DlTision des nombies rationnels ou irrationnels

Nous définirons la division comme opération inverse de la multiplication. Étant donnés deux nombres a et 6, dont Tun, 6, n'est pas nul, nous appellerons 9u(7^ien^ de a par b un nombre c qui, multiplié par 6, reproduit a. Les deux

nombres a et 6 se nomment dividende et diviseur ; le

a quotient, c, se représente par le symbole r-

Nous allons montrer d'abord que le quotient existe ; pour c^a, il nous suffit de rappeler que le nombre non nul, b^ a

un inverse, 7; d'ailleurs si l'on désigne par ôj, 6j, ,

(*) On peut déduire de là la règle de multiplication de deux sommes, comme au n<» 39. On peut môme en déduire le produit d*une somme S par une différenée de la forme o' — fr'-f-c', par exemple. Car soient

S = a-j-ft-hc + d et S' = o' — fr'-4-c' ;

on a S' -I- 6' = a' -H c ;

par suite, SS' + S6' =(a-f- h-hc-hdjia^ H-c'),

SS' H- Sb' r= oa' 4- 60' -f- ca' -h da' -\- ac'-hbc' + eC + de' ; or 86' = af-hbV -i- c6' -+- dô' ;

donc on a SS' = aa' -i- ba^ -i- ca' -h da^ ^ ac' -h bc' ^ ce' -h d^ -af-bb'^cb'-db'.

Ce résultat diffère du résultat relatif à deux sommes, en ce que les termes qui proviennent du terme à soustraire, doivent être aussi soustraits dans le résultat.

NOIfBRBS INGOMMBNSURABLBS OU IRRATIONNELS 341

*tti la suite (*) qui définit le nombre 6, son inverse y

est défini par la suite r-i r-i » r-» , pourvu que

la suite des nombres b^ ne contienne pas de nombre nul, ce que Ton peut toujours supposer (n* 148) ; il en résulte

que le produit d'un nombre b par son inverse r est égal

à Tunité. Cela posé, considérons le nombre aXr ou

T X a ; le produit de ce nombre par 6 est a X t X ^ ou

a ; donc le nombre a X r est le quotient de a par 6, et

lia l'on peut écrire aXT=TXa = T*

Il nous reste à faire voir maintenant que ce nombre est unique : pour établir ce point, il suffit évidemment de montrer que si Toumultiplieunnombrenonnul, &, pardeuxnombres inégaux, c et c'y les produits obtenus sont inégaux. Désignons, à cet effet, le plus grand des deux par c', et par

^i» ^t» » ^jt» »

M» ^î» 1 ^jfci • • • • •

les trois suites qui définissent les nombres 6, c, <f. A par^ tir d*un certain rang, p, nous aurons nécessairement b^>h et c'^> c^-^-h, A et A étant certains nombres rationnels ; par suite ^^^'^> ^^^\x.'^^^^^ ®^' ^ fortiori^ ^vPu. > *ti^jji + **- Nous voyons donc que le nombre 6c', qui est défini par la suite des nombres f^^^'^% est plus grand que le nombre 6c, défini par la suite des 6^c^. La division est donc une opération uniforme.

(*) Il est entendu que, dans cet exposé^ sauf quand cela sera dit expressémentf et plus tard, les suites employées- sont rationnelles et convergentes.

342 NOMBRES mCOMMBNSURÂBLES OU IRRATI0NNBL3

La division jouit encore des propriétés évidentes j = a, -=0, et 3 = 1.

Cette opération se ramène à la multiplication ; il suffit, pour le voir, d'énoncer explicitement le résultat établi antérieurement : on obtient le quotient de a par b, en multipliant a par tinverse de b.

On eût pu établir autrement les résultats qui précèdent : partir des deux suites

*i» *i» t *jii •••••

qui définissent a et 6, remarquer que la seconde définissant un nombre non nul, on peut supposer tous les nombres qu'elle contient supérieurs à un certain nombre rationnel, h^ et former la suite

ai aj a

ai 0^ b^

montrer ensuite que cette suite est convergente et en conclure qu'elle définit un nombre, c. Ace moment, il est visible que le nombre c, multiplié par i, donne pour produit le nombre a ; c'est donc le quotient de a par h.

