Rapports égaux. ^ Calculs sur les rapports. — On
appelle rapports égaux deux rapports qui ont la même valeur.
Deux rapports qui n'ont pas la même valeur sont dits inégaux ; celui qui a la plus grande valeur est dit plus grand que l'autre.
On écrit donc suivimt les cas t = 77» ou %^%, ( -
A'ccx X j û'\ a ^ a' a a'
différent de t, ) i ou t > t-, ou j<r,*
La condition nécessaire et syiffisante pour que deux rapports
a a' soient égaux^ - = ~ , est que Von ait ab' = ba'.
RAPPOBTS ET PROPORTIONS 367
La condition est nécessaire; car si Ton désigne par q la valeur de chacun des rapports, on a
a = hq, a! = b'q ou b'q = a',
et, en multipliant ces deiix égalités membre à membre,
aVq = a*bq ; H n*y a qu'à diviser les deux membres de cette égalité par le même nombre q pour avoir Tégalité annoncée. La condition est sufQsante ; car si Ton a ab' = baf, et
que Ton pose t = ? ou a=:bq^ on en déduit bb'q = bal\
d'où, en divisant par b les deux membres de cette égalité,
L'égalité a6' = 6a' donne naissance à quatre égalités distinctes :
les deux dernières contiennent les inverses des nombres qui figurent dans les premières.
On n'altère pas la valeur d'un rapport en multipliant ses deux termes par un même nombre.
Car soit q la valeur d'un rapport 7; on a a = bq, et,
aoL par suite, aa = baq, quel que soit a; donc — = çr.
On peut toujours réduire des rapports quelconques au même
dénominateur.
En effet, choisissons un nombre quelconque N ; il suffit de multiplier les deux termes de chacun des rapports
-, J^^ -py respectivement par -r-i -pi -p^ i pour
avoir partout le dénominateur N.
Dans la pratique, on multiplie d'abord les deux termes de chaque rapport par un nombre tel que ce rapport ait une représentation numérique aussi simple que possible. Alors
pour réduire plusieurs rapports au même dénominateur, on prend N égal au produit des dénominateurs , c'est-à-dire qu'on multiplie les deux termes de chaque rapport par lô produit des dénominateurs de tous les autres.
Exemples. — Le rapport -^r^
s'écrit d'abord
USJ
qui entraîne l'égalité
i^x»« = ix'-
Considérons maintenant les trois rapports
R I 9 fn
=•• Les deux premiers se réduisent facilement à
;7t: et — ; pour simplifier le dernier, on multiplie ses deux
termes par \/7 — 1, et l'on a -î^-^ — = v/7-4-1. Les
dénominateurs sont donc 50, 15 et 1 ; leur p. p. c. m. est
150, et les trois rapports, ramenés au dénominateur 150,
sont
et
On obtient la somme de plusieurs rapports ayant le même dénominateur^ en formant un rapport ayant même dénominaleur queux et pour numérateur la somme des numérateurs.
RAPPORTS BT PROPORTIONS 369
Car soient t» t* » t plusieurs rapports de môme
dénominateur 6, et de valeurs q^, 7,, , qn\ on a
«t = *?!» fli = éjn » «n = bçn ;
et, en ajoutant membre à membre toutes ces égalitéSy
Donc ' • '^ =?i-H?,+ + ?».
Si •r>-r ou 9i>y„ onademéme -^-r — 2=71 — 7,. D'où:
On obtient la différence de deux rapports ayant le même dénominateur^ en formant un rapport ayant même dénominateur qu'eux et pour numérateur la différence des deux numérateurs,
— Pour avoir le produit de deux rapports, on divise le produit des numérateurs par celui des dénominateurs.
Car soient r et rn deux rapports de valeurs 9 et g' ; on a a = bq ^ a' = b'q' ; d'où , par multiplication, aa' = bVqq', Par conséquent, rp = qq\ ce qui démontre la propriété annoncée.
On obtient le quotient de deux rapports, en multipliant le rapport dividende par le rapport diviseur renversé.
Car soient -r et -r. deux rapports de valeurs q et q ; on a a:=z bqy a' = h'q' ; d'où, par multiplication en croix,
aVq' = a'bq. On déduit de là ab' = a'b X -,(*); donc
-— - = i. ce qui démontre la proposition annoncée. ha' q^
(•) De régalitô a6' =2 6a' — ♦ on déduit ab' = 6a', si Ton pose
grrg', cl 06' > 6a' ou a6'<6a', si Ton pose q>q' ou q<q'. Tout ceci peut se Toir d^ailleurs immédiatement et autrement.
