CHAPITRE PREMIEB

RAPPORTS fT PROPORTIONS

158. Rapport. — On appelle rapport de deux longueurs OA et OB, ou de deux grandeurs dé même espèce, mesur râbles,* la mesure de la première obtenue en prenant la seconde pour unité.

Le théorème suivant est fondamental dans la théorie des rapports :

Théorème. — Le rapport de deux longueurs OA et OB est le quotient des nombres qui mesurent ces deux longueurs^ lorsqû*on prend une unité quelconque.

Soient, en effet, OA, OB et OC les deux longueurs données et Tunité choisie. Si nous supposons d'abord que les trois longueurs ont ime commune mesure, contenue m fois dans OA. n fois dans OB et p fois dans OC, nous avons, d'après le nM02,

mes. de OA parrap. à OC = -j ~ - - - jf

mes.de OB parrap. à OC = -;

mes. de OA par rap. à OB =

or, le troisième nombre est égal au quotient des deux premiers ; donc le théorème est établi dans ce cas.

Supposons maintenant que OA, OB et OC n'aient pas de commune mesure, et prenons une partie aliquote quelconque de OC, contenue, par exemple, p fois dans OC; soient

les mesures approchées de OA , et

celles de OB; désignons par OAi, 0A„ OBj,

alors — 1 P

OBj les longueurs correspondantes, par a et 6 les nombres qui mesurent les longueurs OA et OB, et par a le rapport de OA à OB. Nous avons alors

m ^ ^ m-hl

si nous multiplions, terme à terme, les inégalités de la première ligne par celles de la troisième, nous en déduisons (n* 151)

n-t-î ^b^"^^' est la mesure de OA,, par rapport à runilé

n-Hl

OB,, tandis que a est la mesure de OA par rapport à l'unité OB; donc [nM48] (*)

r<C«î de même a<C

n-hl n

Par conséquent, les deux nombres r et a sont tous deux

{*) La mesure d^ime longueur est diminuée, si on diminue la longueur à mesurer et si on augmente Tunité.

compris entre j et 1 et , pour montrer

qu'ils sont égaux, il suffit d'établir que la différence j a pour limite 0, quand p augmente indéfiniment. A cet effet, remarquons que les entiers m et n augmentent aussi indéfiniment^ quand p grandit indéfiniment; car, si Tun d'eux, n par exemple, restait fini, la

longueur ou OB, finirait par être moindre que toute

longueur donnée; or elle est plus grande que OB; il y aurait contradiction; donc les nombres m et *• augmentent indéfiniment avec p.

Écrivons alors

m-hl m m-l-i mm m

fH-1 n n n

m-l-i m 1 ml

,, , m-+-l m i ai ( a^ m \

d'où 7<--*"r"' l^*^ i^rjni'

n n-l-1 n on \ à n-+-i/

m-\^ 1 m Sous cette forme, il est visible que r tend

vers 0, lorsque />, et, par suite, u augmentent indéfiniment.

Ce théorème est d'un grand usage, en géométrie, pour la mesure des angles, des aires, des volumes, etc., et pour effectuer un changement d'unité.

Il nous montre aussi pourquoi on adopte pour le rapport la notation du quotient, et nous conduit à la définition suivante.

On appelle rapport arithmétique le quotient de deux nombres a et 6; c'est le nombre -^r» qui est dit rapport de a

à b ; mais on lit ce nombre comme un quotient, et c'est sous ce nom qu'on le désigne le plus communément.

La valeur d'un rapport est donc le nombre rationnel ou irrationnel qui, multiplié par le second nombre, é, reproduit le premier, a. Si les nombres a et b sont rationnels , le

quotient de a par b peut se mettre sous forme d'un nombre

a fractionnaire irréductible, - ; c'est ce nombre qui est la va-

P leur du rapport. Si les deux nombres sont irrationnels, ou

qu'un seul d'entre eux le soit, la valeur du rapport sera, en

général, irrationnelle, et l'on ne pourra avoir que ses valeurs

approchées.

Exemples: Le rapport — a pour valeur — ; le rap-

fi /fi

port -rr- a pour valeur 10; le rapport — a pour valeur v^3; o^ ■ ^2

le rapport p- a pour valeur 4 -+- /3.