On démontrerait enfin que ce résultat est unique, en considérant d'autres suites

"I» «21 9 fljjtl • ••M

définissant les nombres a et 6, et en montrant que les deux suites

al ai a

définissent le môme nombre.

152. Déflnltton du radical arithmétique. — Soit m un nombre entier donné. La puissance m^ d*un nombre entier quelconque est un autre nombre entier, qui contient les mêmes facteurs premiers que lui, mais avec des exposants 971 fois supérieurs à ceux qu^ils ont dans le nombre donné. La puissance m« d*un nombre rationnel irréductible quel-

conque -z est le nombre irréductible r- : ce nombre est

irréductible, car les nombres a*" et p», ayant respectivement les mêmes facteurs premiers que « et p, n'ont aucun facteur commun.

Il résulte de là que si mi nombre rationnel, réduit à sa plus simple expression, n'a pas pour termes deux puissances m^ exactes, il n'est la puissance m* d'aucun nombre rationnel. L'énoncé de cette propriété s'applique aux nombres entiers,, dont chacun peut revêtir la forme fractionnaire, 7»

Cela posé, considérons un nombre, a, qui ne soit la puissance m« d'aucun nombre rationnel, — s'il est lui-même rationnel, — ou qui soit irrationnel, et cherchons les valeurs

approchées de la racine m« de a, à ttt* rr-,> » — » ••••

près. En procédant comme nous l'avoiis fait dans le cas de la racine carrée et de la racine cubique, nous appellerons

valeurs approchées par défaut et par exeès^ à — près^ de la

1 Ptt Pa + l

racine m* de a» les deux multiples de — ;: » -^ et —*

^ lO»* W 10»*

qui vérifient lia double inégalité suivante :

Désignons alors par a^, a„ a,, , a^^ la suite dçs

valeurs approchées par défaut, et par

344 NOMBRES INCOMMENSURABLES OU IRRATIONNELS *ii *2i *si •••••» *l^'

la suite des valeurs approchées par excès. '

La première suite est croissante^ la seconde est décroissante ; car la doiile inégalité écrite plus haut peut s'écrire ' encore

et elle montré que la valeur approchée par défaut, à TTjrjTi

très , n'est pas moindre que la précédente,- ^^^-^ de même

la valeur approchée par excès, à ^,^ près, n'est pas supé-

10(PmH-1) rieure à celle qui la précède, iZ+T^ (^^^^ ^® V^^ précède»

nM48).

La différence entre éj* et a^i est — ; elle. tend vers 0»

quand fx augmente indéfiniment.

Si donc on porte sur une droite, h partir d'un môme point 0, et dans le même sens, des longueurs

"O ~" A,Â. AJ] ^ B^ B. B»

. OAj, OA,, ...... OAii, , ayant pour mesures les nombres

ai, «2, , aji, , et des longueurs OBi, OB,, , OBjx, ,

ayant pour mesures les nombres ft^, ^j, .,..., ôy., , le

point mobile qui décrit l'ensemble des points Aji, marche de gauche à droite, ou resté stationnaire, à certains inoments, le point mobile qui décrit l'ensemble des points B{jl, marche de droite à gauche, ou reste stationnaire, à certains moments ; le premier point est toujours à gauche du second, et la distance qui les sépare, A{jlB(i, tombe, lorsque fi est assez grand, au-dessous de toute longueur. Donc, ces

deux ensembles de points ont un point-limite conimun, A, et les longueurs OA(i, OB^l ont pour limite commune OA. Le nombre, a, qui mesure cette longueur OA est la limite commune des deux suites a|i et Aji et se nomme la racine m* de a.

Nous allons établir maintenant que la puissance m« de a est égale à a. Nous nous appuierons, pour cela, sur les propriétés suivantes :

Si deux nombres sont inégaïucy leurs puissances m^ sont inégales^ et la plus grande des deux correspond au plus grand des deux nombres.

