CHAPITRE PREMIER

172. Définitions. — Il est rare que les calculs numériques s'effectuent sur les valeurs exactes des nombres indiqués ; le plus souvent on leur substitue des nombres qui en difièrent peu et qu'on appelle des nombres approchés.

Il est d'abord impossible de procéder autrement quand il s'agit de nombres qui proviennent de mesures, d'observations ou d'expériences qui sont toutes entachées d'erreurs, et qui/ d'ailleurs» ne permettent d'évaluer ces nombres qu'avec une certaine approximation. Chacun d'eux diffère du nombre véritable d'une certaine quantité dont on peut seulement fixer une limite supérieure. Il peut même arriver que cette limite supérieure soit relativement beaucoup plus grande que la différence qui existe entre le nombre cherché et celui qu'on lui substitue, et qu'elle ne donne qu'une idée assez vague de l'approximation obtenue.

En second lieu, même quand un nombre est exactement connu, soit par sa définition arithmétique, soit par une définition géométrique, soit de toute autre façon, on ne l'introduit dans le calcul que par son développement déci-

(*) Ce chapitre a été inspiré en un assez grand nombre de points par la brochure de J. Griess sur les approiimations numériques.

mal ; si celui-ci est illimité comme il arrive ordinairement^ ou bien s'il contient un trop grand nombre de chiffres décimaux, on le remplace par un nombre voisin obtenu en supprimant tous les chiffres qui viennent après un certain rang, ou, ce qui revient au même, en les remplaçant tous par des zéros.

Nous appellerons erreur absolue la différence qui existe entre le nombre exact et le nombre approché qu'on lui substitue.

Mais cette définition trop précise correspond rarement à ce qui se passe dans les applications : l'erreur proprement dite n'est presque jamais connue ; il n'y a qu'une limite supérieure de cette erreur qui soit connue, et c'est cette limite que nous substituerons à l'erreur absolue.

Désignons par a un nombre exact inconnu, par ai le nombre approché et par a une limite supérieure de l'erreur commise ; nous pourrons affirmer seulement que le nombre d est compris entre aj — a et ai H- a, qui sont respectivement une hmite inférieure et une limite supérieure de a et nous désignerons ces deux nombres par a' et a''. Inversement, si nous connaissons une limite inférieure et une limite supérieure d'un nombre inconnu, en prenant leur demi-somme nous aurons un nombre approché et l'erreur commise aura pour limite supérieure la demi-différence entre les deux nombres donnés.

Toutefois ce qu'il importe le plus de connaître, ce n'est pas l'erreur absolue : une môme erreur absolue peut être insignifiante ou considérable suivant la grandeur du nombre cherché. Ainsi une longueur de plusieurs kilomètres connue à un mètre près est déterminée avec beaucoup d'approximation, au moins pour les besoins usuels ; au contraire^ une longueur d'un décamètre environ connue à un mètre près, est mal déterminée.

Ce qu'il faut connaître, c'est donc l'erreur commise sur chaque unité du nombre à mesurer, c'est Je rapport de

BRRBURS 413

l'erreur absolue au nombre lui-même ; c'est ce que nous appellerons l'erreur relative.

L'erreur relative a pour expression numérique — en

gardant les notations précédentes. Généralement ce n'est que par sa limite supérieure qu'elle interviendra dans les

calculs et son expression sera -r» a étant une limite

supérieure de Terreur absolue et a' une limite inférieure du nombre a.

Nous dirons qu'un nombre ai est approché d'un nombre a à a près par défaut ou par excès, quand il différera de ce nombre d'une quantité moindre que a, en étant plus petit que lui dans le premier cas et plus grand dans le second.

Si nous observons maintenant que tout nombre peut au moins être pensé comme étant.développé en décimales aussi loin que l'on veut» nous voyons que nous obtiendrons deux

nombres décimaux approchés à moins de — — près en ne

gardant que les n premiers chiffres décimaux et en ajoutant 0 ou une unité au dernier chiffre décimal à droite. Le premier de ces nombres est approché par défaut, et le second, par excès. Ce sont, d'ailleurs, les seuls nombres décimaux ayant n chiffres décimaux qui jouissent de cette propriété, car les autres diffèrent de ceux-ci d'au moins une unité du n« ordre décimal, dans le même sens qu'eux par rapport au nombre exact. L'erreur qui correspond à

chacun d'eux est donc supérieure à tt;— •

Les deux nombres décimaux que nous avons envisagés se nomment les valeurs approchées par défaut ou par excès à

-r-r- près du nombre considéré.

