D'INTÉRÊT, D'ESCOMPTE, DE MÉLANGE, ETC
162. Grandeurs proportionnelles. — Lorsque des grandeurs d'une espèce donnée sont mesurables, la théorie de leur mesure s'expose absolument comme celle de la mesure des longueurs. Par rapport à une grandeur unité choisie parmi elles, il y a des grandeurs commensurables et des grandeurs incommensurables ; les premières ont pour mesures des nombres entiers ou fractionnaires ; les autres, des nombres incommensurables. Quant aux conditions que doivent remplir des grandeurs d'une espèce déterminée pour être mesurables, il faut évidemment les chercher parmi les propriétés abstraites dont jouissent les longueurs; mais il est difficile de les préciser d'une façon nette et exclusive.
Cette difficulté, purement théorique d'ailleurs^ dans la plupart des cas, ne doit pas nous préoccuper ici : l'arithmétique ne s'occupe que de grandeurs mesurables, indépendamment de toute théorie sur la mesure des grandeurs, et envisage non pas la grandeur elle-même, mais le nombre qui la mesm'e. Quand la notion même de grandeur intervient, ce n'est qu'accidentellement pour établir entre divers nombres d'une question des relations qui permettront de la résoudre.
On dit que deux grandeurs, exprimées numériquement, sont directement proportionnelles ou varient proportionnellement^ lorsque le rapport de deux valeurs quelconques de
}a première est le même que celui des valeurs corrôspondante» de la seconde.
Exemples. — Le salaire d'un ouvrier est proportionnel aux heures de travail qu'il a faites. Le prix d'une étoffe est proportionnel à sa longueur, la largeur de Tétoife restant d'ailleurs la môme.
Si Ton désigne par a? et y les valeurs variables des grandeursque Ton compare et par a?|, x,, ...., Xn .... des valeurs particulières de la première, par yi, t/a, ...., y» .... les valeurs correspondantes de la seconde, on a
^±=^ ou ^n^^. .
donc le rapport des valeurs correspondantes de deux grandeurs directement proportionnelles est constant, et réciproquement. Cette propriété eût pu être prise pour définition.
Lorsque deux grandeurs sont directement proportionnelles^
si Tune d'elles devient 2, 3, 4, fois plus grande ou plus
petite, r autre devient aussi 2, 3, 4, fois plus grande ou
plus petite.
Cela résulte évidemment de ce fait que le rapport - reste
if
constant.
Réciproquement, si deux grandeurs variables et comparées
Vuneà t autre sont telles que l'une devenant 2, 3, 4, fois
plus petite ou plus grande, Vautre devienne aussi 2, 3, 4,
fois plus petite ou plus grande, elles sont directement propor^
tionnelles.
En effet, soient a et ô les deux valeurs initiales de ces
p grandeurs ; supposons d'abord que la première devienne - a,
p et q étant deux entiers ; alors on peut penser que la première grandeuMst devenue q fois plus petite, c'est-à-dire -^i
pu .
puis p fois plus grande, c'est-à-dire Ç-; d après ce que nous
382 eOANDEURS PR0P0RTI0NI7BLLES
avons dit, la seconde grandeur est devenue d'abord -; puis
— ; le rapport entre les nouvelles valeurs — et ~ est 9 .99
iftnc toujours égal à j-
S^jq^Qjîons maintenant que la nouvelle valeur, a', soit incommeas^able avec Tancienne, a, c'est-à-dire que Ton ait a' = a A, k étant un nombre irrationnel , et désignons
par — et —- df^ux valeurs approchées par défaut et
par excès, et quiconque», ist h. Quand la première gran-
deur devient — on ^ ^> ^ seconde devient — ou
^ ; donc le nombre, h\ qui ooiwaÇQnd à a', est
. mh ^ (wn-i)6 X • 11 »* L/i
compris entre — ' et ^ — t et si 1 on pose w^ h%
on voit que le nombre A' a aussi pour valeurs approché»
— et Or deux nombres qui ont toujours les mômes
valeurs approchées sont égaux; donc A' = A, et Ton a a' a
Le dernier raisonnement que nous venons de faire suppose en outre, qu'indépendamment des hypothèses déjà faites, on puisse affirmer que les deux grandeurs croissent ou décroissent en môme temps, dans tous les cas.