Soit, en effet, a < * ; on a a* < ai, d*après une propriété établie au début de la division, et ai < 6* ; donc a* < ô* ; de môme a' < b\ et b^a < 6' ; donc a' < 6» ; et ainsi de suite.

Si b désigne un nombre plus grand que a, on a l'égalité suivante :

Car, en multipliant la différence b — a successivement par 6»»-*, ô«-«a, ô«— V, , ona(nM2)

et la somme de ces nombres est ô"» — a»».

Revenons maintenant aux suites des a^ et b^^ qui nous ont servi à définir le nombre a. La longueur OA est toujours comprise entre OA^j^ et OB^^^, quel que soit fx ; on a donc toujours a^<Ca<Cb^\ d'où «]!<«'"< ^ ; d'autre part, à partir d'un certain rang, p, les longueurs des deux suites sont moindres qu'une certaine longueur La, supérieure à OA, et. ayant pour mesure le nombre rationnel A. On a donc d'abord,.

bm — flw = (j — a Kô'"-*-f-6"»-*a 4- 4-a!?~*)f'

*'\i, *•(! yy^ ^^ii'^ jA H- i*^^ ^^ H» '•

6t ensuite,

im m ^ mA"»"*

Cette différence tenH vers 0, quand l'indice fx augmente Indéfiniment ; donc les deux nombres a et a»», tous deux compris entre a^ et A^, sont égaux.

Nous appellerons donc racine m* de b, onradical arithmétique (tordre m portant sur un nombre a, un nombre a qui, élevé à la puissance m, reproduit le nombre a. Nous désignerons ce nombre par le symbole "\Ja^ qui se Ut : racine m* de a.

Un nombre n^a qu'une racine m* ; car les puissances m*' de deux nombres distincts sont distinctes.

La racine m* de 0 est 0; celle de 1 est i. yâ doit être considéré conmie égal à a, V^ n'a aucun sens. La racine carrée se représente par yâ ou, pour abréger, par ^a

Il nous reste maintenant à montrer qu'on peut définir le nombre a d'une infinité de façons, à l'aide de suites convergentes. Pour cela, considérons une suite infinie de nombres entiers croissants

'^ti*

et prenons à chaque fois les valeurs approchées de la racme m* à -> —, , —, près,.c est-à-dire, pour — »

les deux nombres -t et -i tels que Ton ait

« fp U^istn

nous aurons nécessairement, diaprés ce qui a été dit plus haut,

si donc nous formons une suite infinie de nombres rationnels,

^1» ^t» • • • • > C|jt»

en prenant à chaque fois Tune des deux valeurs approchées,

la suite ainsi obtenue aura pour limite le nombre «. Car le

nombre « est compris entre e^. et la seconde valeur appro*

chée qui correspond au nombre n|& ; par conséquent la difTô-

rence entre a et le nombre c^ est moindre que la différence

entre les deux valeurs approchées qui correspondent au

nombre n|i, c'est-à-dire moindre que — • cette différence

tend donc vers 0, quand Tindice [a augmente indéfiniment. Ce qui précède nous montre qu'il existe des longueurs incommensurables avec Tunité de longueur. Car si nous considérons un nombre qui ne soit pas un carré parfait, par exemple le nombre 3, et si nous désignons par a la racine carrée de ce nombre, définie comme il a été dit, à Taide d'une longueur-limite OA, nous aurons a* = 3 ; d'autre part, nous savons que « n'est pas un nombre rationnel ; donc la longueur OA n'estpascommensurable avec l'unité. Nous eussions pu choisir pour exemple toute autre racine d'un nombre rationnel, pourvu que l'on eût constaté à l'ap vance que cette racine est irrationnelle.

153. Calcul des radicaux ai'ltbmétiques. -— > On appelle indice d'un radical, ^â, le nombre m. Si un radical porte sur une puissance de a, op, le nombre p s'appelle l'c^posant du radical.

