'on veut.

On peut, du reste, opérer sur une longueur commensurable avec l'unité, OA, comme nous avons opéré sur les longueurs inconmiensurables, en prenant ses mesures appro-

chées à — » — > » — » près, les nombres entiers

fil, n^, , n , , croissant indéfiniment. On formera ainsi

des suites de longueurs ayant pour limite la longueur OA et, comme conséquences, des suites de nombres rationnels ayant pour limite le nombre a.

Si la longueur OA est incommensurable avec l'unité, comme nous l'avons supposé au début de tout ceci, nous ne connaissons pas de nombre qui la mesure : mais il correspond à cette longueur une idée numérique bien déterminée, car elle nous fait connaître toutes les longueurs^ commensurables avec l'unité et plus petites ou plus grandes que OA. Nous dirons alors qu'elle définit un nombre incom-

C) On ne peut pas établir rigoureusement Texistence du point-limite ; mais i*hypothëse que ce point existe n*a rien d'arbitraire : elle s'impose nécessairement à Tesprit humain.

(**) Se reporter aux no« 115 et 122.

ARITHM. HUMB.

:ji3 NOMBRES INCOMMENSURABLES OU IRRATIONNELS

mensurable^ a, qui partage tous les nombres rationnels en deux ensembles : Tnn contenant le nombre 0 et les nombres qui mesurent les longueurs plus petites que OA; Taulre, contenant les nombres qui mesurent les longueurs plus grandes que OA. Nous regarderons ce nombre comme étant attaché à la longueur OA, comme mesurant la longueur OA. Nous appellerons encore de pareils nombres des nombres irrationnels.

De cette façon, nous aurons un symbole numérique qne nous ne pourrons pas représenter à la façon habituelle, par chiffres, mais qui pourra toujours être comparé aux autres nombres, en se rappelant qu'il mesure une longueur donnée, OA.

148. Nombres égaux, Inégaux; divers modes de représentation. — Inverse d'un nombre. — Nous dirons que deux nombres sont égaux ou inégaux^ suivant qu'ils mesurent des longueurs égales ou inégales, et nous classerons les nombres dans le môme ordre que les longueurs qu'ils mesurent.

Nous pourrons alors évaluer, à l'aide de nombres rationnels^ un nombre irrationnel donné, avec autant d'approximation que nous voudrons, et assigner des limites supé- I loures à la différence (*) entre deux nombres quelconques. Alors nous pourrons dire, par une extension toute indiquée de l'idée de limite, qu'un nombre irrationnel, a, est la limite de la suite infinie, rationnelle et convergente qui le définit.

Au point de vue du calcul, il est avantageux de débarrasser autant que possible chaque nombre de l'idée de longueur et de ramener tous les calculs à effectuer sur les nouveaux nombres à des calculs ordinaires. Nous parvien-

(*) Nous appellerons évidemment somme ou différence de deux nombres, U^ aumbre qui mesure la somme ou la différence des longueurs mesurées par cou nombres.

drons sans peine à ce résaltat, en définissant un nombre irrationnel, a, mesure d'une certaine longueur A, comme la limite d'une suite infinie, ratioimelle et convergente

de nombres qui mesurent un certain système de longueurs ayant pour limite A.

Les nombres rationnels peuvent aussi être obtenus comme limites de pareilles suites : le nouveau mode de représentation des nombres n'exclut donc aucun des nombres antérieurement connus.

Tout nombre, rationnel ou irrationnel, est susceptible d'être représenté par une infinité de suites du genre de celles que nous avons rencontrées : car il y a une infinité de manières de choisir une suite infinie et croissante

de nombres entiers n^^ n„ , n„^, , et, par suite, de

former des suites convergentes de mesures approchées d'une longueur donnée, A; et même, avec une suite déterminée de nombres entiers croissants, n , on peut former une infinité de suites de mesures approchées, en variant U loi suivant laquelle Tune d'elles contient, pour certains indices, des valeurs approchées par défaut, pour d'autres, des valeurs approchées par excès.

En particulier, on pourra prendre des valeurs approchées

^ w m im ' i^ p"*'- ^'' ''*'*''"' ^pp'*"-

chées jouissent encore ici des propriétés signalées, à propos des développements décimaux que nous avons déjà rencontrés.

. 1* On passe d'une valeur approchée par défaut à une valeur approchée par excès, en augmentant la première d'une unité de l'ordre décimal de son dernier chiffre. Ceci résulte de la définition même des valeurs approchées par

défaut et par excès f -^ et -^ \ .