Pour obtenir la valeur approchée par défaut à -j^ près, on supprime dans le développement décimal tous

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les chiffres qui suivent le n« chiffre décimal ; et» pour obtenir la valeur approchée par excès, on ajoute une unité du dernier ordre décimal conservé à la valeur précédente.

Exemple. — Considérons le nombre imparfaitement connu 3,141592 . . . , dont nous avons les six premiers chiffres décimaux ; les nombres 3, 3,1, 3,14, 3,141, . . . sont les valeurs approchées par défaut à une unité, un dixième, un centième, un millième près, etc. ; les nombres 4, 3,2, 3,15, 3,142, . . . sont les valeurs approchées par excès.

Si nous substituons au nombre lui-même les nombres 3,1415 et 3,1416, nous commettons dans le premier cas une

erreur absolue moindre que -j— -> par suite, une limite

supérieure de Terreur relative est ^ . ; dans le second

cas. Terreur est par excès, elle est moindre que -r^rj- ou même que j^r^f et la limite supérieure de Terreur relative que nous envisagerons est ^ •

Nous dirons qu'un nombre approché ai a m chiffres exacts lorsque ses m premiers chiffres à partir de la gauche coïncident avec ceux du développement fourni par le nombre exact. Le nombre formé par ces m chiffres est alors la valeur approchée par défaut du nombre exact à une unité près de Tordre représenté par le m« chiffre.

Ainsi soit tti = 3,14257 un nombre approché du nombre 71 = 3,141592..., ce nombre a trois chiffres exacts.

Nous dirons qu'un nombre approché Ui est connu avec m chiffres lorsque le nombre obtenu en gardant les m premiers chiffres à partir de la gauche est Tune des valeurs approchées par défaut ou par excès du nombre exact à une unité près de Tordre représenté par le w« chiffre.

ERREURS 4i5

Ainsi nous dirons que le nombre a, = 5,71489 est connu avec quatre chiffres si Ton sait que 5,714 est une des valeurs approchées par défaut ou par excès du nombre exact a, à un millième près. Le nombre a est alors sûrement compris entre 8,713 et 8,715 ; le nombre approché ai a donc trois chiffres exacts.

Lorsqu*un nombre approché est connu avec m chiffres, en général, les m — 1 premiers chiffres sont exacts, le m'' est incertain. Cependant ce résultat peut être en défaut si le m* chiffre est un 0 ou un 9, car alors en ajoutant et retranchant une unité du dernier ordre conservé, non seulement le m* chiffre, mais aussi le m — 1« est modifié par Tune des deux opérations.

173. Relations entre l'erreur absolue et le nombre des chiffres exacte. — 1** Lorsqu'un nombre approché a n déci*

maies exactes, son erreur absolue est moindre que -rTr- •

Cette propriété est presque évidente d'après ce qui précède. Démontrons-la sur un exemple.

Considérons le nombre tcj = 3,14567 connu avec deux décimales exactes. Alors, diaprés nos définitions, le nombre exact, ic, est compris entre 3,14 et 3,15 qui diffèrent entre

eux de -jr-^ ; le nombre iti est aussi compris entre les mêmes nombres ; donc il diffère de it d'une quantité moindre que — .

2° Si l'erreur absolue d'un nombre approché a pour limite

supérieure jr-^ ce nombre a en général n — 1 décimales

exactes.

En effet soit ai le nombre approché ; le nombre exact est

compris entre ai — — ^^ et ^i^TTr^' Or si le n« chiffre

n'est ni un 0 ni un 9, les deux nombres précédents se forment en diminuant et augmentant le n« chiffre de 1 et les autres chiffres du développement ne sont pas altérés ; les n — 1 premières décimales sont donc des chiffres exacts, c'est-à-dire des chiffres du développement décimal qui représente le vrai nombre.

Ce raisonnement ne s'applique évidemment pas au cas où le n« chiffre est un 0 ou un 9, car alors le chiffre précédent est modifié dans l'un des deux nombres «i — -—>

lO"

flj 4. -. Dans ce cas, il y a en général n — 2 chiffres exacts.

Exemples : — Soit Oi = 2,72609 un nombre approché à

— -r près; le nombre exact a est compris entre

2,72509 et 2,72709;

il a donc deux décimales exactes.

Soit tti = 2,72934 un nombre approché à îTjÂfvPrès; le

nombre exact est compris entre

2J2834 et 2,73034;

il a donc une décimale exacte.

S'il y avait immédiatement avant ce n« chiffre plusieurs chiffres qui, comme lui, fussent des 0 ou des 9, ils seraient modifiés aussi et le résultat précédent serait aussi altéré.

