AH-0B

d'où

OA-hOB

Les nombres, positifs ou négatifs, envisagés comme symboles représentatifs des points d'une droite, se nomment des abscisses. Si a = OA, le nombre a s'appelle Vabscisse du point A.

L'ensemble de tous les nombres compris entre deux nombres donnés, a et &, en y adjoignant a eib eux-mêmes, se nomme un intervalle, l'intervalle (a, ft). Un intervalle est figuré sur l'axe des nombres par tous les points du segment AB, dont les extrémités représentent les nombres a et b.

Le nombre b — a, qui représente le segment AB, s'appelle Vétendue de l'intervalle (a, b).

Un pareil ensemble est continu ; il ne contient pas de nombres consécutifs. En regardant l'idée de continuité comme une idée fondamentale et géométrique, nous dirons qu'un pareil ensemble constitue le continu absolu indépendant.

Si un nombre peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle, nous dirons que ce nombre est une variable . On regarde alors le segment correspondant AB comme étant parcouru par un point mobile. M, dans un sens ou dans l'autre, et le nombre variable est à chaque instant la

K— ^ — --* y * — valeur du segment OM. 11 est

O À M B impossible à l'esprit de conce-

voir comment cela peut être réalisé, car étant donnée une position du point M, la position suivante n'est pas assignable ; la même difficulté existe au point de vue numérique, si l'on considère le nombre variable, a;=OM, qui parcourt l'intervalle (a, b). L'esprit humain ne se rend compte que dès ensembles discontinus, ou qui peuvent être présentés ainsi.

. L'arithmétique, ne considère que des variables pouvant prendre toutes les valeurs d'ensembles discontinus. Celles dont nous par* Ions sont du domaine de l'Algèbre et de la haute analyse.

* 156. Différence fondamentale qui existe entre l'ensemble des nombres rationnels et l'ensemble total des nombres (*). — Les nombres rationnels peuvent être classés dans une suite infinie^ c'est-à-dire que l'on peut écrire une suite où chaque nombre rationnel soit mis à une place bien déterminée.

En eflfet, écrivons tous les nombres rationnels, entiers compris sous la forme «gt a et P étant des entiers premiers entre eux. La somme S = a + P est au moins égale à 2.

11 y a un nombre pour lequel S = 2 ; c'est j ou 1.

1 2 11 y a deux nombres pour lesquels S = 3 ; ce sont - et j ou 2.

1 3 11 y a deux nombres pour lesquels S = 4 ; ce sont - et j ou 3.

Et ainsi de suite.

Rangeons de même par ordre de grandeur croissante les nombres pour lesquels S = N, et écrivons tous les nombres rationnels, tels que nous les obtenons ainsi, les uns à la suite de? autres ; nous aurons formé une suite infinie, dans laquelle chaque nombre rationnel positif occupe une place bien déterminée.

Nous pouvons à chaque fois adjoindre aux nombres d'un groupe, les nombres négatifs de mêmes valeurs absolues, et les ranger tous par ordre de grandeur croissante ; nous aurons alors une suite infinie où tout nombre rationnel occupe une place bien déterminée,

Par ce procédé Tensemble continu des nombres rationnels se trouve mis sous forme d'ensemble discontinu.

Nous allons montrer maintenant que les nombres d'un inter» valle (a, b), c'est-à-dire d'un continu absolu, ne peuvent pas se classer ainsi dans une suite infinie.

Pour cela, nous allons montrer que quelle que soit la suite infinie considérée

(*) Lldée de longueur ne permet pas dMntroduire d^autres nombres que les trois espèces de nombres déjà obtenus : nombres entiers, nombres fractionnaires, nombres irrationnels. Car, avec ces trois espèces de nombres nous avons obtenu les mesures de toutes les longueurs. — On peut bien considérer des suites infinies et convergentes de nombres quelconques, rationnels ou irrationnels, et, à la vérité, ces suites slntroduisent dans nombre de questions ; mais chacune d'elles conduit à une longueur limite, qui est représentée par un nombre entier ou fractionnaire ou irrationnel.

Ces nouvelles suites se combinent aussi aisément que celles que nous avons étudiées.

388 NOMBRES INCOMMENSURABLES OU IRRATIONNELS t^l, Wj, W3, . . . , t*nï • M

il y a toujours dans un intervalle, si petit qu'il soit, des nombres qui n'appartiennent pas à la suite.