2* Les valeurs approchées par défaut forment une suite

croissante (dont les termes ne vont jamais en diminuant). Les valeurs approchées par excès forment une suite décroissante (dont les termes ne vont jamais on augmentant).

les deux valeurs approchées

Car soient — :: et

à — :: près; elles sont reliées au nombre a par la double inégalité

or cette double inégalité peut s^écrire

on multipliant par 10, haut et bas, chacun des deux nombres

^^^♦1 ^jt-i

a hf.

fractionnaires qui y figurent. D'ailleurs les valeurs appro-

chées à ~~^i près sont des multiples consécutifs de TTilTi'

et comprennent le nombre a : ils sont donc compris entre les deux multiples précédents, Tun d'eux pouvant être égal Il un de ces nombres.

Dans les figures explicatives placées plus haut, oiî a marqué i lOoj^- ^ lQ(«,^-hi)

les onze multiples de ^TJTm' depuis —^^ jusqu'à »+i "

et l'on a désigné les premières valeurs approchées par a^j^ et ù^, les secondes, par a^j^^ et à^^i^ . Réciproquement, étant donné un développement décimal

quelconque, limité ou illimité, il donne naissance à deux suites de valeurs approchées qui jouissent de toutes ces propriétés et qui, par suite, définissent une longueur limite OA, commensurable ou incommensurable avec l'unité (n" 122, 135, 146). Le nombre qui mesure cette longueur s'appelle la valeur du nombre décimal considéré. Si deux suites infinies, rationnelles et convergentes,

ûj, a„ ...., a^, ......

définissent le même nombre, les longueurs qu'elles mesurent ont la môme limite, OA; par conséquent, au-delà

d'un certain rang, p, les longueurs corres-

-^ ^ • ^ pondantes aux nombres

des deux suites tombent toutes dans un intervalle, BB', ayant pour milieu le point A et arbitrairement choisi. En d'autres termes, ayant arbitrairement choisi le tiombre rationnel c, on peut toujours trouver un entier p, tel que pour toutes les valeurs de ji supérieures à p on ait

Réciproquement, si cela a lieu, les deux suites conduisent à la même longueur limite OA. Car soit A la limite de la suite des longueurs A^^ qui correspondent aux nombres de la première suite, il y a, quel que soit s, un entier p, tel que, pour les valeurs de (x supérieures à p, on ait

lAj,— A|<-L., et |Bj,— Aj,|<-L,; on a donc, dès que

fx surpasse p, |Bjj^ — A| < L, ; ce qui montre que la suite des longueurs B^^^ a pour limite la longueur A.

On peut adjoindre au critérium d'égalité que nous venons de trouver, une autre règle souveçnt commode et presque évidente : si Pon sait que deux nombres a et b sont toujours compris entre deux nombres variables a» et h^y et dont la

différence tend vers 0 (*), on peut affirmer gîte les deux nombres 9l et h sont égaux. Car s'ils étaient distincts, les longueurs qu'ils mesurent seraient différentes, et la longueur variable, comprise entre les extrémités des longueurs OAj^ et OBjj^, qui correspondent à a^ et h^^ serait supérieure

à la longueur AB ; elle ""q irli B B~ ^^ pourrait donc pas

^ ^ tomber au-dessous de

toute longueur donnée, ce qui est cependant admis.

Si deux suites infinies, rationnelles et convergentes, définissent des nombres différents, les extrémités des longueurs Ajj^, qui représentent les nombres de la première suite, et celles des longueurs B„, qui représentent les nombres de la seconde suite, finiront par tomber dans des intervalles absolument distincts, ayant pour milieux respectifs les deux points A et B (**), et d'étendues moindres qu'une

longueur choisie à l'a-

1 i' i i' vance, aussi petite que

0 A B l'on veut. Si donc B dé-

signe la plus grande des deux longueurs, et h la mesure d'une longueur rationnelle plus petite que AB, on aura à partir d'un certain rang

Réciproquement, si cela a lieu, il est clair que les longueurs Bjj^ ont une limite au moins égale à A + La (U étant une longueur de mesure A), et, par suite, supérieure à A.

C'est donc à ce caractère, purement arithmétique, comme les précédents, que nous reconnaîtrons qu'un nombre b est supérieur à im nombre a.

(*) On dit qu'un nombre variable tend vers 0, quand il tombe au-dessous de tout nombre donné, à un certain moment. (**) Les notations actueHes ont les mêmes sens que précédemment'

NOMBRES INGOMMBNSURABLBS OU IRRATIONMBLS 327

Pour terminer ce paragraphe, nous allons définir Vinverse d*nn nombre a.