On dit que deux grandeurs exprimées numériquement sont inversement proportionnelles, o\]l varient en raison inverse tune de Vautre, lorsque le rapport de deux valeurs quelconques de la première est inverse de celui des valeurs correspondantes de la seconde.
Exemples, — Le temps que Teau qui s'écoule par plusieurs robinets égaux met à remplir un bassin est inversement proportionnel au nombre des robinets. Le nombre de mètres de toile que l'on peut fabriquer avec une quantité
donnée de fil, varie en raison inverse de la largeur assignée à rétoffe.
Si Ton désigne par or et y les valeurs variables des grandeurs que Ton compare et par or^, ar„ ...., ar», ..... des
valeurs particulières de la première, par y^, y„ ..,., y»
les valeurs correspondantes de la seconde, on a
Xn yi
-- = ^ ou xnyn = x,y,\
donc le produit des valeurs correspondantes de deux grandeurs inversement proportionnelles est constant, et réciproquement. Cette propriété eût pu servir de définition.
Lorsque deux grandeurs sont inversement proportionne lks\
si l'une d'elles devient 2, 3, 4, fois plus grande ou plus
petite. Vautre devient 2, 3, 4^ fois plus petite ou plus
grande.
Cela résulte évidemment de ce que le produit xy est constant.
Réciproquement, si deux grandeurs variables et comparées
Vune à Vautre^ sont telles que Vune devenant 2, 3, 4,
fois plus petite ou plus grande, l'autre devienne 2, 3, 4,
fois plus grande ou plus petite, elles sont inversement proportionnelles,
La démonstration se fait comme précédemment.
Lorsqu'on dit, en arithmétique, que deux grandeurs sont directement ou inversement proportionnelles, c'est une convention ou un fait expérimental que Ton exprime ou bien une vérité empruntée à une autre science : géométrie, physique, mécanique, astronomie, mais jamais on n'a à démontrer cette assertion.
Ainsi on démontre, en géométrie, que des droites parallèles interceptent sur les deux côtés d'un angle des longueurs proportionnelles. L'expérience, en physique, dé-
moatre que les volumes occupés par une masse^ d'air donnée sont, toutes autres conditions restant les mêmes, en raison inverse des pressions qu'elle supporte. L'observation, en astronomie, a montré que les carrés des temps des révolutions des planètes autour du soleil sont entre eux comme les cubes des distances moyennes de ces astres au soleil (*); etc.
Il arrive souvent qu'une grandeur d'espèce donnée dépend de plusieurs autres grandeurs d'espèces différentes ; il y a alors intérêt à la comparer à chacune de celles-ci. Pour cela, on fait varier seulement l'une d'elles et on étudie les variations de la grandeur proposée. Nous nous placerons seulement dans le cas simple où les deux grandeurs variables sont proportionnelles, et nous démontrerons le théorème suivant :
Si une grandeur X dépend de plusieurs autres grandeurs Y, Z, T, de telle sorte que toutes, sauf une ^ restant fixes, la grandeur X soit proportionnelle à celle qui varie, la valeur de X est proportionnelle au produit des valeurs de Y, Z, T.
Soient, en effet, a? et x' deux valeurs de X qui répondent aux valeurs y, z, t et \f,z',t des grandeurs Y,Z, T; appelons x^ et a?8 les valeurs de X qui répondent à y', z, t, et y', z', t. Pour passer de a? à x^, deux des valeurs relatives
aux autres grandeurs restent fixes ; donc — = — ,; de môme
— = - et — f = - . En multipliant membre à membre
ces trois égalités et simplifiant le premier produit, on a
X yzt
—, = ^rn- Le théorème esttlonc établi.