Soit, en effet, (a, h) un intervalle donné, figuré par le segment àb ; parcourons la suite m* jusqu'à ce que nous ayons rencontré un nombre Up^, qui tombe entre a et &, puis, de nouveau, jusqu'à ce que nous ayons rencon- «t» ^ tré un nombre w,^, qui tombe

5 r — \ ^ encore entre a et 6 ; soient a, et

hi les deux nombres Mp^ et %^, rangés par ordre de grandeur croissante. Avant l'indice q^ > pi, il n'y a pas de nombre de la suite qui tombe entre «i et ^i.

Parcourons maintenant la suite, à partir de Wg^, jusqu'à ce que nous rencontrions un nombre U;,, puis un second, Uq^, qui. tombent tous deux entre ai et &| ; soient a, et bi ces deux nombres rangés par ordre de grandeur croissante. Avant l'indice Sli(Çi>P2 > ?! >Pi)> il n'y a pas de nombre de la suite qui tombe entre «a et &j.

Et ainsi de suite.

Alors divers cas peuvent se présenter :

Ou bien, à partir d*un certain rang, nous ne trouverons plus de nombre tombant dans le dernier intervalle formé, {ahf bh), et

aucun des nombres compris entre ak et ft* n'appartient à la suite; ou bien il n'y aura qu'un nombre de là suite, u\, tombant dans tm dernier intervalle formé comme il a été dit, («a, bh), et aucun des autres nombres compris entre ah et bh n'appartient à la strîte.

Ou bien enfin ceci n'arrive jamais, et Pon peut toujours former des intervalles (aj^, bk) par le procédé indiqué : alors les points <Zi> ^> • • • •> ^kt • » ont nécessairement une limite, a, les

-or --U, -a^

points di, ^„ ^bki une limite, p. (N* 147.) Si ces deux

points ne coïncident pas, aucun des nombres compris entre a et P

ne fait partie de la suite. Si ces deux points coïncident, le nombre a ne fait pas partie de la suite, car, au bout d'un certain

nombre d'opérations, il eût été rencontré, puisqu'il est Compris entre tous les couples de nombres au et hk.

Conséquence. — On ne peut pas classer tous les nombres d'un intervalle (a, b) en une suite infinie.

Nous ne connaissons aucun moyen de transformer un continu absolu en un discontinu.

* \ 57. Égalités. — Inégalités. — On dit que deux nombres sont égauxj lorsqu'ils représentent le même segment (ou bien lorsqu'ils ont le même signe et la même valeur absolue).

Deux nombres qui ne diffèrent que par le signe sont dits égausg et de signes contraires^ ou égaux et opposés.

En arithmétique, il arrive souvent qu'un nombre n'est qu'indiqué par diverses opérations sur d'autres nombres, et non encore connu ; si deux nombres de ce genre sont égaux, on sépare les expressions qui indiquent les opérations à faire pour avoir chacun d'eux par le signe de l'égalité (=), et l'on obtient ce qu'on appelle une égalité.

Une égalité est donc de la forme

aH-&H-.... =a'-f.6'-4- ,

en désignant par a, &, > a', &', des expressions complexes pouvant elles-mêmes indiquer plusieurs opérations à faire sur des nombres connus (*).

Les principales propriétés des égalités découlent des propriétés des diverses opérations et des règles de calcul relatives aux nombres positifs ou négatifs. Elles ont donc été déjà exposées. Bornons-nous à les rappeler.

On peut ajouter le même nombre, positif ou négatif, aux deux membres d'une égalité. Gela est d'ailleurs évident en ramenant tout à des sommes de segments.

On peut faire passer un terme d'un membre d^une égalité dans un autre, pourvu qu'on le change de signe. Gela revient à ajouter le même nombre aux deux membres, ce terme changé de signe.

On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une égalité par le même nombre, positif ou négatif Gela résulte de ce que la multiplication et la divison sont des opérations uniformes.

On ne doit pas employer le multiplicateur 0, car il transforme toute égalité ou inégalité en une égalité inutilisable, 0=0. Ex : 5 n'est pas égal à 7 et cependant tJ X 0 = 7 X 0.

On ne peut pas diviser non plus par 0, sans quoi, l'égalité peut donner naissance à une inégalité. Ex: a -^b == c.