Considérons un nombre quelconque, a, autre que 0, et défini par la suite infinie, rationnelle et convergente,

«!,«,, a„, , et soit A la longueur qu'il mesure.

Les longueurs qui représentent les nombres a^, se rapprochant de plus en plus de la longueur OA, on peut être

assuré qu'au-delà d'un certain rang, il n'y a ""o L î Â^ i' plus de longueurs nul-

les parmi elles, et qu'elles sont même supérieures à une certaine longueur La, inférieure à A, et ayant pour mesure le nombre rationnel A. Rien ne nous empêche d'ailleurs de commencer la suite à ce moment, car nous pouvons négliger au début d'une suite infinie autant de termes que nous voulons.

Cela posé, considérons la nouvelle suite

il i .

elle aussi est convergente, car on peut écrire

et Ton est ainsi conduit à l'inégalité

1 LI/lVU^I

puisque le nouveau dénominateur. A', est moindre que l'ancien, a^a^\ or, nous pouvons toujours rendre le second membre moindre qu'un nombre rationnel quelconque, e ; il suffit de poser \a^^ — a^}^ < A's, inégalité certainement réalisée, dès que }k et }3! sont assez grands, puisque la suite des a^ est convergente. La nouvelle suite est donc convergente ; par suite, elle définit un nombre, 6, que l'on

représente par -i et qu'on appelle Vinverse du nombre a.

328 NOMBRES INCOMMENSURABLES OU raRATIONNELS

Quelle que soit la suite que ron prenne pour définir le nomare a, on arrive toujours au même inverse. — Car si l'on prend deux suites convergentes, définissant le nombre a,

«Il «i» 7 «p

et si Ton suppose qu'elles ne contiennent que des nombres supérieurs à un certain nombre rationnel, A, il est aisé de montrer que les deux suites

il 1

définissent le môme nombre ; en effet, la différence entre deux termes de même rang est

%<^Il

et ce second nombre est inférieur à

' «^ r - or, ce-

iui-ci est inférieur à un nombre quelconque, e, dès que i^ atteint et dépasse un certain entier jo, puisqu'on peut toujours aller assez loin dans les deux suites données pour que la différence {a^^ — a^\ soit moindre que hh. Donc, etc.

Les inverses de deux nombres différents sont classés en sens

opposé des nombres euxmêmes.

Car, soient a et A

deux nombres non nuls,

. et définis par les suiteb

infinies, rationnelles el

convergentes,

0 JL, B

ài, ^2»

•1 i*tl,> •1 V

NOMBRES INGÔMMËNStnElÂBLES OU IRRATIONKBLS 329

Au-delà d'un certain rang, les longueurs qui représentent les nombres de ces suites ont pour extrémités des points qui tombent dans des intervalles aussi restreints quo. Ton veut et ayant pour milieux respectifs les points A et B ; cos longueurs sont donc alors toutes comprises entre deux longueurs commensurables avec Tunité, La et La, prises arbitrairement, Tune au-dessus de OA et OB, à la fois, ; l'autre, au-dessous. Nous pouvons d'ailleurs supposer que les suites commencent à ce moment. Si, d'autre part, nous supposons a > ô, nous aurons, à partir d'un certain rang, a^> à^-i-ly l étant un certain nombre rationnel, et, par suite,

puisque a^^ — ^ji > ' ^t a^b^ < A:*. Nous avons donc

au-delàd'un certain rang. Donc rinverse de b est plus graiid que rinverse de a,

La mesure d'une longueur B, lorsqu'on prend une longueur A pour unités est IHnverse de la mesure de A, B étant prise pour unité

Si les deux longueurs A et B sont commensurables entre elles, c'est-à-dire s'il y a une partie aliquote de A qui soit aussi partie aliquote de B, le théorème est évident : car soit C cette partie aliquote commune ; supposons-la contenue n fois dans A et « fois dans B ; le nombre - est la

mesure de A par rapport à l'unité B, et le nombre - » la

mesure dé B par rapport à l'unité A. Or chacun de ces nombres est l'inverse de l'autre ; le théprèmis est donc établi. Supposons maintenant que A et B n'aient pas de commune mesure, et désignons par a la mesure de A par rap-