1* Le produit de deux radicaux de même indice est un radi" cal de même indice portant sur le produit des nombres placés sous les radicaux.

Il s'agit de démontrer que l'on a

Pour cela, désignons par a, p, y les valeurs des trois radicaux et élevons les deux nombres a^ et ^ h la puissance m ; nous aurons («p)*» = «"*?»" et y". Or «»" = a, p» = A, yw = (li ; donc Y"* = (*?)"*• Les deux nombres Y et ap ont même puissance m* ; donc ils sont égaux.

On démontre de la même manière le théorème suivant, qui est une généralisation du premier.

2* Le produit d'un nombre quelconque de radicaux de même indice est un radical de même indice portant sur le produit des nombres soumis aux divers radicaux»

3* Le quotient de deux radicaux de même indice est un radical de même indice portant sur le quotient des deux nombres soumis aux radicaux.

Il s'agit de démontrer que Ton a

"Va m/â

Té"" Vr

Pour cela, désignons par ot, p et y les trois radicaux, et

a élevons les deux nombres r et y à la puissance m; nous

- j = g^ et Y*"- Or a« = a, p« = i et

ym — . donc Y"* = (ïï) * L®^ ^^^^ nombres Y ot ont même puissance m^ ; donc ils sont égaux. . Exemples , . v^2.v/3 = v^;

4* Pour élever un radical à une puissance^ il suffit de multiplier r exposant du radical par celui de la puissance indiquée.

Il s'agit de démontrer que Ton a"

KOMBRBS INCOMMENSURABLES OU IREATIONNBLS 349

Or on a (75?)" = 75p.7^ 75p, (nfois)

et, d'après S"", le second membre est égal à

7«P.a^...ûP(nfois) ou 7a^+^+***+^ ou %?». Exemples : (^2)*= VS^ = Vi ;

5** Powr extraire une certaine racine d*un radical, il suffit de multiplier son indice par celui de la racine à extraire.

Il s'agit de démontrer que Ton a

^ y/a= yfa.

Pour cela, élevons les deux membres à la puissance mn ; le second donne par définition a ; pour avoir le résultat auquel conduit le premier, il suffit de se rappeler que Ton élève un nombre à la puissance mn en élevant ce nombre d'abord à la puissance n, puis le résultat à la puissance m ; on a ainsi 7^ , d'abord, puis a. Les deux membres ont donc même puissance mn^ ; donc ils sont égaux.

Cette propriété permet dans bien des cas de ramener l'extraction d'une racine à d'autres opérations plus simples. Ainsi l'extraction d*une racine quatrième se ramène à deux racines carrées successives, l'extraction d'une racine sixième à une racine cubique d'abord, puis à une racine carrée, ou à une racine carrée suivie d'une racine cubique ; etc. Ainsi

VâSe = v/Tiie = vIB = 4;

Il résulte aussi des deux dernières propriétés que :

6* On n'altère pas la valeur d'un radical en multipliant ^'indice et P exposant par le même nombre.

Ainsi •"VSïi = TÔP./

Car en multipliant Tindice par n, on extrait la racine n« du radical '^ô^, et, en multipliant ensuite Texposant par n, on élève le nouveau nombre à la puissance n'. On retombe donc sur le premier nombre.

Cette propriété peut aussi se démontrer directement, en élevant les deux membres à la puissance mnfi.

Elle peut s'énoncer d'une autre façon :

V On n'altère pas la valeur (Pun radical^ en divisant^ quand cela se peut y Vindice et t exposant par le même nombre.

On peut déduire de là une règle de simplification des radicaux.

RÈGLE. — Pour simplifier un radical arithmétique^ on divise Vindice et Peocposant par leur plus grand commun diviseur.

Exemples: VU = V^ = •8=^2^2 = v/S^i/l = 2^;

On peut appliquer les mêmes propriétés à la réduction des radicaux au même indice. A cet efTet, on choisit un multiple commun à tous les indices, M ; on divise ce nombre par Tindice de Tun quelconque des radicaux: soit M' le quotient obtenu ; on multiplie ensuite Tindice et Texposant de ce radical. par M'. En procédant ainsi pour tous les radicaux, on n*altère pas leurs valeurs respectives, et on leur donne le même indice^ M.

