h a^ C'est donc Yintérét produit par Pescompte en dedans
Connaissant trois des nombres V, V, a, t, il est facile dans chaque cas d'avoir le quatrième. Le lecteur pourra se donner lui-même de nombreux exercices sur ce sujet.
168. Règles de société. — Lorsque plusieurs personnes se réunissent pour constituer le capital nécessaire à une entreprise, elles forment une société ou un être collectif jouissant des prérogatives commerciales attachées aux personnes. La portion du capital social apportée par l'un des sociétaires se nomme sa mise.
39S RÈQLfiS OB SOCIÉTÉ.
^ .Nous n'avons à i^us occuper ici que des calculs afférents à la répartition des b4Défices ou des pertes entre les divers membres de la société.
Pour faire ces calculs, on admet que les parts des sociétaires sont proportionnellea m^ mises et aux temps pen<dant lesquels ces mises ont éM^ eçiployées dans le fonds social, c'est-à-dire proportionnelle»^^^ produits des mises par les temps. (N* 162.)
Nous sommes donc amené à résoudre l|| |iroblème suivant :
Partager un nombre donnée A, en parties prôpQHfàtmeUes à des nombres donnés^ a, b, c.
Désignons par ôr, t/, z l^s trois parties du nombre 4j^ nous aurons, par hypothèse,
-=| = - et a?4-y-h« = A;
abc
or si nous ajoutons les trois rappoi^ts égaux terme à terme
nous obtenons un rapport égal à chacun d'eux,
donc nous avons la suite d'égalités
et, en égalant chaque rapport au dernier, nous obtenons les valeurs de a:, y, z,
Aa A6 Ac -
a + é + c ^ a-^b-hc à-^b-hc
Rien n'est plus simple alors que de résoudre les diverses questions que soulève l'existence d'une société : nous allons les traiter sur des exemples particuliers.
!•' Problème.— 7Vo/s associés ont mis dans une affaire;
wr
ÉËQLBS DB SOCIÉTÉ ^99
pendant un certain temps, 1500^ 27W, 420ff , et ont à se partager 588' de bénéfices. Quelîes seront les parts de chaèun d'eux ?
Les misés des trois associés ayant été employées pén* dàni le même temps, les bénéfices sont proportionnels aux ouses. Si donc on désigne par x, y, x les bénéfices qu'ils ont réalisés, on a
X y z \ x-hy + z ^ 588
. 1500 "■ 2700 "" 4200 "" 1500 -h 2700 + 4200 "" 84ÔÔ ' En multipliant par 100 chacun des rapports, on a
on déduit de là, sans peiné,'
Les bénéfices respectifs des trois associés sont donc 105^ 189' et294^
2* Problème. — Trois associés ont consacré à une affaire chacun la même somme, Tun pendant 1 an ; V autre f pendant 3 ans^ et le dernier, pendant 4 ans. Ils ont subi ¥)00l de perte. Quelle est la perte de chacun d'eux?
Les mises sont les mêmes ; donc les pertes sont proportionnelles aux temps pendant lesquels les mises ont été employées. Si donc on désigne par a;, y, z les parts de cha* cun d'eux dans la perte subie, on a
x y z a?-hy + »4000 ï-3-4" 8 --|-=-«^00^-
Le premier a donc perdu 500'; le second, 1500^, et le troisième, 2000^.
3^ Problème. .— Quatre associés ont mis dans une affaire: le premier, ,500', pendant 4 ans ; le second^ 3500^, pendant 2. ans i k troisième, 1500', pendant 7 ans, et le quatrième.
f^fjQ BÈGLBS D ALLIAGE
2O0O', pendant 3 ans. Ils ont gagné 1275'. Quelle est la part de chacun d'eux dans ce bénéfice ^
Les bénéfices sont proportionnels aux produits des mises par les temps, c'est-à-dire proportionnels ; aux nombres 500 X 4 = 2000, 3500 X 2 = 7000, 1600 X 7 = 10500, 2000x3 = 6000. En désignant par x^ y, z, t ces bénéfices, on a donc
^ — y — ^ — ^ a?4-y + z + ^ 1275 2ÔÔ5 "" 7000 ~ 10500 "" 6000 ~ 25500 "" 25500.