On démontrera de môme que si X varie proportionnellement à Y et Z et en raison inverse dé T, le nombre x
yz varie proportionnellement à — .
(*) Cet énoDeé n'est pas tout à fait exact : le véritable énoncé exige pcnr étrd compris des notions assez étendues^ en géométrie.
hègles db trois 385
163. Règle de trois simple. — Le problème général de la règle de trois simple peut s'énoncer ainsi :
Étant données deux grandeurs directement ou ^versement proportionnelles et deux valeurs correspondantes de ces grandeurSf trouver la valeur de l'une d'elles qui correspond à une valeur donnée quelconque de Vautre.
Soient a et i les valeurs correspondantes données des deux grandeurs A et B, et 1/ une autre valeur de B; la valeur de A qui lui correspond, x, est donnée par Tune ou Tautre des proportions
suivant que A et B sont directement ou inversement proportionnelles. On voit donc que x se calcule comme une quatrième proportionnelle et que Ton a
ab' ah
a? = -7-t ou X = -rr'
L'inconvénient de cette méthode, pour les commençants, est son abstraction môme et aussi la précision qu'il faut apporter au classement des quatre nombres devant former la proportion dont on a besoin. Il existe une autre méthode, dite de réduction à Vunité, qui est préférable pour les débutants et que nous exposerons sur les exemples suivants.
Exemple de règle de trois simple et directe. — Un fût de 228^ (*) de vin coûte i36^80 ; combien coûtera un fût de 72i\ les prix des fûts et autres frais étant mis à part?
Nous admettons, bien entendu, qu'il s'agit du même vin dans les deux cas :
!""• Méthode. — Le prix d'une quantité variable de ce vin est évidemment proportionnel au volume (**), c'est-à-dire
C) 2281, abréTiation de 228 litres; 136^,80, abréviation de 136 franc» 80 centimes ou centièmes de franc.
(**) G*est une convention commerciale.
▲RITHM. HUMB.
au nombre de litres qu'il contient. Si donc nîoiis désirons par X le prix de 721 litres, nous dirons : x est à 721,
comme 136,80 est à. 228, ou rgr = ' ■; donc
.=igf X721 = 432',6.
2*" Méthode. — Dans cette méthode, on commence par chercher le prix du litre, et Ton raisonne ainsi : puisque 228^ coûtent 136',80, un litre coûte 228 fois moins ou 136,80
t et 721* coûtent 721 fois le prix du litre, c^est-à-dire X 721 = 432',6.
Exemple de règle de trois simple et inverse. — Ont personne achète 228^ de vin â 0^,65 U litre. Combien aura-t-elié de litres de vin à 0^,75 le litre, pour le même prix?
i^ Méthode. — Le nombre de litres de vin que Ton a
pour un prix déterminé est inversement proportionnel au
prix du lilre. Si donc on appelle x le nombre de litres du
^ 0 65 nouveau vin, ^^^ ^ = q^; d'où
2' Méthode. — Puisque pour une somme donnée on a 228^ de vin à 65 centimes le litre, pour la même somme on aurait 65 fois plus de vin à un centime le litre, ou 228 X 65, et Ton aura 75 fois moins de vin à 75 centimes
le litre, c'est-à-dire ^^^ ^^ = 197»,6.
Nous ne donnons pas dérègle : il est préférable de recommencer sommairement le même raisonnement dans chaque cas particulier.