Exemple: ^6, Vîl, î^.

Prenons pour indice conmiuh le produit des indices, 30 ; nous aurons à multiplier Tindice et Texpos^t du premier radical par 15, Tindice et l'exposant du second radical par 10 ; enfin l'indicé et l'exposant du dernier radical par 6, Nous obtenons ainsi lés trois radicaux tygïF ^ tyjngrr^

•M2*^ = 'Vâ'ôjn

et »?/4â5 = 72^3^

NOBIBKES INCOMMENSURABLES OU IRRATIONNELS 3Si

Si ron veut avoir en3uite le produit des trois radicaux donnés, on obtiendra un seul radical d*indice 30, 80^4138176 ^ 6 72**.3.7«.

* 154. Nombres irrationnels négatifs. — Si Ton désigne par a et h deux nombres ordinaires queiconcjnes, rationnels ou irrationnels, et que l'on suppose a > &, Tégalité conditionnelle fr + c = a définit un nombre c et un seul, que nous avons appris à calculer dans les diverses soustractions qui ont été exposées au cours de cet ouvrage. Mais si h est plus grand que a, la soustraction indiquée est impossible ; pour la rendre possible, il faut introduire un nouveau symbole numérique, différant par l*une de ses propriétés des symboles antérieurs. Nous remarquerons, à cet effet, que h — a existe, et nous désignerons par c* ce nombre ; nous aurons alors 6 — - a = c' ou b — e' :=z a. Pour identifier cette égalité avec Tégaiité conditionnelle ft-t-c = a, nous poserons cz=: -^c'^ nous appellerons ce nouveau nombre un nombre négatifs et nous conviendrons que b -h (— c') = & — c', c'est-à-dire que pour ajouter à un nombre positif un nombre négatif de valeur numérique moindrej on fait abstraction du signe d^ addition et on fait la soustraction qui reste indiquée.

Lies nombres ordinaires se nomment des nombres positif s ; on leur adjoint le signe -♦- ; la valeur numérique d'un nombre, abstraction faite de son signe, se nomme la valeur absolue de ce nombre.

Si Ton reprend alors tous les raisonnements déjà faits (u^* 30, 31, 32, 43, 44, 45, 46, 59) et déduits de la convention précédente et de Tobligation pour les égalités ft-f-c = a, b =. a^c^ c z= a — bf d'être équivalentes, on établit, comme cela a été fait aux D9* rappelés, les règles de calcul dfis nombres positifs et négatifs ; il n'y a de différence que pour le calcul de la valeur absolue de chacun des résultats-; mais cette question a été amplement traitée dans le chapitre actuel. 11 résulte de ces règles que les nombres positifs se comportent comme des nombres ordinaires, et, dans la plupart des cas, le signe + afférent à un nombre n'est pas indiqué.

*155. Segments. — Représentation des nombres par des

segments. — Nous avons montré dani tout ce qui précède qu'à toute longueur correspond une idée numérique bien déterminée, et nous avons déduit de cet élément géométrique la définition do nombre rationnel et aussi du nombre irrationnel.

Gomme nous avons appelé nombres égaux les nombres qui ipesurent des longueurs égales, il en résulte nécessairement qu'à une longueur donnée ne correspond qu'un seul nombre.

11 y a donc une correspondance complète et uniforme entre ridée de longueur et Tidée de nombre, et la représentation géométrique du nombre ne laissera plus rien à désirer pour nous» si nous parvenons A représenter les nombres négatifs d'une manière analogue.

Ce but est atteint d'une façon très aisée en donnant un sens

aux longueurs comptées sur une ■ M ». ■ droite. Pour cela, nous regarde-

A B rons une longueur AB comme

étant parcourue par un point mobile, toujours dans le même sens, et d'une extrémité à l'autre; et, pour distinguer ce nouvel élément de la simple longueur, nous l'appellerons un segment. Nous entendrons par là une portion de droite affectée d'un sens, un élément géométrique composé formé de deux éléments géométriques simples : le sens et la longueur.