Multipliant tous ces rapports égaux par 100, on a la nouvelle suite d'égalités
les parts respectives des quatre associés sont donclOO^ 350'; 5^^^ 300'.
Remarque. — Dans chaque cas, il y a une vérification : la somme des parts des divers associés doit être égale au bénéfice ou à la perte totale.
169. Règles d'alliage. — Un alliage est à la fois un mélange et une combinaison de plusieurs métaux qui sont, en général, fondus ensemble dans des proportions déterminées.
Nous ne parlerons ici que des alliages dans lesquels entre un métal précieux, or ou argent. (Voir système métrique^ au paragraphe monnaies,)
On appelle titre d'un alliage le rapport du poids du métal précieux contenu dans une quantité déterminée de cet alliage, au poids total de la portion considérée.
Dans un alliage on néglige ordinairement la valeur du métal vulgaire et on ne s'occupe que du métal précieux. On se base alors pour obtenir la valeur d'un lingot d'alliage sur le poids de ce lingot, le titre de l'alliage et la va-
RÈGLES d'alliage 401
leur du kilogramme d'or fin ou d'argent fin. La valeur a uu kilogramme d'or fin est 3444',44 ; celle d'un kilogramme, d'argent fin avait été fixée conventionnellement à 222^22 ; mais depuis cette époque, la valeur de l'argent a baissé : aujourd'hui elle est variable et moindre que le prix cidessus indiqué.
Pour apprécier la valeur d'un objet fabriqué avec un alliage d'or ou d'argent, il faut encore tenir compte du travail des ouvriers employés à cette besogne et de leur talent. Mais ceci ne peut nous occuper dans un ouvrage de ce genre, et nous ne parlerons jamais que de la valeur intrinsèque d'un objet, de sa valeur absolue.
Les objets fabriqués pour la France et en France sont à trois titres, s'ils sont en or, et à deux titres, s'ils sont en argent.
Ce sont, pour les objets d'or, les titres de 920 millièmes, 840 millièmes et 750 millièmes. Pour les objets d'argent ce sont les titres de 950 millièmes et 800 millièmes.
Poujr les objets fabriqués en France et destinés à l'exportation, il n'y a pas de titres déterminés ; mais le fabricant doit indiquer le titre par un poinçonnage spécial.
Pour évaluer la valeur intrinsèque d'un alliage, il faut connaître son poids et le titre de cet alliage. On néglige d'ailleurs la valeur du métal ordinaire qui entre dans la composition de l'alliage.
Du reste les quelques exemples numériques que nous allons traiter feront bien comprendre la nature des questions dont nous nous occupons maintenant.
1" Problème. — Quelle est la valeur intrinsèque d'un objet d'or au second titre^ sachant qu'il pèse 2^^,500?
Chaque gramme de cet alliage contient 0^,840 d'or ; par conséquent 2500 grammes contiennent 0,840X2500=2100». Or le kilogramme d'or fin vaut 3444^44 ; donc 2100» valent 3444,44 X 2,1 ou 7233^, 3a..
ABITHM. HUMB.
2* Problème. — Quel est le titre d'un objet (Targent pesant 3^^,Â!Mi et valant bion
L'argent fin vaut conventionnellement 222' ,22 le kilogramme; il y aura donc autant de kilogrammes d'argent fin dans Tobjet en question qu'il y a d'unités dans le quotient de 570 par 222,22, c'est-à-dire 2^^,565. Le titre de cet objet est par suite le quotient de 2565 par 3420 ou 0,750.