(*) a -H 6 -i- et a' -4- 6' H- sont les deux membres

de l'égalité : a, 6, , a\ &*, sont les termes.

Multiplions les deux membres par a^b; nous aurons a' — 2ab -i- b^ =: ac -- bc^ ou a{a'^b — c) = b(a — b — c).

Si on divise par a — b^c, on trouve a = ft, ce qui est, en général, absurde ; cela tient à ce que le diviseur a — & — c est nul.

On peut multiplier ou diviser^ membre à membre, deux égalités. Ici non plus, il ne faut pas employer Tégalité 0 = 0, etc.

Deux nombres a et & qui ne sont pas égaux sont dits inégaux. Si la différence a-^b est positive, le nombre a est plus grand que le nombre b ; sinon, il est plus petit (*).

Si a est plus grand que &, on écrit a > 5; ou & < a.

Si a est plus petit que b, on écrit a < &, ou & > a.

ay> b ou a <,b constitue une inégalité ; a et b sont les deux membres de cette égalité ; chacun d'eux peut se composer de plusieurs termes, c'est-à-diie être une indication d'opérations à effectuer pour avoir a ou b.

Le signe > ou < indique le sens de l'inégalité.

On peuty sans changer le sens d'une inégalité, ajouter le même nombre, positif ou négatif, aux deux membres. Car si a > &, on a aussi a -h c > b-^-c, puisque a^c — [b^c) = a — b.

On peut faire passer un terme d'un membre d^une inégalité dans Vautre, pourvu que l'on change son signe. Ceci revient à ajouter ce terme, changé de signe, aux deux membres.

On petu multiplier les deux membres d*une inégalité par le même nombre positif.

Car écrire a > ft, par exemple, revient à écrire a = ft -|-p, p étant un nombre positif ; si on multiplie les deux membres de cette égalité par un nombre positif, c, on a

ac = bc-hpc', or pc est positif ; donc ac > bc.

Si on multiplie les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif, elle change de sens.

Démonstration analogue à la précédente. Nous n'énonçons pas les théorèmes analogues pour la division par un nombre, h, car

diviser par h revient k multiplier par r«

. (*) Tout nombre positif est plus grandi que tout nombre négatif el plus grand que 0 ; 0 est plus grand que tout nombre négatif ; deux nombres négatifs sont classés en sens inverse de leurs valeurs absolues. Si un nombre variable croît 1a point qui le figure sur Taxe des nombres marche dans le sens positif.

NOMBRES INGOMMBNSURABLES OU IRRATIONNBLS 361

En remplaçant les deux membres d'une inégalité par leurs inverses, elle change de sens, si ces deux nombres ont le même signe ; sinon, elle garde son sens,

Soît a > & rinégalité considérée ; dans le premier cas, ab est positif, et, en divisant par ab, on a -r > -i» ou r > ->

G'est-à-dîre - < t ; àans le second cas, ab est négatif, et on a

-T < -T' o'i T < -» c'est-à-dire - > t* ab ab b a a b

Si les nombres qui figurent dans deux inégalités de même sens sont positifs, on peut multiplier ces deux inégalités membre à membre.

Car soient, par exemple, a > 6 et a' ^ b' deux inégalités de même sens, a, b, a', b' étant positifs ; on a d*abord a* a > a'b, et a'b > b'b. Donc aa' > bb\

Ge théorème est encore vrai, en supposant seulement a' et b positifs ; alors a est forcément positif.

Un théorème analogue a lieu pour la division membre à membre de deux inégalités de même sens.

EXERCICES

i^ Si a eib sont deux nombres rationnels non carrés parfaits, l'expression ^â-^^b ou /a — ^b est un nombre irrationnel. Généraliser.

2^ Si a et & sont deux nombres rationnels non carrés parfaits,

quelle doit être la forme de a pour que ^â /b ou ^ soil

rationnel ?

3^ a eib étant deux nombres rationnels et b n'étant pas un carré, trouver dans quels cas le nombre t/o+V^ est la somme de deux radicaux carrés portant sur des nombres rationnels, ^ -+■ ^y.

362 NOIÎBRBS INCOMMBNSURÀBLBS OU IRRATIONNELS

4<» Extraire les racines carrées de 13+4^3, de 27 + 10/2, de ilH-Ov^.

5<^ a, b eio étant des nombres rationnels non carrés parfaits, trouver les relations (jui existent entre ces nombres si Ton a