Multiplication. — Considérons d'abord un produit

it*:.

(de deux facteurs a et 6 donnés par deux nombres approchés ai et b^ avec des erreurs moindres que « et p. Le nombre p = aà est compris entre (oi — a)(6i — P) et (ai + oi)(^i + P) ; il diffère donc de ai^i d*une quantité moindre que aiP+M-Ha^- Si donc nous appelons ic •cette limite de Terreur commise, nous aurons

n = (ai -4- a)P -f- bia, "En augmentant cette limite ainsi que les deux nombres «1 -Ha, ^1, nous pourrons écrire

Tt = a^p -H b^a^ a" et 6'' étant des limites supérieures de a et de b.

Divisons maintenant par le produit a'b^ de deux limites inférieures des nombres a et fr ; le second membre deviendra

a" b" ftr les deux nombres -^^ — i plus grands que I, sont

très voisins de 1 ; d'autre part, les erreurs commises ont toujours été agrandies notablement ; nous pouvons donc,

dans la pratique, prendre

B -j^ comme limite supé-

xieure de Terreur relative du produit ai. Par conséquent n nous désignons par a', f»\ ri des limites supérieures des «rreurs relatives qui correspondent aux trois nombres a, *, ;?, nous pourrons écrire

it' = a' -+- P'.

Ce résultat se généralise aisément et s'étend sans peine de proche en proche à un produit d'un nombre quelconque de facteurs, et Ton arrive à la régie suivante :

Une limite supérieure de l'erreur relative d'un produit s'obtient en prenant la somme des limites supérieures des erreurs relatives des facteurs,

£n multipliant par le produit des limites supérieures des

divers facteurs, nous avons une limite supérieure de Terreur absolue et nous voyons qu'elle s'obtient en multipliant chaque limite d'erreur absolue par le produit des limites supérieures des autres fadeurs et ajoutant les résultats. Ainsi la limite supérieure de Terreur absolue d'un produit p = abc est donnée par la formule

Ce résultat important aurait pu tout aussi bien se déduire de la formule analogue qui a d'abord été établie dans le cas d'un produit de deux facteurs et qui se généralise presque aussi aisément que la formule relative aux erreurs relatives ; mais cette dernière est incontestablement plus élégante et plus facile à retenir.

Lorsque tous les facteurs sont égaux, que p est une puissance, p = a% la formule des erreurs absolues

devient

ir = ma"^'^(iy

et celle des erreurs relatives,

w = ma',

Application. — Avec quelle approximation peut-on calculer

le produit

sachant que chaque facteur est approché à moins d'une unité

de l'ordre de son dernier chiffre à droite ?

Ici p = aft, 7c = a'P -h b'a, a = -|^, p = ^^^^ ;

puis a" = 7,46, 6" = 9,432.

Par conséquent it = 0,00746 -i- 0,09432 ; donc « = 0,10178.

Tel est le maximum de Terreur commise ; en général, à cause des exagérations déjà commises, on pourra prendre

it = — ; en tout cas, on est sûr que Terreur est moindre

que -.

424 BRRBURS