Multiplication des nombres rationnels ou Irrationnels

— Considérons deux nombres quelconques, a et i, définis par les deux suites infinies, rationnelles et convergentes,

«47 «ai » «p

336 NOMBRES INCOMMENSURABLES OU IRRATIOî^NELS

nous allons montrer que la suite

est aussi rationnelle et convergente

Coînme elle est évidemment rationnelle, îî suffit d'établir le èecond point.

Pour cela, nous désignerons par a la différence entre a^» et Ojj^, par p la différence entre b^> et b^, dételle sorte que Ton ait

V = S+* et . 6^. = 6j,+ p,

ou a^' = (i^—* et b^. = b^'\-^,

ou a^'^a^-^-a et 'b^' = b^—?,

ou a^. = a^^cL et i^t,' = b^—^\

alors la différence \a^'b^' — o^b^\ sera égale à

«^ii+P«{x + «P ou à "M^t + ap— P^jxl

ouà |paj, + «P — «^txl oui |aôj^4-paj,-ap|.

On aura donc toujours

Cela posé, désignons par y le plus grand des deux nombres a et p, ou un nombre supérieur à a et p, et les dépassant d'ailleurs d'aussi peu que l'on veut ; appelons, en outre, A:, un nombre rationnel supérieur aux nombres des deux suites a^ et b^. Nous aurons nécessairement

or on peut rendre 3k^ plus petit qu'un nombre quelconque,

e J il suffit de prendre y < ;r7 • Nous voyons donc qiic si

ok

on prend a et p moindres que -71 on a

on

IV*h-'"~Vh^'<^*'

d'ailleurs, comme les deux suites a„ et 6„ sont converçentes, les deux nombres a et p sont moindres que ^» dès

NOMBRES mCOMMENSURABLES OU IRRATIONNBLS 337

que fx et fi' dépassent un certain nombre entier, p; donc, à partir d'un certain rang, p, Tinégàlité précédente est toujours satisfaite et la suite a^b^ est convergente.

Cette suite définit donc un certain nombre, c; nous ap* pellerons ce nombre le produit de a par b et nous le représenterons par a6, de sorte que ab = c.

La multiplication est une opération uniforme^ c'est-à-dire que quels que soient les modes de représentation adoptés pour deux nombres a et b^ elle ponduit toujours au même résultat.

Car soient

û'n «il ^1 1 «^1

deux suites infinies, rationnelles et convergentes, définissant le même nombre, a, et

*ii *2i • V »

*n *8» f *Ji,

deux suites de même nature définissant le même nombre b ; les deux suites

fli&j, a,6„ t ajj^éjj^, ,

définissent le même nombre, ou, ce qui revient au même, la différence la^6^ — a^b^\ est moindre qu'un nombre quelconque, c, dès que fx dépasse un certain nombre entier, p. Ceci se démontre par un raisonnement complètement semblable à celui employé .dans la définition du produit ab,

La multiplication est une opération commutative^ c'est-àdire que dans un produit de deux facteurs on peut échanger entre eux les deux facteurs, ou que l'on a ab = ba.

Supposons, en effet, que les deux nombres a et é soient définis par les, suites convergentes) et rationnelles

ARITHM. HUMB. 22

alors les deux nombres ab et ba sont définis par les dem suites identiques

a^éj, a,6„ , a^^^ij^^, . ...,

Ml» Mil » *,iV ;

donc ces deux nombres sont égaux.

La multiplication jouit des deux propriétés A X i = A et A X 0 = 0.

En effet, les deux nombres i et 0 peuvent se définir, dans le mode actuel de représentation, par les suites

soit alors a^^ a,, , a^, , la suite qui définit le nombre a ; les deux nombres a X i et a X 0 sont définis par les deux suites

a, Xi, flfXi, , a^Xi, ,

fliXO, a,XO, , a^XO,

et Ton obtient ainsi les deux nombres a et 0.

, Pour définir un produit de plusieurs facteurs, on procède de proche en proche : ainsi le produit a. b.c ....l s'obtient en multipliant d'abord a par A, puis le nombre obtenu; par c, puis le nouveau résultat par d; et ainsi de suite. Si Ton représente par

«1» «tï 1 %i t

*1» *i» » *jJLf f

Ci • Cm* •••••• C,

les suites qui définissent les nombres, a, ^, c, ....,/, le

nombre ab sera défini par la suite

Mil «Al • %^^^ ;

le nombre abc par la suite

Mi^u ûtVi» t «ii^piV '

etc., et enfin le nombre abc. . . 2 par la suite

«iVi--«'tf <i%b^c^, . .1^, , a^b^c^...l^,

Cette suite n'est pas altérée si Ton change Tordre des facteurs d'une façon quelconque ; elle n'est pas altérée davantage si l'on réunit certains facteurs entre eux, en effectuant leur produit. Donc :

!• Dans un produit d'un nombre quelconque de facteurs on peut écrire les facteurs dans P ordre que l'on veut;

2* La multiplication est une opération associative.

Enfin la multiplication est une opération distributive par rapport à Vaddition^ c'est-à-dire que le produit d'une somme par un nombre a est la somme des produits des diverses parties par a.

Bornons-nous à démontrer que l'on a

a(b'\-c) = ab-hac\ pour cela, désignons par

«11 «8» f «jii

^11 ^a. 1 *ji»

les suites infinies, rationnelles et convergentes qui définissent les nombres a^ b, c\ alors les suites

Û|C|, ûfjCj, , «ji^fji» •••••»

ft| -i- Cj, Aj -t- C„ , b^-^rC^, .....

sont rationnelles et convergentes et définissent les nombres ab^ ac, 6 4- c. Les deux nombres a{b -l- c) et aô -h ac sont définis par les deux suites infinies, rationnelles et con-

vei^entes,

^i{ài'^c^\ a,(6,-|-c,), ...... a^{b^-^e^), ,

a^éj + a^Cj , a,é, -+- a,c,, , a^b^ H- a^j^Cj^^, ;

or ces deux suites sont identiques ; donc elles définissent des nombres égaux.

On démontrerait de môme que les deux nombres a{b'^C'{' -hl) et ab-^^ac-h- -Hn/ sont égaux.

Lorsqu'on écrit le nombre ab-hac-h 4- a/ sous la

forme a{b -hcH- -+-^ on dit que Pon met a en facteur (*).

Telles sont les principales propriétés de la multiplication.