ARTTBM. HUMB. 3^
Le nombre - est Tinverse de t* Ceci se voit d'aila b
leurs de suite puisque - a pour valeur - « q étant la valeur de 7-
160. Propriétés oonoernant les rapports égaux. — Théorème. — De, toute suite de rapports, arithmétiques égaux^ oh peut déduire un rapport égal à chacun d^eux, en prenant pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs.
Désignons par r^i r^t * 7- une suite de rap-
.^1^8 On
ports égaux, et par q la valeur de chacun d'eux; nous aurons
et, en ajoutant toutes ces égalités, membre à membre,
«1 +«2+ -+-an=(fti-4-ft,4- ■^àn)q.
Nous voyons donc que le rapport
fli + at-^ + q»
a pour valeur le nombre q.
Nous pouvons tout aussi bien retrancher certaines de ces égalités successivement de la somme des autres, pourvu que les soustractions puissent se faire, et nous aurons une égalité de la forme
Le rapport a donc aussi pour valeur le nombre q.
KAi>PôRTS ET f^RWORTiÔSS 371
On déduit de là Ténoncé du théorème suivant, plus général que le premier : -
Théorème. — De toute suite de rapports arithmétiques
légaux f on déduit d'autres rapports égaux aux premiers, en
-prenant pour termes les sommes des termes correspondants de
certains d'entre eux^ ou bien les sommet dès termes correspond
dants de certains d*entre eux, diminuées des sommes analogues
formées avec d'autres rapports.
Avant de faire subir à une suite de rapports égaux les opérations indiquées par le théorème précédent, on peut multiplier les termes de Tun quelconque d'entre eux par le niéme nombre, et faire subir une modification analogue à un nombre quelconque de ces rapports; car en agissant .ainsi on n'altère pas la valeur commune à tous les rapports donnés.
Nous pouvons donc énoncer maintenant le théorème suivant, qui comprend les deux précédents comme cas particuliers.
Théorème. — De toute suite de rapports arithmétiques égaux, on peut déduire d'autres rapports égaux aux précédents, en multipliant les deux termes de chacun d'eux par un nombre quelconque, et en formant avec les nouveaux rapports des combinaisons^ terme à terme, par voie d'addition ou de soustraction, pourvu que les soustractions indiquées par les signes — soient possibles {*). a
Ainsi la suite d'égalités
flj «s . __ ttn
bi bi bn '
(*) Le lecteur qui aura suivi la partie complémentaire de cet ouvrage, pourra inbroduire seul et sans peine des rapports algébriques, quotients de noihbres positifs ou négatifs, et leur étendre, sans aucune restriction, les propriétés démontrées jusquMci. ^^
;entraîne ;
a, 0, . — ?? — ^ ^l^^l ^ ^aQ^2 ~ ^an'ln
,les signes employés, haut et bas, étant à chaque fois identiques, et les signes — indiquant seulement qu'il faut soustraire de la somme des autres termes tous ceux qu'ils affectent.
Applications, — i* Trouver deux nombres, x et y vérifianl les deux égalités
2x — 3y = 0 et 5x + 7y = il,
Si Ton admet que le problème soit possible, il est facile d*en avoir la solution ; car la première égalité peut s'écrire
- rz 1 7 et, en multipliant les deux termes du premier rapport par 5, les deux termes du second par 7, et ajoutant
terme à terme, on a le nouveau rapport -;; j^ » qui est
lo + 14
égal aux deux précédents. Or 5a?-|- 7j/ = il ; donc on a
la suite d'égalités | = | = ^9 '
On déduit de là a? = — , y = ^ > et il est facile de
vérifier que ces nombres satisfont aux deux égalités imposées.
2® Trouver deux nombres x et .y vérifiant les deux égalités x + 2y = ll, 5x — 7y=:ll.
Si l'on admet que le problème posé ait une solution, on peut traiter a? et y comme deux nombres ordinaires vérifiant les deux égalités données ; et alors il n'y a qu'à retrancher la première égalité de la seconde pour obtenir de suite 4a? — 9y = 0, et être ramené au problème précédent.
On obtient ainsi la suite d'égalités : .
RAPPORTS BT PROPORTIONSi 373
d où â? = — t t/ = — •
17 ^ il
Il est facile maintenant de vérifier que ces deux nombres conviennent.
Les propriétés suivantes se démontrent aussi aisément.
Théorème. — De toute suite de rapports égaux, on peut déduire d'autres rapports ayant la même valeur que ceux-ci^ en élevant d'abord au carré tous ces rapports, les combinant terme à terme par voie d'addition ou de soustraction, après avoir multiplié les deux termes de chacun des nouveaux rapports par un même nombre, et enfin extrayant les racines carrées des deux termes du dernier rapport ainsi obtenu {*).
