IV PRÉFACE

l'opération elle-même, qui n'est qu'un mécanisme de calcul dont, à la vérité, il importe de se rendre compte.

On a pris l'habitude d'enseigner la théorie de la divisibilité en l'appuyant sur celle du plus grand commun diviseur ; l'auteur respecte cet ordre, qui est excellent; mais il a tenu à montrer qu'il n'est pas indispensable, et a reproduit la démonstration directe que Gauss a donnée de cette proposition : Un nombre premier ne peut diviser un produit de deux facteurs sans diviser l'un d'eux.

Dans la plupart des ouvrages élémentaires, l'introduction de l'idée de fraction n'est parfaite avec la clarté désirable, et on ne sait pas toujours très bien si l'on raisonne sur un nombre ou sur une grandeur. S'il s'agit de nombres, que signifient ces mots : rendre une fraction trois fois plus grande, trois fois plus petite ? Qu'est-ce même que deux fractions égales ? M. Humbert a pris làdessus très nettement position : deux fractions sont égales, si elles peuvent servir à mesurer la même longueur : et, de même, pour l'addition, la soustraction, c'est l'idée d'addition, ou de soustraction des longueurs qu'il prend pour point de départ; pour la multiplication, c'est le théorème sur l'aire du rectangle; les démonstrations qu'il donne sont très claires et très bien adaptées à l'enseignement.

Il est aussi légitime, à mon avis, après avoir rattaché, comme il me paraît nécessaire dans l'en-

PRÉFACÉ V

seignement, l'idée de fraction à la mesure de la plus simple des grandeurs continues, de la détacher de son origine concrète pour définir abstraitement Tégalité et les opérations fondamentales : ce qui n'est pas légitime, c'est de rester dans le vague.

Je ne connais rien de plus insupportable en mathématiques que les nombres irrationnels ; leur introduction en arithmétique est un véritable scandale : dans ce domaine si élémentaire, à côté de cette notion de nombre entier qui est la plus claire du monde, à côté de ces propositions si précises, de ces démonstrations si nettes, que les plus grands mathématiciens ont pris à cœur d'accroître et de simplifier et qui ont toute la beauté, toute la perfection de celles que les Grecs nous ont léguées, voici venir tout le cortège du transcendant et de l'infini. C'est là, non ailleurs, que sont condensées toutes les difficultés des idées de limite, de convergence, de continuité. Que faire pourtant, si l'on veut seulement écrire v/24-\/3? Nous n'y pouvons rien, et c'est en vain qu'on se révoltera : cette idée de l'infini est dans la nécessité des choses ; on la réduira, si l'on veut, à ses termes les plus simples, à dire qu'après un nombre entier il y en a un autre, on ne s'en débarrassera pas, pas plus en Arithmétique qu'ailleurs.

A vrai dire, la sagesse est de reconnaître les difficultés là où elles sont, et l'honnêteté dans l'enseignement ne consiste pas à dire tantôt o?i verra plus tard, tantôt on a déjà vu, sans jamais rien montrer.