A cause de ces restrictions, il est impossible de fixer a priori, d'une façon absolument certaine, le nombre des chiffres exacts d'un résultat de calcul. Mais cela importe peu^ car ce qu'on tient surtout à connaître au début d'un calcul, c'est l'approximation sur laquelle on peut compter, c'est-à-dire une limite supérieure de Terreur commise.

A ce point de vue les deux remarques suivantes sont intéressantes.

Lorsqu'un nombre est approché par excès à — près^ le

nombre plus simple qu'on obtient en supprimant tous les chiffres décimaux qui suivent le n« est approché dans un sens

ou dans Vautre à -r- près.

Cela est absolument évident; car la nouvelle erreur que

1 on commet est moindre que -;r- et est de sens contraire

lu'*

à la première; donc l'erreur totale est aussi moindre que l^î mais on ne sait dans quel sens elle a lieu.

Lorsqu un nombre est approché par défaut à -— près, le

nombre plus simple qu'on obtient en supprimant tous les chiffres décimaux qui suivent le n« et augmentant ensuite celui-ci

d'une unité est approché dans un sens ou dans Vautre à — près.

Cette remarque est aussi évidente que la précédente.

174. Relations entre Terreur relative et le nombre des chiffres exacts. — Le paragraphe actuel peut être ramené entièrement au précédent au moyen des deux remarques suivantes :

Quand on connaît une limite supérieure de V erreur absolue d'un nombre approché^ on en déduit une limite supérieure de Verreur relative en divisant la précédente par une limite inférieure du nombre exact;

Quand on connaît une limite supérieure de Verreur relative d'un nombre approché^ on en déduit une limite supérieure de Verreur absolue en multipliant la première par une limite supérieure du nombre exact.

On n'altère pas l'erreur relative d'un nombre approché en multipliant le nombre exact et le nombre approché par le même nombre. La propriété suivante est dès lors évidente.

i* Quand un nombre approché a m chiffres exacts et que son

ARITHM. HUMB. 27

premier chiffre à gauche est c, son erreur relative a pour

limite supérieure — tttz-z •

En effet divisions ou multiplions le nombre exact et le nombre approché par une même puissance de 10, de telle sorte que la virgule vienùe se placer à droite du premier chiffre significatif c; le nombre approché aura alors m — i décimales exactes et sera plus grand que c ; une limite supérieure de Terreur absolue sera donc ,^^ . et, par suite, une

limite supérieure de Terreur relative sera — ttt—. •

Pour que cette propriété s'applique aux nombres plus petits que un, il faut ne compter les chiffres exacts qu'à partir du premier chiffre non nul.

2o Lorsque le premier chiffre significatif à gauche d'un nombre approché est c et que V erreur relative est moindre que

— jT—i ce nombre aura en général m chiffres exacts si c <7

et m — 1 seulement si c > y-

En effet, si nous multiplions ou si nous divisons le nombre exact et son nombre approché par une même puissance de 10 telle que la virgule vienne se placer à droite du chiffre c, le nombre approché aura pour limite supérieure c + i qui est inférieur ou égal à y > donc y est aussi une limite supérieure du nombre .et, comme Terreur relative n'a pas changé, une limite supérieure de Terreur absolue sera

ï>< — Tfw ~ Jn^* ^^ ^'y ^ P^^^ ^^'^ ^® reporter au paragraphe précédent pour avoir la propriété énoncée.

Si c ^ Y, on prendra lOy comme limite supérieure du

nombre transformé et la limite supérieure de Terreur absolue

sera alors ^* Il y a donc en général m — 2 décimales exactes, c'est-à-dire en tout m — 1 chiffres exacts.

On démontrera de même la propriété suivante :

3® Lorsqu'un nombre a pour premier chiffre significatif à gauche c et est approché par excès, avec une erreur relative

moindre que > si c << Y> ^^ ^^^^ ^^^ valeur appro'

chée connue avec m-f- i chiffres en supprimant les chiffres qui suivent le (m H- !)•. Si c > y» ^^ même procédé donnera une valeur approchée connue avec m chiffres seulement .

Quand le nombre est approché par défaut avec une erreur moindre que .^^ on force d'une unité le (m -f- Vf chif-

fre à droite en partant de c et on a encore une valeur approchée connue avec m-+-l ou avec m chiffres, suivant que c est moindre que y ou au moins égal à y

Formules des erreurs.