3* Problème. — Quel est le poids d'un objet d'or au premier titre et valantiSO^ fis 1
Puisque l'or fin vaut 3444^44 le kilograname, le poids de l'or fin contenu dans l'objet en question est le quotient de
180,63 par 3444,44 OU ^ ; ce nombre exprime le poids
en kilogranmxes ; pour avoir le poids en grammes, il faut
'multiplier le nombre précédent par iOOO ; on a ainsi :
■-■■■■■■, • D autre part, cet objet étant au premier titre, o44444
920» d'or fin donnent un poids de 1000« ; donc un gramme
donne •^^- On obtiendra donc le poids total en multipliant
le nombre obtenu antérieurement par 1806300000
On a ainsi
(70. Problèmes généraux sur les alliages. — 11 nous reste à parler de deux problèmes importants que nous allons donner sous une forme tout à fait générale.
i^ On forme à l'aide de plusieurs lingots composés des mêmes métaux, de titres respectifs ^1,^2, ... *n, et de poids pi, pj, .».,Pn, un autre lingot dont on demande le titre.
Le titre d'un lingot étant le poids du métal fin que chaque unité de poids de cet alliage renferme, les divers lingots employés contiennent en métal fin les poids pi<i, p2<2, . . . yPntn ; le lingot formé par leur réunion contient donc en métal fin le poids
Piti + P2'2 4- •• • -hpntn \
en outre son poids total est
Pi-hp2-h... -hpn; doQC le titre de Talliage ainsi obtenu est donné par le rapport
Pl<l -+-Pjta -H ... -hpn^n Pi -r pa 4- . . . 4- Pn
2« Avec plusieurs alliages composés des mêmes métavuo et de titres respectifs <i, «a, . . . , f», former un autre alliage de titre déterminé, t.
Soient pu pty . . .,p„ les poids des lingots employés, le lingot final aura pour poids pi -f-pa 4- . . . -Hpn, il renfermera donc en métal fin le poids
(pi-4-P2-f- ...-f-p»)«; d'autre part le poids du métal fin contenu dans le lingot de titre tif est p^ft ; donc le poids total de ce métal est
Plti-hPiti 4- . . . 4-Prt*n,
et on a Tégalité
(pi 4- P2 4- . . . 4-P/i)< = pi«i 4-p2<8 4- . . . 4-p««n.
Cette équation est la seule que Ton ait pour déterminer les rapports des poids Pk entre eux ; le problème est donc indéterminé dès qu'on emploie plus de deux alliages.
Si on emploie deux alliages seulement, on a l'équation
(pi 4-pj)< = pl*l 4-p2<2,
qui donne immédiatement le rapport —,
pi <2 — < .
P2 "~ t — fi En supposant tt < ta, on voit de suite que le problème n'est possible que si t est compris entre ti et t%, et alors le rapport précédent indique dans quelles proportions il faut combiner les deux alliages pour avoir un autre alliage au titre indiqué, t.
171. Problèmes sur les mélanges. — il est inutile de donner la définition du mélange; il nous suffira de traiter les problèmes principaux qui s'y rapportent.
Un mélange étant formé par la réunion de plusieurs substances dont l'unité de poids ou de volume a pour chacune un prix connu, on demande de déterminer le prix de l'unité correspondante du frtélange .
2'* Trouver dans quelles proportions on doit mélanger diverses substances de prix connus pour obtenir un méla'tge dont le prix de l'unité soit atissi donné.
Ces deux problèmes se traitent de la même façon que les problèmes généraux sur les alliages.
Soient pi, Pi, ..',Pn les quantités employées des diverses substances indiquées, c'est-à-dire leurs poids ou leurs volumes, et soient /i, /'2, . . ., A les prix respectifs de Tunité de chacune d'elles ; le prix toial du mélange sera
Pifi -^Pifi -f- . . . -h Pnfn.
D'autre part, le mélange renferme
Pi -♦- P2 -+- . . . -4- Pn unités et, si Ton désigne par f le prix de l'unité, il vaut en tout
(Pi -^P2 4- ... -hPn)f-
On a donc l'égalité
(Pl -hPa -t- . . . -hPn)f = PlA H- P«/*2 H- . . . -h Pnfn,
et cette équation donne la solution des deux problèmes généraux que nous avons indiqués.
Elle donne
-__ Pifi +Pa/2 4-...+Pn/n ' Pi 4- pa + . . . -H Pn '
c'est le prix de l'unité du mélange ; c'est la solution du premier problème.