Comme il y a deux sens de marche sur une droite, il y a aussi deux espèces de segments : les uns, parcourus dans un sens déterminé, choisi à l'avance, et que nous nommerons segments de première espèce ; les autres, parcourus en sens contraire, et que nous nommerons segments de seconde espèce.

Le point d'où part le mobile s'appelle Yorigine du segment ; le point où il arrive s'appelle V extrémité.

Pour lire un segment, on énonce d'abord la lettre placée à l'origine, puis celle placée à l'extrémité. Ainsi le segment AB est la longueur AB parcourue par un mobile de A vers B.

Gela posé, choisissons sur une droite quelconque un sens déterminé, celui de la flèche, par exemple, et prenons pour sens des segments de première espèce le sens ainsi fixé.

K >. JH ■ ■ ■ ».

Alors tous les segments parcourus dans ce sens et tels que AB, CD et B'A' sont des segments de première espèce ; ceux qui sont parcourus en sens contraire, et tels que A'B', BA et DC, sont des segments de seconde espèce.

Nous dirons que deux segments sont égaïuo quand ils ont l^s mêmes éléments constitutifs : sens et longueur. Ex,: AB et CD, A'B' et DC.

Nous dirons que deux segments sont égaux et opposés, quand ils ne diffèrent que par le sens. Ex, : AB et A'B', AB et BA.

Nous appellerons somtne de deux segments le segment obtenu en portant à la suite de l'un d'eux un segment égal à l'autre et dont l'origine soit placée à l'extrémité de cet autre. Ainsi, en pre-

nant le segment BE égal au segment CD, on obtient un segment AE, qui est la somme des deux segments AB et CD.

11 suffît de regarder les trois figures indiquées ci-dessus, pour apercevoir que :

La somme de deux segments de même espèce est un segment de même espèce qu^eucs et ayant pour longueur la somm^ de leurs longueurs ;

La somme de deux segments d'espèces différentes, est de l'espèce de celui qui a la plus grande longueur , et a pour longueur la différence de leurs longueurs,

11 est alors aisé de s*éleyer à Tidée de somme de plusieurs

segments AiB,, A^Bs, , AnBn : on forme d*abord la somine

des deux premiers^ puis, au segment ainsi obtenu, on ajoute le troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait épuisé les segments donnés, dans Tordre où ils ont été donnés.

Cet ordre lui-même est indifférent, car on voit de suite que la somme de deux segments n'est pas altérée par le changement de Tordre d'addition ; il suffit, pour cela, de se reporter aux deux résultats que Ton vient d'énoncer. Si l'on remarque en outre que dans une somme on peut remplacer deux segments consécutifs par leur somme effectuée, on verra de suite qu'il est permis d'écrire tous les segments d'une somme dans un ordre quelconque, et aussi de remplacer un nombre quelconque d'entre eux par leur somme effectuée.

11 suit de là que pour effectuer la somme de plusieurs segments d'espèces quelconques, on peut faire d'abord la somme des segments de première espèce, puis celle des segments de seconde espèce, chacune de ces sommes s'obtenant comme une somme de longueurs ; puis, cela fait, ajouter les deux segments ainsi obtenus l'un à Tautre, d'après la première règle, c'est-à-dire en formant un segment de même espèce que celui qui a la plus grande longueur et dont la longueur soit la différence entre celles des deux sommes partielles.

A&ITHM. HUMB.

On appelle différence entre deux segments, AB et CD, le seg- ^ ^ ment DE qu'il faut ajouter

^J g Q 5 ^ au second pour airoir le

premier.