164. Règle de trois composée. — Le problème général de la règle de trois composée peut s'énoncer ainsi :
Étant données pltisieuri grandeurs variables X, Y, Z, T, . . ., et telles que la première, soit propottUmnelle aux autres^ dans^ le sens çtit a été défini au n* 162, si Von connaît la valeur de X qui répond à des valeurs déterminées de Y, Z, T, ..., trouver la valeur de X qui répond à d^auires valeurs données de
Soient a la valeur de X qui répond à des valeurs données, ô, c, rf, de Y, Z, T, ...., et op la valeur inconnue
de X qui répond à d'autres valeurs *', (/, rf', ...., connues et données aussi de Y, Z, T, ....; si X est directement proportionnelle à toutes les grandeurs Y, Z, T, ...., on a
x= a -^-— - ; SI X est directement proportionnelle à Y
et Z et inversement proportionnelle à T, ona x = a-r-jn
et ainsi de suite (voir le dernier théorème du n° 162).
Règle. — Pour obtenir la nouvelle valeur de la grandeur étudiée X, on multiplie son ancienne valeur par le produit des rapports des deux valeurs de chacune des grandeurs dont elle 4tfend : on prend le rapport de la nouvelle valeur à ranciénne^ si £9 grandeur X est directement proportionnelle à celle que Pon emijisajie; et le rapport de V ancienne valeur à la nouvelle, si la gran^isur X est inversement proportionnelle à celle que Fonenvisagei
1*' Exemple. — Une pièce d*éioffe de 103* de long et de 0",95 de large coiUtll47'; combien coûtera une autre pièce de la même étoffe de 92» as long et de 1"',20 de large ?
-Le prix d'une étoffe donMe est directement proportionnel à sa longueur et à sa largeur (*); le prix demandé est donc donné par la formule
a. = 1147XjÔ3X^=1289'.
(*} GonTention commerciale.
La méthode de réduction à Tunité est encore applicable, éil'on dit : 103" d'étoffe à 96«» de largeur coûtent 1147, donc 103"* d'étoffe à lo« de largeur coûteraient 96 fois
moins, ou -rrs-» et un mètre à 1«« de largeur coûterait
103 fois moins encore ou ; un mètre à 120«"» de
1147 X 120 largeur coûtera 120 fois plus ou ^ » et 92 mètres
vO y\ 103
. -^^ . , ^. X i4^7 X 120 X 92 ^^^, à 120^°» de largeur coûteront 95 y jq3 — = ^^^^ •
2* Exemple. — Pour faucher 1500 hectares de pré, il faut employer pendant 15 jours, 312 ouwrwr* travaillant 12^ par jotir. Combien faudrat-il d'ouvriers pour faucher 825 hectares de pré, pendant i3 jours, chacun d'eux travaillant 9^ par jour?
Le nombre des ouvriers employés est directement proportionnel au nombre des hectares, et inversenient proportionnel au temps, c'est-à-dire aux nombres d'heures de travail et de jours. On a donc, d'après la règle,
^ = ^*2ïHÔÔ- 9 13= ^«*-
On peut d'ailleurs raisonner ainsi : pour faucher 1500 hectares il faut 312 ouvriers travaillant 12** par jour, pendant 15 jours, c'est-à-dire travaillant 12 X 15 heures en tout; pour faire le même travail en une heure, il faut 312 X 12 X 15 ouvriers, et pour le faire en 13 jours de
9^, c'est-à-dire en 13 X 9 heures, il faudra ^^^^^^^^
ouvriers.
Une règle de trois simple et directe donne maintenant le ttombrejd'ouvriers nécessaires pour 825 hectares.
165. Régies d'Intérêt. — Vintérèt d'une somme d'argent est le loyer de ce capital : c'est l'indemnité qu'exige le prê-
RÈGLES d'intérêt 38d
leur pour les services que cette somme d'argent est.appelée à rendre à l'emprunteur.
L'intérêt est proportionnel au capital et au temps pendant lequel le capital est engagé. Ce sont là deux conventions universellement admises. L'intérêt se paie annuellement, ou par semestre, ou par trimestre.
On appelle taux l'intérêt produit par iOO' pendant un an.
Dans les calculs relatifs à l'intérêt, le mois est supposé de 30 jours et l'année de 360 jours.
Si Ton désigne par i le taux; par C le capital exprimé en centaines de francs et en parties décimales de cette unité, par T le temps exprimé en années et parties décimales d'année, l'intérêt i produit par le capital donné a pour valeur i = CM.