330 NOMBRES INC0MMENSURABLB3 OU IRRATIONNELS

port à Tunité B, par ô, la mesure de B par rapport à Tunité A. Le nombre a est compris entre deax mesm*es ap-

prochées quelconques de A, par rapport à B, à - près, -

ît + 1 i P V

et : le nombre - est donc compris entre —=—7 et-

p » a ^ in-i n

Nous allons démontrer maintenant que le nombre b est aussi compris entre les mômes nombres. Pour cela, rappelons que le nombre - est la mesure d'une longueur Aj,

f moindre que A, par rapport à B ; cette longueur Ai est

commensurable avec B; par conséquent, la mesure de B

P par rapport à Ai est -9 et ce nombre exprime que B contient p fois la n« partie de A^ que nous appellerons Cj. Cela posé, puisque A^ est plus petit que A, la n« partie de A, C, est supérieure à Cj ; cette longueur C est

donc contenue au plus p — 1 fois dans B, et par suite la

mesure approchée par défaut à - près de B, la longueur A

étant prise pour unité, est au plus ^-- — ; la mesure appro-

chée par excès est donc au plus -1 et Ton est certain que h

est inférieur à -• On démontrerait de môme que h est supén

rieur à ^ , » Les deux nombres - et ô sont donc tous n-f-1 a

deux compris entre . et -•

Mais la différence entre ces deux nombres est

P JP ^ P. ^ JP ^ 1 .

n n-Hi n(n-t-i) n-f-1 n'

p le nombre — -r est moindre qu'un nombre rationnel quel-

conque, supérieur à 6 ou à -> le nombre - devient aussi

petit que Ton veut, quand p et, par suite, n augmentent

NOMBRES UiCOMMJBNSURABLBS OU IRRATIONNELS 331

indéfiniment; donc le produit ^ . X - tend vers 0. —

Par suite, les deux nombres - et à sont égaux.

Il résulte de là que si une longueur reste fixe, et si Punité qui sert à la mesurer change^ sa mesure varie en sens inverse de Vunité.

Car soit A une longueur mesurée successivement à Taide de deux unités différentes, Ui et Us ; désignons par a^ et a%

les deux nombres qui la mesurent. Les nombres — et -

sont les mesurés de Ui et Uj par rapport à A. Si donc

D, "> U, , on a — > — » et, par suite, a^<Ca^. L'énoncé

précédent n'est qu'une façon de traduire ce résultat.

Enfin énonçons nettement les résultats suivants, qui sont des conséquences immédiates de la définition de l'inverse : .

Le nombre 0 n^a pas d'inverse.

Si b est Vinverse de a, a est aussi l'inverse de b.

149. Addllion et soustraction des nombres rationnels on irrationnels. — Étant donnés deux nombres rationnels ou irrationnels, a et 6, mesurant deux longueurs doimées A et B, il est naturel d'appeler somme de ces nombres, le nombre qui mesure la longueur-somme de A et de B.

Nous appellerons de même différence de ces deux nombres, le nonibre qui mesure la différence des deux longueurs A et B.

Supposons,, pour fixer les idées, a > 6, et désignons par A„ et B„ les longueurs qui sont mesurées par les nombres a et 6^, a^ et b^ étant des nombres quelconques des deux suites rationnelles

6j, èj, ...... b^t

Mr

ii?

qui définissent les nombres a et b. Les longueurs A» et Bj^ ont pour limites respectives A et B.

Aux deux suites

correspondent les suites de longueurs

Ai + Bj,, Aa-nBa, , A^^^-

A,-B„ A,— B„ , Aj, — Bj,,

qui ont respectivement pour limites A -hB et A — B.

En effet, quelle que soit la longueur L^, ayant pour mesure le nombre rationnel e, il y atoujours un nombre entier p, tel que pour les valeurs de (x supérieures à p, on ait toujours

\^-K\<zK

|B-BJ<.L,;

«ii+V

on a donc sûrement, à partir de cet indice, (**) |A4-B-A^--Bj,l<L, et |A-B-Aj, + Bj,l<L,;

ce qui démontre que les deux dernières suites sont conve^ gentes et ont pour limites respectives A + B et A— B. Donc les deux suites

a^ + h^, aj 4- ôj, ...

définissent les nombres a-tb et a — i, somme et différence de a et de ft.

On peut démontrer directement, sans faire intervenir ridée de longueur, que si Ton suppose les deux suites

(*) Puisque a > 6, on peut supposer les nombres de la première suite supérieurs à ceux de la seconde. (Voir ce qui précède.)