11 résulte de la règle d'addition de deux segments que : si les deux segments sont de même espèce, et si le second est de longueur moindre que le premier, la différence entre eux est de même espèc6 qu'eux et a pour longueur la différence entre les longueurs des deux segments ; si, au contraire, la longueur du second dépasse celle du premier, la différence entre les deux segments est d'espèce contraire et a pour longueur la différence entre les longueurs données;

Mais si les segments sont d'espèces différentes, il faut ajouter

au second un segment de ~T g p g j5^ même espèce que le pre-

mier et dont la longueur soit égale à la somme des deux longueurs.

En résumé, si l'on se reporte aux trois cas que. nous Tenons d'étudier, on voit que pour soustraire un segment CD d'un autre

segment quelconque AB, — . . — . • — — . — il faut changer le sens du

A B D C E segment CD, et l'ajouter

ensuite au segment AB ; car, dans les trois cas, on a DE = DC + CE = DC-h AB, puisque CE = AB, par définition.

Cela nous montre que les segments se combinent entre eux, par voie d'addition et de soustraction, comme les nombres positifs et négatifs ; et c'est cette remarque qui a conduit à représenter les segments par des nombres positifs et négatifs.

Nous appellerons alors valeur d'un segment le nombre qui a pour valeur absolue la mesure de la longueur de ce segment, et pour signe -H ou —, suivant que le segment est de première espèce ou de seconde espèce.

De la sorte, les deux éléments du segment sont représentés : la longueur, par un nombre absolu ; et le sens, par un signe.

Pour représenter tous les nombres, il suffît alors d'envisager une droite quelconque x'œ, sur laquelle on choisit un sens, le sens x'x^ par exemple, et un point 0. Le sens choisi sera, par

convention, celui des segments de première espèce ou positifs ; le point 0 sera l'origine commune à tous les segments représentatifs de nombres. Alors chaque nombre positif sera repré-

sente par un segment issu de 0, et parcouru dans le sens de la flèche, tel que OÀ, et chaque nombre négatif, par un segment issu de 0, et parcouru en sens inverse, tel que OB.

Et de ces conventions résulte qu*à tout nombre donné correspond un point bien déterminé de la droite, et réciproquement, qu*à tout point donné de la droite correspond un nombre bien déterminé en valeur absolue et en signe.

En raison de cette correspondance absolue, uniforme et réciproque, entre les points de x'x et les nombres positifs ou négatifs, nous dirons souvent point A, au lieu de nombre a, et inversement.

Nous désignerons la droite o/a?, utilisée ainsi, sous le nom d'a<ve des nombres.

Nous représenterons le nombre attaché à chaque segment AB, par la même notation que le segment lui-même, AB. Alors, nous pourrons écrire AB = — BA, ou AB-f-BA = 0.

Le théorème suivant est une généralisation de cette formule :

TifÉORÉHE. — Entre les nombres représentatifs des segments déterminés par trois points en ligne droite^ A, B, C, on a toujours AB + BC 4- CA r^ 0, quelles que soient les situations respec~ tives des trois points^ et quel que soit le sens adopté comme sens positif,

, 11 y a toujours, en effet, un des trois points qui est compris entre les deux autres; soit A ce point. On a alors nécessairement CB = CA -h AB, en grandeur et en signe, puisque ces trois seg-

^ ^ ments ont le même sens

"" B^ A C 6t que le segment CB a

une longueur égale à la somme des longueurs des deux segments GA et AB. Mais CB = — BG ; donc on a

CA-|-AB = — BO, ety en ajoutant BG aux deux membres de cette égalité, ^

AB -h BC H- CA = 0.

Conséquence, — Si on considère deux points de Taxe des nombres, A et B, donnés par les segments OA et OB,

^ ^ B représentatifs de deux

nombres donnés a et d,

B Ô 'A il est facile d'avoir la va-

leur du segment AB. 11 suffit, en effet, d'appliquer le théorème précédent, en partant du point 0, et d'écrire

OA-i-AB4-BO = 0; d'où AB = OB — OA = b^ a.

Introduisons aussi le milieu 1 du segment AB et proposonsnous d'évaluer le segment 01, à l'aide des deux seg-

" ~ ■ ments OA=a et OB=ft.

Nous avons successivement