En effet, puisque une centaine de francs produit / francs
dans un an, C centaines produiront G fois plus ou C X ^
et pendant T années, T fois plus encore, c'est-à-dire
CJ.T.
Si l'on prend pour unité décapitai le franc, et pour unité
de temps le jour, on a C = r^r^r î S étant la somme prê-
tée, et T = 5^ 1 N désignant le nombre de jours, évalué à raison de 360 par an et de 30 par mois. Alors
De là on peut déduire n'importe lequel des trois nombres t, ty C, T ou iy <, S, N, connaissant les trois autres.
Nous allons d'ailleurs traiter directement sur des exemples toutes les questions auxquelles donne lieu le problème général de l'intérêt.
i*' Problème. — Trouver l'intérêt produit par une somme de 95600^, au taux de 3',â0, pendant 7 ans 3 mois t^ jours. Le nombre de jours est conventionnellement de 7 X 360 4- 3 X 30 -f- 22 = !
393 RÈGLES D'iNTâaÊT
Or pendant un an 100' rapportent 3',20 ; donc pendant
3 20 un an i' rapporte -^ ou 0',032, et 95600' rapportent
Pendant un jour cette somme rapporterait 360 fois moins, et pendant 2632 jours elle rapporte 2632 fois plus. On a donc
2« Problème. — A quel taux fautM placer une somme de 12000' pour qu'elle produise 1250' en 2 ans 3 mois f
Dans deux ans et trois mois, il y a 27 mdis. Or 12000'
rapportent 1250' en 27 mois ; ils rapportent donc — 2^
en un mois, et 1 franc rapporte 12000 fois moins ou
27 X 12000 ~ 27X1200 ' ^^^ conséquent, 100' rapportent
en un mois 100 fois cette somme ou - — — — = —
27 X i200 27 X 12 et en 12 mois, 12 fois plus ou — . Le taux est donc
3* Problème. -^ Quelle somme fauUil placer, au taux dé 3', 75, pour avoir 1145' dHntérêt en 2 aw 5 mois ? Dans 2 ans et 5 mois, il y a 29 mois.
Pour produire 3', 75 d'intérêt en 12 mois, il faut lOW •
donc pour produire 1', il faudra un capital de -— ; en uin
mois, il faudra un capital 12 fois plus fort, et, en 29 mois, 29 fois plus faible que celui-ci. Donc le capital qui produit
12 X 100 1' en 29 mois est ^-^^^— ^, et celuLqui produit 4446'
est 1446 fois plus fort. On a donc
RÈGLES d'intérêt 391
4* Problème. — Pendant .combien de temps faut-il placer 42800', à ipour 100, pour avoir 1345' d^intéréts ?
12500X4 Pendant un an ou 360 jours, 12500' rapportent — j^ —
on 125.x 4 ^ 500'. Donc puisque 500' sont obtenus en 860 jours, 1' sera obtenu en 500 fois moins de temps, et 1345' en 1345 fois plus de temps. Le nombre de jours cherché est donc
Le temps demandé est donc 968 jours ou 2 ans 8 mois 8 jours.
— n arrive parfois que par suite d'une convention spéciale, non seulement Femprunteur ne rembourse aucune partie du capital pendant les premières années, mais encore ne paie pas les intérêts ; alors ceux-ci sont regardés comme un nouveau capital prêté dans les mômes conditions que rancien, et qui s'ajoute chaque année à ce capital, pour porter intérêt pendant les années suivantes. On dit alors que ce capital est placé à intérêts composés.
Exemple. — 12000' placés à intérêts composés et à 5 pour 100 Tan, rapportent 600' la première année; le capital prêté est donc 12600', à la fin de la première année. Il rapporte 630' la seconde année, de sorte que le capital prêté est 13230^ à la fin de la seconde année. Et ainsi de suite.