(**) Les deux différences |A'-f-B— A^j^ — Bjj^l et |A — B — A^j^ + B^^l ne dépassent pas la somme [A— >- AuJ-|-|B-;B^|. Gela a déjà été expliqué antérieurement.

NÛMBRBS IKGOMMENSURABLES OU IRRATIONI(KLS 333

convergentes, les suites

«1 + ^1, a, -+-^8, , ûji + ^jt! f

a, — ^„ a, — ôj, , ^t*~"V

(en supposant a toujours plus grand que 6») sont convergentes, et que, par suite, elles définissent deux nombres, a et p, que Ton appellera alors la somme et la difîérence des nombres a et ^ définis par les deux premières suites. Nous aurons un exemple de ce genre de raisonnement dans la multiplication.

Les deux opérations que nous venons de définir sont des opérations uniformes^ c'est-à-dire que chacune d^elles conduit à un résultat bien déterminé.

Car si Ton considère deux suites infinies, rationnelles et convergentes, pour définir chacun des nombres a et 6,

( «1? «jî . . . . , fljj^, .... ,

( *i) *ai * V •• ••' b

les suites de longueurs qu'elles mesurent ont la môme limite, A ou B ; par conséquent les deux suites

• A, -+-B,, A,-hBj, , A^-+-Bji> ,

. Ai + Bl, A; + Bi, , A;-f-B^,

ont pour limite commune A + B ; les deux suites

ûj + ^i, «j-t-^fi «jx+^Hi' '

a'i + ^i, «i + ^i, , ''il + ^ili

définissent donc le même nombre. Môme raisonnement pour les suites relatives à la différence des deux nombres a et b.

L'addition est une opération commutative^ c'est-à-dire que Ton aa-*-ô = ô-Ha.

334 IfOMBRfiS INCOMMBNSURABLBS OU IRRATIONNELS

En effet, les deux nombres a et & étant définis par I^ deux suites

ûjll •

ày,y .

les deux nombres a-^-b

et

*Tha

sont définis

par

les

suites identiques

• » ûj,

donc ils sont égaux.

L'addition jouit de la propriété a+0 = a. En effet, tout nombre rationnel, r, peut se définir par la suite

et, en particulier 0, par la suite

si donc le nombre a est défini par la suite

le nombre a+0 est défini par la suite identique

a,-+-0, a,-+.0, aj^H-O,

La soustraction jouit d'une propriété analogue a — 0 = a.

Il nous reste à définir la somme d'un nombre quelconque

de nombres a, ft, , /, rationnels ou irrationnels. Si les

nombres a, ^, , / mesurent les longueurs A, B, ...;., L,

nous pouvons appeler «omme de ces nombres, le nombre qui

mesure la somme des longueurs A,B, , L. Nouspouvons

aussi procéder de proche en proche, et appeler a+b+c la somme du nombre a+ft, que nous savons former, et de c; puis a+b-^c+d^ la somme du nombre a-f-ô+c et de d. Et ainsi de suite. Nous en concluons de suite que si les nombres a,, ft, , / sont définis par les suites

• • • 1 *ix*

le nombre a+^-h -f-/ est défini par la suite

fli + ^iH h/|, a^-hb^-ï h/,,..., aj^-4-*^H h/^,...

Il est facile d'établir maintenant que Taddition est une opération associative^ c'est-à-dire que pour effectuer une somme, on peut d'abord effectuer des sommes partielles, fournies par certains groupements des parties de cette somme, puis former la somme dé celles-ci.

Bornons-nous à établir que aH-6-Hc=a-+-(i-f-^), [à+c) désignant la somme b-hc effectuée. Cela résulte de ce que, si Ton désigne par

«H «Jl 1 V

*n *ji ï à

^1» ^fi 1 ^(1»

les suites qui définissent les nombres a, b et c, les deux nombres a-hb-^-c et a 4- (ô -h c) sont définis par les suites identiques

a^ + b^ + c^, a,-|-6,-Hc„ , %-^b^ + e^, ......

«l + (^-^c,), a,-4-(ft,-hc,), , ajj, + (6^-+-Cj^),

Lorsqu'un nombre a est plus grand qu'un nombre 6, la longueur A correspondant à a est supérieure à la longueur B, qui correspond à b. Il y a une longueur, C, et une seule qui, ajoutée à B, reproduit A. Il y a donc un nombre, c, et un seul qui, ajouté à i, reproduit a. Ce nombre est y excès de a sur 6, la di^érence entre d et ft, et l'opération qui donne le nombre c est la soustraction. On peut donc ainsi définir la soustraction comme opération inrerse de Taddition.