Si, au contraire, on se donne /*, elle permet de déterminer les rapports des nombres Pk, c'est-à-dire les quantités des substances que l'on doit employer. Lorsque le nombre des substances employées est supérieur à deux, ce dernier problème est indéterminé : on peut se donner les poids de toutes les substances sauf une, ou bien tous les rapports sauf un.
Quand on n'emploie que deux substances, le rapport des quantités employées, -^, se calcule immédiatement et l'on a
PL - A-r „.. Pi f-f2
P2 "" f-fi ""^ p, - f,-.f*
suivarftfque A < / < /2 ou /a < f<fi. On voit en outre que le problème n'est possible que si le prix indiqué pour le mélange est compris entre les prix A et A des substances à mélanj(er.
Si l'on veut tenir compte du bénéfice à réaliser parle marchand, il suffira de l'ajouter au prix total du mélange pour obtenir par un procédé semblable le prix moyen de vente du mélange : ainsi soit B le bénéfice total qu'il veut réaliser, on aura cette fois l'égalité
(Pl -+-P2 4- . . . -f- Pn)f = PlA -+- P2A + . . . -h Pnfn -H B.
Mais des exemples particuliers feront mieux comprendre toutes ces questions et surtout les solutions purement arithmétiques que l'on peut en donner.
Exemples. — !• t/n négociant mélange 6 sacs de farine à 54' U
sac, 8 sacs à 52' le sac et 11 sacs à 49' le sac. On demande le prix de revient du sac de mélange;
Le prix de vente d'un sac de ce mélange sachant que le négociant veut gagner 2' par sac sur le prix précédent supposé prix d'achat ;
Enfin le prix de vente de chaque sac sachant que le négociant veut gagner 10 */© sur le prix d'achat,
La solution de ce problème peut se présenter ainsi : 6 sacs de farine à 54' le sac valent 54 X 6 ou 324' ; 8 sacs à 52' le sac valen t 52x8 ou 41 6' ; et 11 sacs à 49' le sac valent 49 x H ou 539'. Le mélange vaut donc 324 -h 416 -f- 539 ou l 279'. Tel est le prix des 25 sacs du mélange ; un sac vaut 25 fois moins ou
Si le marchand veut gagner 2' par sac, il vendra 53',16'' le sac du mélange.
S'ilveutgagnerlOp. Voilvendralesac 51',16-h5',116 = 56f,27".
2" Bans quelles proportions un marchand doit-il mélanger deux
vins qui lui coûtent respectivement 0',60*' et 0',35° le litre pour
obtenir du vin qu'il puisse vendre 0',50 le litre en gagnant 10 p, <*/o
sur le prix d'achat ?
Le prix de vente représente les -r^ du prix d*achat : d'abord
ce prix lui-même on -j^y puis les -j^ de ce prix qu'il veut réaliser comme bénéfice. Or 110 centièmes valent 0,50, un centième vaut donc HO fois moins ou ' et 100 centièmes
valent 100 fois plus ou ' . Ce calcul effectué donne
0',454 pour le prix de revient d'un litre du mélange.
Chaque fois que le négociant prend un litre de vin à 0',60, il perd 0,60 — 0,454 = 0',146; chaque lois qu'il prend un litre de vin à 0',35, il gagne 0,454 — 0,35 = 0',104. Si donc on désigne par X le nombre de litres du premier vin et par y le nombre de litres du second qu'il prend pour former le mélange, on devra avoir
0,146 X« = 0,104 X y, ou 146.0? = 104. y ;
le rapport -• est donc égal à -j^ ou à ^=j- : pour 52 litres
du premier vin il faudra prendre 73 litres du second. Pour achever de déterminer le nombre de litres de chaque
406 BXBRCIGBS
vin qu'il faut prendre, il faudra indiquer en outre le nombre total de litres du mélange ou le nombre de litres de l'un des vin8 que Ton veut mélanger.
30 Un marchand achète 3 pièces de vin de 225 litres chacune au prix de 22' Vhectolitre pris sur place et 4 pièces de même capacité à raison de 19' Vhectolitre, Les frais de transport et autres s'élèvent à 7' par h ectolitre. Quelle quantité d'eau doit-il ajouter au mélange pour gagner ZO *>/o en revendant le tout à raison de O'jSO* le litre?