Pour traiter toutes les questions se rapportant aux intérêts composés, il faut connaître d'autres moyens de calcul que ceux que nous connaissons actuellement.
166. Rentes sur FÉtat. — Lorsque TËtat contracte des emprunts, il reconnaît sa dette en délivrant à chacun de ses prêteurs une feuille de papier estampillée et numérotée énonçant le montant de l'intérêt annuel auquel aura droit le possesseur de cette feuille, appelée titre ou inscrip-
392 RÈGLES d'intérêt
tion{*) rfe rew/e. Ces titres sont négociables par l'intermédiaire des agents de change.
L'Ëtat fait un emprunt en rente dite perpétuelle, quand il s'engage à payer, à des échéances déterminées, l'intérêt annuel consenti sur le capital emprunté, sans prendre d*engagement quant à une date de remboursement du capital. Cette date peut dès lors être reculée indéfiniment, d'où le nom de rente perpétuelle.
Au contraire, quand l'État fait un emprunt dit amortissable^ non seulement il s'engage à payer, à des époques déterminées, l'intérêt simple du capital emprunté, comme dans le cas précédent, mais de plus il s'engage à rembourser le capital dans des conditions et dans une période déterminées.
Conversions. — Quand TÉtat juge qu'il pourrait diminuer le taux de Tintérôt qu'il paye aux rentiers sans que ceux-ci lui retirent leur confiance, et que ses engagements antérieurs ne lui interdisent pas l'opération, il convertit une certaine catégorie de rentes : è cet effet, il offre aux rentiers de leur rembourser le montant de leur capital prêté à sa valeur nominale, ou d'accepter en échange de leurs titres de nouveaux titres rapportant un intérêt diminué. Chaque conversion présente en outre certaines conditions particulières. Cest ainsi que, en vertu de la loi du 9 juillet 1902, le 3 >i »/<, perpétuel a été converti en 3 Voï désormais non convertissable jusqu'en 1911.
Fonds d'État français. — - Les rentes françaises se divisent actuellement en deux grands types: le 3 pour iOO perpétuel et le 3 pour 100 amortissable.
Négociation des titres de rente. — Les préteurs peuvent d'ailleurs négocier entre eux leurs titres de rente, par Tin-
{*) Parce qu'ils soDt inscrits sur une série de registres dont Tensemble constitue le Grand-Livre de la Dette publique. Ils y sont inscrits simplement avec un numéro d'ordre si le titre est au porteur, et avec, en pus, le nom du rentier possesseur actuel du titre si le titre est nominatif.
RÈGLES d'intérêt 393
termédiaire des agenls de change^ qui perçoivent à ce sujet une commission appelée courtage. Le courtage est fixé à i^ pour iOOO^ de valeur négociée. Le prix de la rente est variable : il est soumis aux lois de Vo^re et de la demande. Chaque jour, ce prix est débattu à la Bourse par les agents de change, et il y a un prix moyen qui est fixé. Le prix d'un titre de rente se nomme le cours de la rente.
Si le cours de la rente atteint 100', on dit que la rente est au pair. Le 3 pour 100 perpétuel a atteint le pair, pour la première fois, en juin 1892. Si le cours de la rente est inférieur ou supérieur à 100', on dit que la rente est au-dessus ou au-dessous du pair.
Le cours d'émission est le prix demandé par TEtat, au moment de l'emprunt, pour un titre de rente.
1" Problème. — Le cours de la rente 3 pour 100 étant 96', 75, trouver le taux d^un placement fait en 5 pour 100.
3 francs d'intérêt sont donnés par 96', 75 plus le jj-— de
cette somme pour courtage ou 0,0968; donc ils coûtent
96',85. Par conséquent 1' rapporte ô^-^ et lOÔ rapportent
Tel est le taux d'un pareil placement.