Considérons une suite de rapports égaux
«i— *"^ «^ SSÎ ••••• ^^ — j
6, 6j bn
et désignons par q la valeur de chacun d'eux ; nous aurons
a, = 6i9, a, =: b^q, , a» = bnq.
Si nous élevons au carré les deux termes de chacune de ces égalités, nous obtiendrons les égalités nouvelles:
a\:=b]q\ al = blq\ , oj = «^«.
En multipliant les deux termes de la première: par oh,
ceux de la seconde par «„ , ceux de la n« par on, nous^
aurons une nouvelle suite d'égalités *
d'où nous déduirons, par additions et soustractions succes-
(*) Il est bien entendu qu'il faudra procéder de façon à ne pas rencontrer «l^opération impossible. Le théorème, actuel peut être étendu : on peut élever d^abord tous les rapports à une même puissance, n, les combiner comme il est dit, puis extraire la racine n^ haut et bas.^ c i ,.^ .
sives,
{dz«,a?±a,aîzh...;V±«na»).==(dz«>î±a,é|zh ±a^bi)q\
et, par suite^
iba,ôi±:a,ô«dr ±:«n«
et de là OÙ lire ^'^
•:!: ata? zb Qt,ai d: zt Onoi
... . * *^=t«,6îd:a,6J±:.....ihMÎ* ^
Le théorème est donc établi.
On prend, à chaque fois, le même signe, haut et bas, et les signes doivent être entendus ainsi : tous les termes précédés du signe +, dans chaque terme, sont ajoutés les un& aux autres, et ceux qui sont précédés du signe — sont retranchés successivement ou en une fois de cette somme. .
Appucation. - Trouver deux nombres vérifiant Cégaliié 2x — 3y = 0 et dont la somme des carrés soit égale à 637. Si le problème est possible, on a
3 " 2 ~ *' 2'. étant un nombre inconnu actuellement.
On a donc a? = 3z, y = 22r, et, par suite, «* = 92«, j/« = 4z' ; d'où a:*-4-y" = 132* ; z est donc déterminé par l'égalité 13z» = 637.
Les deux membres de cette égalité sont divisibles par 13 et l'on a s* = 49 ; d*où z = 7.
, Par suite, a? == 21 , y = 14 ; et il est facile de vérifier que ces deux nombres remplissent toutes les conditions qui leur sont imposées.
161 . — Proportions. Moyennes. — L'égalité de deux rapporte constitué uiie proportion.
Ce qui caractérise une proportion,
c'est l'égalité aV = 6a' (n*» 159).
Les deux termes a et b' se nomment les extrêmes \ les deux termes b et a^ sont les moyens ; a est le premier antécédeni^ a! le second antécédent ; b est le premier consé* quent^ V le second conséquent.
Lorsque quatre nombres a, b^ a', b' vérifient Tégalité aV = bol^ on dit qu*ils sont en proportion.
Une proportion peut s'écrire de quatre façons différentes (n* 159) :
Dans Tune quelconque de ces égalités on p^'ut remplacer Tun des rapports par un autre obtenu en ajoutant terme à terme les deux rapports qui y figurent ou en les retranchant de la même façon.
La première donne donc
en supposant
La seconde donne
a-hb
ou
ou
ou
ou
en supposant encore a> b.
Les deux autres conduisent aux mêmes égalités, écrites d'une façon différente.
Si on envisage Tégalité
b a + ft a + ô a'H-6'
b'^TTb'' ^^ -r=^ir'
on peut l'énoncer ainsi :
Dans toute proportion^ la somme des deux premiers termes
est au second, comme la somme des deux derniers est auder-
rtier, etc.
Puisque T = T 77 et que -r = r r,» on a aussi
ou 7 = T T> ; donc
Dans toute proportion, la somme des deux premiers termes est à leur différence, comme la somme des deux derniers est à leur différence^ etc.
L'un quelconque des quatre nombres d'une proportion est dit quatrième proportionnelle entre les trois autres. Pour qu'une quatrième proportionnelle soit bien définie par les trois autres nombres, il faut donner l'ordre des nombres.
En désignant par x la quatrième proportionnelle aux trois nombres 12, 5, 4, et en se donnant l'ordre ar, 12, 5, 4, on a
:^ = V, d'où 4a? = 60, a? = 15.
Iz 4'
Si on se donne, au contraire, l'ordre 12, a?, 5, 4, on a
— = - • a ou oa? = 48, ar = — •
Si deux des trois nombres donnés sont égaux, le nombre inconnu s'appelle une troisième proportionnelle entre les trois nombres, pourvu toutefois que les deux nombres égaux soient tous deux moyens ou tous deux extrêmes.
Exemple : a?, 2, 2, 5 ou 2, a?, 5, 2.