Ce marchand a acheté 3x225 ou 6*75 litres de vin à 22' rhectolitre; il a déboursé pour cela 675X0,22 = 148',50. Il a acheté 4 x 225 ou 900 litres de vin à 19' Thectolitre ; il a déboursé ainsi 9x19 = 171'.
Les 15,75 hectolitres qu'il a achetés lui coûtent en outre chacun 7'; d'où un nouveau débours de 15,75 X "7 = HO',25.
Il a dépensé en tout 148,50 -f 171 4- 110,26 = 429',75. Comme il veut gagner 30 «/o, le prix de vente doit dépasser le prix de revient de 429,75 X 0,3 = 128',925 ; il doit donc revendre le tout
Quand la quantité d'eau nécessaire aura été ajoutée au mélange, chaque litre devra valoir 0',30 ; il faudra donc qu'il pos-
sède en tout — rr-^ — = 1 862,2 litres environ. Or les deux vins
mélangés forment à eux seuls 1 575 litres; donc il devra ajouter 1 862,2 — 1 575 = 287,2 litres d'eau.
EXERCICES
1« Chaque page d'un in-octavo contient 35 lignes ; il y a 11 mots en moyenne par ligne et 475 pages. Combien faudrait-il de temps pour lire cet ouvrage en prononçant 185 mots par minute? Quel serait l'espace parcouru par un train qui fait55i«"» à l'heure pendant ce temps ?
2' 92 ouvriers mettent 35 heures à faire un ouvrage déterminé. Combien 161 ouvriers mettront-ils de temps?
BXlilRGICBS 407
3« 4554 kilogrammes de blé ont été vendus 483^ L*hectolitre vaut 23' ; combien pèse un hectolitre ?
4« 30 ouvriers travaillant 8 heures par jour ont mis 27 jours pour faire 450 mètres d'un ouvrage déterminé. Combien de jours faudra-t-il à i8 ouvriers travaillant 9 heures par jour pour faire 270 mètres du même ouvrage ?
5* 25 ouvriers ont fait en 48 jours, en travaillant 14 heures par jour, 72 mètres d'un ouvrage dont la difficulté est exprimée par 3. Combien 42 ouvriers mettront-ils de jours, en travaillant iO heures par jour, pour faire 120 mètres d'un ouvrage dont la difficulté est exprimée par 5 ?
6^ Un industriel emploie deux ouvriers dont le premier reçoit pour sa journée un salaire double de celui que reçoit l'autre. On donne au premier pour 12 journées de travail 40* et 10 litres de vin ; on donne au second pour 9 journées de travail 16',40 et 2 litres de vin. Quel est le prix d'un litre de ce vin ?
7* Dans une usine on emploie 50 hommes, 35 femmes et 20 enfants. Le montant des salaires d'une semaine de 6 jours de travail s'élève à 1344^. On sait que 8 journées d'homme valent 45 journées de femme et que 9 journées de femme valent 16 journées d'enfant. Trouver le salaire d'un homme, d'une femme et d'un enfant.
S^ Une pièce d'étoffe de 48"'^55 a coûté en tout la somme de 970'. Combien aurait-on de bénéfice par mètre, si 18",50 de cette étoffe étaient vendus 492', 10 ?
9® 7 hectares 9 ares de vigne valent 45 hectares 83 ares de prairie et 28 hectares de ptairie valent 62 hectares 65 ares de bois. Quel est le prix d'un hectare de bois, sachant que le prix d'un hectare de vigne est 5300' ?
10<» Une personne a placé les - de son capital à 6 p. Vo ^^ le
reste à 4 1/2 «/q. La première partie rapporte par an 939',60.
Trouver la deuxième partie et le revenu total, et de plus le taux
unique auquel il faudrait placer le capital entier pour obtenir le
même revenu.
14* Une personne qui devait payer sa dette le 40 novembre ne l'a payée que le 15 janvier suivant, ce qui a augmenté sa dette de 42'. L'intérêt étant de 5 p. Vo par an, que devait cette personne?