175. — Lorsqu'un nombre inconnu résulte d'une suite d'opérations arithmétiques à effectuer surd'autres nombres, il arrive souvent que ceux-ci ne sont pas connus exactement et que Ton ne peut opérer que sur des nombres approchés pour chacun desquels on connaît seulement une limite supérieure de Terreur commise. 11 importe alors de se rendre compte de Terreur que Ton commet en se plaçant dans le cas le plus défavorable, c'est-à-dire en supposant que toutes les erreurs s'ajoutent et en prenant à chaque fois une limite supérieure de chacune d'elles ; en partant de cette idée on peut, dans chaque cas, calculer une limite supérieure de Terreur commise sur le résultat et se rendre compte ainsi de l'approximation que Ton peut obtenir. Cette limite supérieure de Terreur se nomme Terreur provenant des données.

Mais cette évaluation de Terreur n'est suffisante que si Ton efTectue les calculs indiqués sur les nombres approchés eux-mêmes, sans modification, tels qu'ils sont donnés,

420 erreurs;

et si Ton garde le résultat complet obtenu. En général, ce n'est pas ainsi qu*on procède : chaque nombre approché est remplacé lui-même par un autre plus simple dans lequel on ne garde qu'un petit nombre de décimales et le résultat est simpliûé d'une façon analogue en n'y conservant que les premiers chiffres vers la gauche ou en lui substituant un autre nombre approché de forme numérique plus simple. Il y a là une double cause d'erreurs nouvelles qu'il faudra ajouter encore à la précédente pour pouvoir juger avec sécurité de Tapproximation obtenue.

Gela montre nettement que dans aucun cas on ne pourra compter sur une approximation plus grande que celle que donne l'évaluation d'une limite supérieure de l'erreur provenant des données.

Le problème qui nous occupe se décompose donc en deux : 1» Évaluer une limite supérieure de l'erreur commise dans le calcul d'une formule arithmétique, lorsqu'on connaît pour chaque nombre approché qui y figure une limite supérieure de Terreur; en d'autres termes trouver, pour un nombre inconnu défini par une suite de calculs arithmétiques, l'erreur provenant des données ; '^^'\ 2* Calculer avec une approximation donnée le résultat

^ d'une formule arithmétique portant sur des nombres donnés

S:}, et trouver le plus petit nombre de chiffres qu'il soit utile

p. de conserver dans chacun d'eux ainsi que dans le résultat.

Le second problème se présente seul quand les données sont exactes. L'approximation obtenue est alors aussi grande que Ton veut, c'est-à-dire que l'erreur commise ^ peut être rendue aussi petite que Ton veut. Mais il n'y a pas

toujours avantage à abaisser ainsi l'erreur commise, car en général à toute diminution de cette erreur correspond une plus grande complication des calculs et aussi un résultat moins simple, puisqu'il est nécessaire, si l'on poursuit ce but, d'augmenter le nombre des chifiTres conservés dans les nombres employés et dans le résultat.

Quand les données ne sont qu'approchées, il faut d'abord résoudre le premier problème et voir de quelle erreur maxima on peut disposer ensuite pour la simpliflcation des calculs afin que Terreur totale ne dépasse pas celle qui est permise.

Pour résoudre le premier problème, nous allons passer en revue les diverses opérations de l'arithmétique et indiquer les diverses formules d'erreurs auxquelles elles conduisent. Il nous suffira ensuite de combiner ces divers résultats pour obtenir celui qui se rattache à une formule quelconque d'arithmétique.

176. Addition et soustraction. — Examinons d'abord avec soin le cas de deux nombres a et 6 connus par des nombres approchés Oi et bi avec des erreurs au plus égales à a et ^. Le premier nombre est compris entre a, — a et ai -4- a ; le second, entre 6i — p et ^i -t- p. La somme est donc comprise entre aiH-^i — a — p et ajH-ô,-f-a-i-P; il en résulte que le nombre cherché a-f-é diffère du nombre approché ai-f-6i d'une quantité moindre que a -4- p. Par conséquent la limite supérieure de Verreur commise sur la somme de deux nombres est égale à la somme des limites supérieures des erreurs commises sur chacun d'eux.

S'il s'agit de la différence a — 6, elle est comprise entre a, — ô, — a — p et a, — 6» -t- a -h p et le résultat est encore le même.

Rien n'est plus simple que d'étendre ce résultat de proche en proche à une somme d'un nombre quelconque de parties ou à une expression de la forme a-HÔ — c-f-rf — e-H-/".

La limite supérieure de l'erreur commise sur une expression de ce genre est égale à la somme des limites supérieures des erreurs commises sur les diverses parties.