2* Problème. — Le cours de la rente 3 pour 100 étant 97' ,23, quelle somme faut-il verser pour avoir QiVde rente ? Pour avoir 3' de rente, il faut verser
donc pour avoir 612' de rente, c'est-à-dire -^ = 204 titres
de rente, il faudra verser 204 fois 97',33 ou 19855',32.
3* Problème. — Le cours de la rente 3 pour 100 amortis^ sable étant 98',12, combien aura-t-on de rente pour 68950',44î Quel capital touchera-t-on si on est remboursé ?
Le prix de 3' de rente est en réalité de 98', 22 ; on aura donc autant de fois 3' de rente, que le nombre 68950',44
354 RÈGLES D'BSGOMPTB
contient de fois le nombre 98, ^sij, c'est-à-dire 70Î fois. On peut donc acheter 2106' de. rente avec cette somme.
Puisque chaque titre est remboursé à 100', l'acheteur touchera 702X100 ou 70200'.
Remahoub. — Tous les problèmies que nous Venons de traiter sur Tintérét et les rentes sur TiËtat ne sont pas autre chose que des applications de la règle de trois.
167. Règles d'escompte. — L'escompte a pour but de permettre aux commerçants d'utiliser des capitaux immobilisés pendant un certain temps. Un exemple fera aisément ' comprendre le but de l'escompte et sa nature : une personne achète à un commerçant pour 650' de marchandises payables dans 16 mois ; le commerçant, qui a besoin d'argent, tire une traite sur le vendeur, qui s'est engagé à payer la somme de 650', dans 16 mois, sur la présentation de cette traite ; il inscrit la somme à payer sur cette traite et porte ce billet chez son banquier ; celui-ci avance au commerçant la somme marquée sur le titre qu'il lui présente, moins .les intérêts de cette somme jusqu'au jour de l'échéance. C'est cette opération qui porte le nom d'escompte.
La somme inscrite sur \m billet est sa valeur nominale.
La somme que le banquier peut donner en échange, est da valeur actuelle.
Létaux de l'escompte est l'intérêt attribué à 100' pendant un an. Vescomptt est la retenue faite par le banquier sur le montant du billet.
i ^ Problème. — Trouver la somme remise par un banquier sw un billet de valeur nominale de 6S0', payable dans 46 mois, le taux de V escompte étant 6 pour 100.
Il suffit de calculer les intérêts de 650' pendant 16 mois,
I fi M
est>-à-dire pendant — ou - d'ann^ intérêts sont donnés par la forn>iile
I fi X
'c*est>-à-dire pendant — ou - d'année, à 6' pour 100. Ces
i = G/T, (nM65)
qui, dans le cas actuel, est
Le banquier remet donc 650 — 52 = 598' au commérçant.
Cette manière de calculer Tescompte n'est pas juste en théorie, car le banquier retient les intérêts d'une sonune qu'il n'a pas déboursée. Il devrait donner en réalité une somme telle qu'en l'ajoutant à ses intérêts, elle reproduisit la somme proposée.
Le premier escompte^ qui est le plus simple et le plus fréquent, s'appelle escompte commercial ou en dehors ; le second est l'escompte rationnel ou escompte en dedans.
Proposons-nous de traiter le problème précédent avec ce nouveau mode d'escompte. Nous chercherons d'abord la valeur actuelle de un franc payable dans 16 mois, l'escompte étant de 6 pour 100. Pour cela nous remarquons que
lOOr vaudront à ce moment-là, lOOf plus les intérêts à 6
pour 100, c'est-à-dire lOO-f-6 X ^ = 108'. Donc 108'
payables dans 16 mois ont pour valeur actuelle 100'; par conséquent l' vaut î^. et 650« valent ^^^ = 60i',88.
lOo lOo
On peut encore raisonner ainsi : soit x la valeur actuelle du billet escompté ; les intérêts de ce capital pendant
a? X 6 X 4 ^ 16 mois sont ..- . ^ ^ = sïï» si on ajoute cette somme 100 X o *5
à ap, on doit retrouver 650 ; on a donc ^ + a? = 650,: ou