408 EXERCICES
12® Une personne emprunte une certaine somme, et au bout de 8 mois elle rembourse le capital avec les intérêts en donnant 258T,50. Quel était le capital emprunté, sachant que les intérêts ont été calculés à raison de 5',25 o/o par an ?
IS'» Quelle somme faut-il placer en ce moment à 5 p. % par an pour recevoir dans 3 mois 18 jours 875', capital et intérêts?
14^ Une personne pouvant disposer d'une somme de 1800' en place une partie à 4',50 p. Vo et le reste à 5',75 p. «/o ; après 4 ans 3 mois elle retire 373', 73 pour Tintérêt de son capital Quelle est la somme qui a été placée à chaque taux ?
15® Une personne a fait 3 parts de son capital : la première a été placée à 5 p. % pendant 3 ans 8 mois ; la deuxième, qui est double de la première, a été placée à 5 p. <^/o pendant 3 ans 6 mois ; la troisième, qui est triple de la seconde, a été placée à 4 p. 7o pendant 3 ans 9 mois. Les intérêts de ces divers capitaux se sont élevés à une somme totale de 14150'. Calculer les trois parts et le capital entier.
16o On achète 800' de rente 4 >^ p. «/o à 105'; on vend 2 mois après cette rente à 106',50, puis Ton achète du 3 p. •/« à 92',60 que l'on revend 95' au bout d'un mois. Combien cette double opération a-t-elle rapporté et combien pour cent ?
17o On achète 3000' de rente 3 °/o à 102',45 et huit jours après 4000' de la même rente à 100',35. On demande : 1» de déterminer le cours auquel on pourrait vendre sans perte ; 2» de dire quel gain Ton fait en revendant le tout à 10l',75 ?
18o On présente à un banquier deux billets dont Tun était payable au bout de 30 jours et l'autre de 70 jours. L'escompte fait par le banquier a été de 20',50 à raison de 7 p. Vo- Si l'escompte avait été fait 10 jours plus tard, il aurait été moindre de 3f955. Quelle était la valeur de chacun de ces effets ?
19» Un commissionnaire reçoit une caisse de marchandises pesant 234 kilogrammes, qu'il paye 250^ le quintal. 11 ouvre la
caisse et s'aperçoit que cette marchandise a perdu par suite
d'avaries Jes ^ de sa valeur. 11 la revend 572^17 et reçoit en
paiement un billet à 6 mois, qu'il fait escompter immédiatement à 6 p. V- On demande ce qu'il a gagné ou perdu. .->,..
EXERGIGBS 409
20« Un capitaliste a commencé une entreprise avec 426000' ; trois mois après il s*est associé une personne qui a versé 7000' ; trois mois après, il s*est associé une troisième personne qui a versé 45000'. Un mois après le troisième versement, le premier capitaliste se retire, et au bout d'un an Tentreprise se liquide avec 7500' de perte. Quelle part doit supporter chaque associé ?
21* Un particulier commence avec 42000' une affaire commerciale; huit mois plus tard, il y intéresse un capitaliste qui lui confie 20000' ; dix mois après, un second capitaliste lui confie d'abord 30000', et trois mois plus tard, 6000'. Au bout de 2 ans, l'entreprise a rapporté un bénéfice de 5000'. On demande quelle sera la part de chaque associé, sachant que le particulier qui conduit l'affaire prélève une prime de 4 p. Vo sur le bénéfice.
92<» On fond ensemble trois lingots d'or : le premier au titre de 0,910 ; le second au titre de 0,860, et le troisième au titre de 0,780. Us pèsent respectivement 675 grammes, 701 et 296 grammes. Quel est le titre de Talliage ainsi obtenu ?
23" Dans quel rapport faut-il allier deux lingots d'argent aux titres de 0,870 et de 0,620, pour obtenir un alliage au titre de 0,750?
^'i^ On mélange 665 litres d'un vin à l',50 le litre et 875 litres d'un autre vin à 1',75 le litre. Combien faudra-t-il mettre d'un vin à 0',25 le litre pour que le litre revienne à 4^,20?