On a 1 = ?; d'où 0^ = 1
On appelle moyenne proportionnelle entre deux nombres, un nombre qui forme les deux moyens où les deux extrêmes
RAPPOtlTS ET PR0P0RTIÔK8 877
d^une proportion dont les deux nombres donnés sont les autres termes.
Si - =« - ou - = T» « est moyenne proportion*
nelle entre a et 6 ; on a donc a?' = ab ; d'où x = ^. La moyenne proportionnelle entre 2 et 18 est X = /axis ou a? = 6.
On appelle moyenne arithmétique entre deux nombres, a
et *, leur demi-somme — ^— . La moyenne proportion-
nelle s'appelle aussi moyenne géométrique.
La m^oyenne arithmétique entre deux nombres est toujours plus grande que la moyenne géométrique^ sauf quand les deux nombres sont égaux.
Si a et b sont les deux nombres donnés, - ■ es|;
plus grand que \/â3, car les carrés de ces nombres sont
{a-\-bY , , ,,, — - — ' et aft, et Ion a
puisque (a -|- ô)* = 4aô 4- (a — 6;* ou 4a6 -j- (ô — a)" . Si a = 6, les deux moyennes sont égales à a.
On appelle moi/enne Aarmom^tié entre deux nombres, o, et ô, un nombre tel que son inverse soit la moyenne arithmétique des inverses des deux autres.
Soit X cette moyenne ; elle est définie par l'égalité
ou
2a6 ab
ar 2 ' X 2a6 »
on a donc ' x ==
La moyenne harmonique est donc le quotient du carré de la moyenne géométrique par la moyenne arithmétique ;
elle est plus petite, en général, que la moyenne géométrique.
Enfin on appelle parfois moyenne entre plusieurs nombres inégaux, un nombre compris entre le plus petit et le plus grand d- entre eux.
Théorème. — Si on considère plusieurs rapports inégaux^ le rapport obtenu en les ajoutant terme à terme est compris entre le plus petit et le,plus grand d'entre eux.
En effet, considérons plusieurs rapports, t-i t-> »
^1 ^% an 7- 1 qui ne soient pas tous égaux, et désignons par q la
On
valeur du plus petit de ces rapports et par q' la valeur du plus grand ; nous aurons r ^ 9 ^^ r ^ 9' » ^*> ®^
Ok Oit
multipliant par bk les deux membres de chacune de ces égalités,
au>bhq et au<hkq'.
Nous avons donc les relations suivantes, dans lesquelles quelques-unes sûrement sont des inégalités :
«1 > à^q, a, > 6j9, , fln > M '»
en ajoutant membre à membre toutes ces inégalités, nous aurons
ûi-Ha|+ -l-anX^t + ôjH- '^àn)q\
d où -r r^ r > q.
Nous avons de même
ai<*i<?', a8<M't » an<bnq'\
d'où at-H«i + -HO» < (61 H- *, + + bn)q\
et, par suite,
Le théorème est donc établi par ces deux inégalités.
(*) Pour les propriétés relatives aux inégalités et' invoquées ici, il suffit de se reporter à la division des nombre» quelconques (n* 154).
RAPPORTS BT PROPORTIONS 879
EXERCICES
4<> Si aux Ijùatre termes d'une proportion on ajoute le môme nombre, cette proportion est en général détruite. Dans quel cas subsiste- t-elle encore ? -
2» Quel est le plus graiïd des deux rappdrlà
g + ft ®' a^-hb^^
3* Deux nombres quelconques sont les termes extrêmes d'une proportion dont leur moyenne arithmétique et leur moyenne harmonique sont les moyens.
i*» Que faut^il pour qu'en ajoutant terme à terme deux proportions on obtienne une nouvelle proportion ?
5* Trouver deux nombres connaissant leur rapport et leur somme.
6*» Trouver deux nombres connaissant leur rapport et leur différence, ou la somme de leurs carrés, ou la différence de leurs carrés.
V Démontrer que le rapport de deux entiers ne contenant pas le chiffre 0, est compris entre les rapports des chiffres de même rang, au numérateur et au dénominateur. (On admettra que les deux termes ont le même nombre de chiffres, le numérateur pouvant contenir, lui, le chiffre 0.)
8<* Si on forme une suite commençant par 2 et 1, puis les moyennes arithmétique et harmonique de ces nombres, gi et &|, puis les moyennes arithmétique et harmonique de g^ et b^, et ainsi de suite^ on aura toujours deux nombres qui comprennent entre eux ^. Généraliser. Déduire de là le moyen d'extraire une racine carrée avec une approximation donnée.
gb:apitre II
BRANOEURS PROPORTIONNELLES
RÈBLES DE TROIS,
